人教B版数学必修二本册综合测试一附解析

本册综合测试一
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，正确的是(　　)
A．若l?β，且α⊥β，则l⊥α
B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α
D．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α
2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a＝(　　)
A．－3　　　　　　　　　
B．－6
C．－
D．
3．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是(　　)
A．①是棱台
B．②是圆台
C．③是棱锥
D．④是棱台
4．圆柱底面圆的半径和圆柱的高都为2，则圆柱侧面展开图的面积为(　　)
A．4π
B．4π
C．8π
D．8π
5．设P为圆x2＋y2＝1上的动点，则点P到直线3x－4y－20＝0的距离的最小值为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A．
B．
C．
D．
7．在空间直角坐标系中，方程x2－4(y－1)2＝0表示的图形是(　　)
A．两个点
B．两条直线
C．两个平面
D．一条直线和一个平面
8．某直三棱柱的侧棱长等于2，底面为等腰直角三角形且腰长为1，则该直三棱柱的外接球的表面积是(　　)
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
9．已知直线l：2x＋3y＋1＝0被圆C：x2＋y2＝r2所截得的弦长为d，则下列直线中被圆C截得的弦长同样为d的直线是(　　)
A．4x＋6y－1＝0
B．4x＋6y＋1＝0
C．2x－3y－1＝0
D．3x＋2y＝0
10．直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则b的取值范围是(　　)
A．|b|＝2
B．－1C．－1≤b≤1
D．以上答案都不对
11．以M(－4,3)为圆心的圆与直线2x＋y－5＝0相离，那么圆M的半径r的取值范围是(　　)
A．0B．0C．0D．012．已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是(　　)
A．CD∥平面PAF
B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB
D．CF⊥平面PAD
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．空间两点A(2,5,4)，B(－2,3,5)之间的距离等于________．
14．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是________________．
15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
16．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，截下一个棱锥C－A1DD1，求棱锥C－A1DD1的体积与剩余的体积之比．
18．(12分)已知直线l经过点M(－3，－3)，且圆x2＋y2＋4y－21＝0的圆心到l的距离为.
(1)求直线l被该圆所截得的弦长；
(2)求直线l的方程．
19．(12分)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为CC1的中点．求证：
(1)AC1∥平面BDE；
(2)A1E⊥平面BDE.
20．(12分)一个多面体的直观图、主视图、左视图如图1、图2所示，其中主视图、左视图均为边长为a的正方形．
　
图1　　　　　　
　图2
(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；
(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；
(3)求该多面体的表面积．
21．(12分)在直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝8及点O(0,0)，A(－2，0)．
(1)从圆C外一点M(m，n)向圆C引一条切线，切点为B，且|MB|＝|MA|，求|MO|的最小值；
(2)设点T(0，t)满足：存在圆C上的两点P、Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
22．(12分)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．
本册综合测试一
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，正确的是(　　)
A．若l?β，且α⊥β，则l⊥α
B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α
D．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α
答案：B
2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a＝(　　)
A．－3　　　　　　　　　
B．－6
C．－
D．
解析：B　由题可得＝≠，∴a＝－6，故选B.
3．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是(　　)
A．①是棱台
B．②是圆台
C．③是棱锥
D．④是棱台
答案：C
4．圆柱底面圆的半径和圆柱的高都为2，则圆柱侧面展开图的面积为(　　)
A．4π
B．4π
C．8π
D．8π
解析：C　S侧＝2πrl＝2π×2×2＝8π.
5．设P为圆x2＋y2＝1上的动点，则点P到直线3x－4y－20＝0的距离的最小值为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：B　圆心到直线3x－4y－20＝0的距离为d＝＝4，所以点P到直线3x－4y－20＝0距离的最小值为d－1＝3，故选B.
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：A　该几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥，V＝×2××2－××2××1＝，故选A.
7．在空间直角坐标系中，方程x2－4(y－1)2＝0表示的图形是(　　)
A．两个点
B．两条直线
C．两个平面
D．一条直线和一个平面
解析：C　由原方程可得(x＋2y－2)(x－2y＋2)＝0，
∴x＋2y－2＝0或x－2y＋2＝0.故选C.
8．某直三棱柱的侧棱长等于2，底面为等腰直角三角形且腰长为1，则该直三棱柱的外接球的表面积是(　　)
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
解析：D　如图，∵直三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面外接圆的半径r＝AC＝，
设球的半径为R，则R2＝r2＋12＝，
∴S球＝4πR2＝4π×＝6π，故选D.
9．已知直线l：2x＋3y＋1＝0被圆C：x2＋y2＝r2所截得的弦长为d，则下列直线中被圆C截得的弦长同样为d的直线是(　　)
A．4x＋6y－1＝0
B．4x＋6y＋1＝0
C．2x－3y－1＝0
D．3x＋2y＝0
解析：C　圆心(0,0)到直线l的距离为d′＝＝，A中，d1＝＝，B中，d2＝＝，C中，d3＝＝，D中，d4＝0，故选C.
10．直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则b的取值范围是(　　)
A．|b|＝2
B．－1C．－1≤b≤1
D．以上答案都不对
解析：B　曲线x＝可得x2＋y2＝1(x≥0)，表示半圆，如图所示，y＝x＋b与曲线只有一个公共点，则－111．以M(－4,3)为圆心的圆与直线2x＋y－5＝0相离，那么圆M的半径r的取值范围是(　　)
A．0B．0C．0D．0解析：C　由题可得r<＝2，故选C.
12．已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是(　　)
A．CD∥平面PAF
B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB
D．CF⊥平面PAD
解析：D　∵CD∥AF，∴CD∥平面PAF，故A正确；
∵DF⊥AF，DF⊥PA，AF∩AP＝A，∴DF⊥平面PAF，故B正确；CF∥AB，∴CF∥平面PAB，故C正确，D不正确．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．空间两点A(2,5,4)，B(－2,3,5)之间的距离等于________．
解析：|AB|＝＝.
答案：
14．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是________________．
解析：圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为d＝＝5，所以当4答案：(4,6)
15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
解析：设正方体的棱长为a，球的半径为r，
则πr3＝，∴r＝，
又3a2＝4r2＝9，∴a2＝3，
∴a＝.
答案：
16．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
解析：设动点P的坐标为(x，y)．由动点P向圆x2＋y2＝2引切线，切线长为；由点P向圆(x－4)2＋y2＝6引切线，切线长为.
由＝，得x＝.
答案：x＝
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，截下一个棱锥C－A1DD1，求棱锥C－A1DD1的体积与剩余的体积之比．
解：已知长方体是直四棱柱，
设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h，
则它的体积为V＝Sh.
而棱锥C－A1DD1的底面积为S，高为h，
故三棱锥C－A1DD1的体积：
VC－A1DD1＝×Sh＝Sh，
余下部分体积为Sh－Sh＝Sh.
所以棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
18．(12分)已知直线l经过点M(－3，－3)，且圆x2＋y2＋4y－21＝0的圆心到l的距离为.
(1)求直线l被该圆所截得的弦长；
(2)求直线l的方程．
解：(1)圆的方程可化为x2＋(y＋2)2＝25，
∴圆心为(0，－2)，r＝5，直线l被圆所截得的弦长为2＝4.
(2)设直线l：y＋3＝k(x＋3)，∴kx－y＋3k－3＝0，
∴＝，∴k＝2或k＝－.
∴l的方程为2x－y＋3＝0或x＋2y＋9＝0.
19．(12分)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为CC1的中点．求证：
(1)AC1∥平面BDE；
(2)A1E⊥平面BDE.
证明：(1)连接AC交BD于O，连接OE，
　　
∵O为AC的中点，E为CC1的中点，
∴OE∥AC1，
又OE?平面BDE，AC1?平面BDE，
∴AC1∥平面BDE.
(2)∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又∵BD⊥AA1，AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面ACC1A1，A1E?平面ACC1A，
∴BD⊥A1E.
设AA1＝2AB＝2a，
∴BE＝a，
A1E＝＝a.
A1B＝＝a，
∴A1B2＝A1E2＋BE2，
∵A1E⊥BE，BD∩BE＝B.
∴A1E⊥平面BDE.
20．(12分)一个多面体的直观图、主视图、左视图如图1、图2所示，其中主视图、左视图均为边长为a的正方形．
　
图1　　　　　　
　图2
(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；
(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；
(3)求该多面体的表面积．
解：(1)根据多面体的直观图、主视图、左视图，得到俯视图如下：
(2)证明：如图，连接AC，BD，交于O点，连接OE.
∵E为AA1的中点，O为AC的中点，
∴在△AA1C中，OE为△AA1C的中位线．
∴OE∥A1C.
∵OE?平面A1C1C，A1C?平面A1C1C，
∴OE∥平面A1C1C.
(3)多面体表面共包括10个面，
S△ABCD＝a2，SA1B1C1D1＝，
S△ABA1＝S△B1BC＝S△C1DC＝S△ADD1＝，
S△AA1D1＝S△B1A1B＝S△C1B1C＝S△D
C1D1＝××＝，
∴该多面体的表面积S＝a2＋＋4×＋4×＝5a2.
21．(12分)在直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝8及点O(0,0)，A(－2，0)．
(1)从圆C外一点M(m，n)向圆C引一条切线，切点为B，且|MB|＝|MA|，求|MO|的最小值；
(2)设点T(0，t)满足：存在圆C上的两点P、Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
解：(1)由题意知|MA|2＝|MC|2－8即(m＋2)2＋n2＝(m－2)2＋(n－2)2－8，得2m＋n＋1＝0，即M(m，n)在直线2x＋y＋1＝0上，|MO|min＝＝.
(2)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，＝(－2，－t)，＝(x1，y1－t)，＝(x2，y2－t)，＋＝，
得又P(x1，y1)、Q(x2，y2)均在圆C上，
即
若这样的点T(0，t)存在，即是圆(x－2)2＋(y－2)2＝8与圆(x－4)2＋(y－t－2)2＝8有交点，
故0≤≤2＋2，即≤4，∴t∈[－2，2]．
22．(12分)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．
解：(1)证明：由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，
当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；当x＝0时，y＝0或，则B，
∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C，H，O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.∴圆心为C(2,1)或(－2，－1)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，
由于当圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(3)点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝－＝3－＝2.所以|PB|＋|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P此时的坐标为.