人教B版数学必修二本册综合测试二附解析

本册综合测试二
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．两平行线3x－4y－12＝0与6x－8y＋16＝0间的距离是(　　)
A．
B．4
C．
D．
2．若直线l1：2x－ay－1＝0过点(1,1)，则直线l1与l2：x＋2y＝0(　　)
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．相交于点(2，－1)
3．直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于(　　)
A．
B．2
C．2
D．4
4．(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
5．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)
A．1
B．2
C．4
D．8
6．下列命题正确的是(　　)
A．两两相交的三条直线可确定一个平面
B．两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
7．圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋4y－2＝0的位置关系是(　　)
A．相交
B．外切
C．内切
D．相离
8．三棱锥S－ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱SB的长为(　　)
A．4
B．
C．2
D．4
9．某几何体的三视图如下图所示，则其侧面积为(　　)
A．
B．
C．
D．
10．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
11．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：x－y＋b＝0的距离为2，则b的取值范围是(　　)
A．[－2,2]
B．[－10,10]
C．(－∞，－10]∪[10，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
12．四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，PN＝PB，则三棱锥P－ANC与四棱锥P－ABCD的体积比为(　　)
A．1∶2
B．2∶3
C．1∶6
D．1∶8
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知直线l过点A(1,1)，且l在y轴上的截距的取值范围为(0,2)，则直线l的斜率的取值范围是________．
14．P为圆x2＋y2＝1的动点，则点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为________．
15．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，以正方体的三条棱DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若点P在正方体的侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则下列点P的坐标①(1,1,1)；②(0,1,0)；③(1,1,0)；④(0，1,1)；⑤中正确的是________．
16．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5
cm，AC＝2
cm，则B到平面PAC的距离为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且分别与直线2x－y－1＝0.
(1)平行的直线方程；
(2)垂直的直线方程．
18．(12分)已知直线l经过点M(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程．
19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求三棱锥A－PBC的体积．
20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，O为棱AD的中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求C点到平面PDB的距离．
21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.
(1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的主视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；
(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
(3)求三棱锥D－PBC的体积．
22．(12分)平面内有两个定点A(1,0)，B(1，－2)，设点P到A，B的距离分别为d1，d2，且＝.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)是否存在过点A的直线l与轨迹C相交于E，F两点，满足S△OEF＝2(O为坐标原点)．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
本册综合测试二
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．两平行线3x－4y－12＝0与6x－8y＋16＝0间的距离是(　　)
A．
B．4
C．
D．
解析：B　3x－4y－12＝0可化为6x－8y－24＝0，
∴d＝＝4.
2．若直线l1：2x－ay－1＝0过点(1,1)，则直线l1与l2：x＋2y＝0(　　)
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．相交于点(2，－1)
解析：C　将(1,1)代入2x－ay－1＝0得2－a－1＝0，∴a＝1，∴l1：2x－y－1＝0，由2×1＋(－1)×2＝0，可知l1⊥l2，故选C.
3．直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于(　　)
A．
B．2
C．2
D．4
解析：C　圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆心为(－2,2)，r＝.圆心到直线x－y＋4＝0的距离为d＝＝0，所以直线过圆心，被圆截得的弦长为圆的直径2，故选C.
4．(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：C　根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1、2，梯形的高为2，因此几何体的体积为×(1＋2)×2×2＝6，故选C.
5．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：B　由题可得πr2＋2r×2r＋2πr2＋2πr2＝16＋20π，解得r＝2，故选B.
6．下列命题正确的是(　　)
A．两两相交的三条直线可确定一个平面
B．两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
答案：C
7．圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋4y－2＝0的位置关系是(　　)
A．相交
B．外切
C．内切
D．相离
解析：A　圆C1：(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，C1(－1，－4)，r1＝5，圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝10，C2(2，－2)，r2＝，∴|C1C2|＝＝，
∵5－<<5＋，∴两圆相交，故选A.
8．三棱锥S－ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱SB的长为(　　)
A．4
B．
C．2
D．4
解析：A　由三视图可知SC⊥平面ABC，SC＝4，AC＝4，△ABC是等腰三角形，高为2，
∴BC＝
＝4，
∴SB＝
＝4，
故选A.
9．某几何体的三视图如下图所示，则其侧面积为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：A　该几何体为四棱锥S－ABCD，其中SA＝1，AD＝2，BC＝1，AB＝1，四边形ABCD是直角梯形，
∴CD＝，
∴S△ABS＝SA·AB＝×1×1＝，S△ADS＝SA·AD＝×1×2＝1，S△BCS＝BC·SB＝×1×＝，AC＝＝，SC＝＝，SD＝＝，∴SC2＋CD2＝SD2，
∴S△SCD＝SC·CD＝××＝，∴S侧＝S△ABS＋S△ADS＋S△BCS＋S△CDS＝＋＋，故选A.
10．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：D　由y＝1＋得，x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，表示以(0,1)为圆心，2为半径的圆，
直线y＝k(x－2)＋4过点P(2,4)，如图PA是圆的切线，
∴＝2，∴k＝，kPA＝，kPB＝＝，∴符合条件的k为11．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：x－y＋b＝0的距离为2，则b的取值范围是(　　)
A．[－2,2]
B．[－10,10]
C．(－∞，－10]∪[10，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：A　圆的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，圆心(2,2)，r＝3，
圆心到直线l的距离d＝＝，
由题可得d≤，∴≤，|b|≤2，－2≤b≤2，故选A.
12．四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，PN＝PB，则三棱锥P－ANC与四棱锥P－ABCD的体积比为(　　)
A．1∶2
B．2∶3
C．1∶6
D．1∶8
解析：B　VN－ABC＝S△ABC·PD＝S△ABC·PD，VP－ABCD＝S△ABC·PD
∴VN－ABC＝VP－ABCD，
∴VP－ANC＝VP－ABCD，故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知直线l过点A(1,1)，且l在y轴上的截距的取值范围为(0,2)，则直线l的斜率的取值范围是________．
解析：如图所示，直线l在OA与AB中间，kOA＝1，kAB＝－1，
∴－1答案：(－1,1)
14．P为圆x2＋y2＝1的动点，则点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为________．
解析：圆心(0,0)到直线3x－4y－10＝0的距离为d＝＝2，∴P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为2－1＝1.
答案：1
15．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，以正方体的三条棱DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若点P在正方体的侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则下列点P的坐标①(1,1,1)；②(0,1,0)；③(1,1,0)；④(0，1,1)；⑤中正确的是________．
解析：∵点P在正方体的侧面BCC1B1及其边界上运动，BD1是定线段，AP⊥BD1，
∴直线AP在与直线BD1垂直的平面内运动，连接AB1，AC得平面ACB1，与平面BCC1B1的交线为CB1，点P的轨迹是线段CB1，故正确的结论有①②⑤.
答案：①②⑤
16．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5
cm，AC＝2
cm，则B到平面PAC的距离为________．
解析：连接BC.
∵C为圆周上的一点，AB为直径，∴BC⊥AC.
又∵PA⊥平面⊙O，
BC?平面⊙O，
∴PA⊥BC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，C为垂足，
∴BC即为B到平面PAC的距离，在Rt△ABC中，
BC＝＝＝
cm.
答案：
cm
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且分别与直线2x－y－1＝0.
(1)平行的直线方程；
(2)垂直的直线方程．
解：由得
∴l1与l2的交点为(1,3)．
(1)解法一：设与直线2x－y－1＝0平行的直线为2x－y＋c＝0，
则2－3＋c＝0，∴c＝1.
∴所求直线方程为2x－y＋1＝0.
解法二：∵所求直线的斜率k＝2，且经过点(1,3)，
∴所求直线的方程为y－3＝2(x－1)，
即2x－y＋1＝0.
(2)解法一：设与直线2x－y－1＝0垂直的直线为x＋2y＋c＝0，
则1＋2×3＋c＝0，
∴c＝－7.
∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.
解法二：∵所求直线的斜率k＝－，且经过点(1,3)，
∴y－3＝－(x－1)，
∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.
18．(12分)已知直线l经过点M(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程．
解：因为直线l与坐标轴围成三角形，所以x轴、y轴上的截距不为零，设直线方程为＋＝1，由题意得
解得所以直线方程为＋＝1；
解得或
所以直线方程为＋＝1或＋＝1.
19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB＝4，CD＝2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求三棱锥A－PBC的体积．
解：(1)证明：如图，取AB的中点F，连接DF，EF.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，
且AB＝4，CD＝2，所以BF∥CD.
所以四边形BCDF为平行四边形．
所以DF∥BC.
在△PAB中，PE＝EA，AF＝FB，
所以EF∥PB.
又因为DF∩EF＝F，PB∩BC＝B，
所以平面DEF∥平面PBC.
因为DE?平面DEF，
所以DE∥平面PBC.
(2)取AD的中点O，连接PO.
在△PAD中，PA＝PD＝AD＝2，
所以PO⊥AD，PO＝.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PO⊥平面ABCD.
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB＝4，AD＝2，AB⊥AD，
所以S△ABC＝×AB×AD＝×4×2＝4.
故三棱锥A－PBC的体积VA－PBC＝VP－ABC＝×S△ABC×PO＝×4×＝.
20．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，O为棱AD的中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求C点到平面PDB的距离．
解：(1)证明：∵O为AD的中点，△PAD是正三角形，
∴PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD.
(2)∵底面ABCD是边长为2的正方形，
∴DB＝2，PD＝2，PO＝，PB＝＝＝2，
取PD的中点M，连接BM，
∵PB＝DB，∴BM⊥PD，
∴BM＝＝＝，
∴S△DBP＝PD·MB＝×2×＝，
设C到平面PDB的距离为l，VC－PBD＝VP－DBC，
则l·S△DBP＝PO·S△BDC，
则l·＝×××2×2，∴l＝.
21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.
(1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的主视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；
(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；
(3)求三棱锥D－PBC的体积．
解：(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，由已知得，四边形ADCE为矩形，
AE＝CD＝3，
在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.
又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥AD，
从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，
得PD＝4.
主视图如图所示：
(2)证明：取PB中点N，连接MN，CN.
在△PAB中，∵M是PA中点，
∴MN∥AB，MN＝AB＝3，又CD∥AB，CD＝3，
∴MN∥CD，MN＝CD，
∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN.
又DM?平面PBC，CN?平面PBC，∴DM∥平面PBC.
(3)VD－PBC＝VP－DBC＝S△DBC·PD，
又S△DBC＝6，PD＝4，所以VD－PBC＝8.
22．(12分)平面内有两个定点A(1,0)，B(1，－2)，设点P到A，B的距离分别为d1，d2，且＝.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)是否存在过点A的直线l与轨迹C相交于E，F两点，满足S△OEF＝2(O为坐标原点)．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)设P(x，y)，
则d1＝，d2＝，
∵＝，∴＝，
整理得：(x－1)2＋(y＋4)2＝8，
∴点P的轨迹C的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)
存在过点A的直线l，l与轨迹C相交于E，F两点，且使三角形S△OEF＝2.
理由如下：
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
直线过圆心，|EF|＝4，点O到直线l的距离为1，
此时，S△OEF＝·|EF|·1＝2，所以成立．
②当直线l斜率存在时，设l方程为：y＝k(x－1)．
点C到l的距离d3＝，利用勾股定理，得：
|EF|＝2
＝2
.
点O到l的距离d4＝.
∴S△OEF＝·2
＝2，
整理得3k2＝－1，无解．所以直线斜率存在时满足题意的直线不存在．
综上，存在过点A的直线l：x＝1，满足题意．