人教版九年级上册21.1 一元二次方程课件（31张ppt）

(共31张PPT)
一元二次方程
21
21.1
一元二次方程
1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。
3.了解一元二次方程的根与系数的关系。
4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理，利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。
课时目标
探究新知
要设计一座高2
m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比.求雕像的下部应设计为多高?
雕像上部的高度AC,下部的高度BC
应有如下关系:
分析:
即
设雕像下部高
x
m,于是得方程
整理得
x
2-x
A
C
B
问题1
探究新知
有一块矩形铁皮,长100
㎝,宽50
㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3
600
cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
100
㎝
50
㎝
x
3
600
cm2
分析:
设切去的正方形的边长为
x
cm,则盒底的长为
,
宽为
.
(100-2x)cm
(50-2x)cm
根据方盒的底面积为3600cm2,得
即
问题2
X2
-75x+350=0
探究新知
要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
分析:
4×7=28（场）
解：设应邀请x个队参赛,每个队要与其他
个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共
场.
即
(x-1)
问题3
探究新知
整理，得
设竹竿的长为
x
尺，
根据勾股定理，得
(x－3)2
＋
(x－6)2
=
x2
x2－18x＋45
=
0
3尺
6尺
x－
3
x－
6
勾股定理问题
探究新知
x2
＋
2x
－4=
0
x2
－
75x+350=
0
x2
－
x
=
56
x2－18x＋45
=
0
这些方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
方程两边都是整式.
方程中只含有一个未知数.
未知数的最高次数是2.
探究新知
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程（quadratic
equation
in
one
unknown）.
知识要点
探究新知
下列哪些是一元二次方程？
√
×
√
×
×
√
判断一个方程是否为一元二次方程，不能只看表面，能化简时应先化简.
探究新知
一元二次方程必须符合三个条件
整式方程
一个未知数
未知数的最高次数为
2
探究新知
一元一次方程
一元二次方程
一般式
相同点
不同点
ax=b
(a≠0）
ax2+bx+c=0
(a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
探究新知
ax2
+
bx
+c
=
0
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
a≠0
一般地,任何一个关于x
的一元二次方程都可以
化为
的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
一元二次方程一般形式
巩固练习
当
a
=
0
时，方程变为
bx＋c
=
0
，不再是一元二次方程。
为什么要限制a≠0，b、c
可以为零吗？
的强调
ax2
+
bx
+c
=
0
“
=
”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现，但二次项必须有。
“
=
”左边按未知数
x
的降幂排列。
“
=
”右边必须整理为
0。
巩固练习
一元二次方程有很多很多，你能表示出它们的一般形式吗？
x2
－
75x+350=
0
x2
－
x
=
56
x2
＋
2x
－4=
0
例题讲解
将方程
化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
其中二次项系数为4，
解：
去括号，得：
移项，合并同类项，得一般形式为：
一次项系数为
－26，
常数项为
22.
二次项、
二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的
.
巩固练习
将方程
化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
其中二次项系数为
2，
解：
去括号，得
移项，合并同类项，得一般形式为
一次项系数为
2，
常数项为－4.
整合归纳
x
=－7
当
时，
x
=
8
当
时，
x2
－
x
=
56;
x
=
0
当
时，
x
=
1
当
时，
2x2
－
2x
=
0
x
=－7，x
=8都是方程
x2
－
x
=
56
的解.
x
=
0，x
=
1
都是方程
2x2
－
2x
=0
的解.
巩固练习
为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，
我们称一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（root）.
x
=－7，x
=
8都是方程
x2
－
x
=
56
的解.
x
=
0，x
=
1
都是方程
2x2
－
2x
=0
的解.
巩固练习
两个连续正奇数的积是
255，求这两个数.
x
=－17，x
=
15
都是方程
x2
＋
2x
=
255
的解.
这两个解都是该实际问题的答案吗？
只有
x
=
15
是该题的答案。
即这两个正奇数为
15、17.
由实际问题列出方程并得出方程的解后，还要考虑这些解是否确实是实际问题的解.
巩固练习
下列方程的根是什么？
巩固练习
1.
求证：关于
x
的方程（m2－8m+17）x2
+
2mx
+
1
=
0，
不论
m
取何值，该方程都是一元二次方程.
证明：
即二次项系数不等于
0，不论
m
取何值，该方程都是一元二次方程.
2.
根据下列问题，列出关于
的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：
巩固练习
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长
；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长
；
巩固练习
（3）把长为1的木条分成两段使较短，一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长
；
（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长
.
巩固练习
原
方
程
一
般
形
式
二次项系数
一次项系数
常数项
5
－1
－4
4
－81
0
4
－25
8
3
1
－7
巩固练习
4.
下面哪些数是方程
的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．
解：将上面的这些数代入后，
只有－2和－3满足方程的等式，
所以
x
=－2或
x
=－3是一元二次方程的两根.
巩固练习
5.
试写出方程
的根，你能写出几个？
根分别为0，1.
巩固练习
习题答案
（1）3x2－6x＋1=
0，3，-6，1
（2）4x2＋5x－81=
0，4，5，－81
（3）x2＋5x
=
0，1，5，0
（4）x2－2x＋1=
0，1，－2，1
（5）x2＋10
=
0，1，0，10
（6）x2＋2x－2=
0，1，2，－2
1.下列方程中,无论a为何值,
总是关于x的一元二次方程的是(
)
巩固练习
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a
B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1
D.(a2+1)x2=0
D
巩固练习
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
⑴
⑵
⑶
当m为何值时,方程
（1）是关于x的一元二次方程；
（2）是关于x的一元一次方程.
巩固练习
课堂小结
一元二次方程的概念
只含有一个未知数，
并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x
的一元二次方程都可以
化为
的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
在实际问题转化为数学模型（
一元二次方程
）
的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.