人教B版数学必修二第1章 章末检测附解析

第一章章
末
检
测
(时间：60分钟
满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．设直线m，n和平面α，β，下列四个命题中，正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m?α，则m⊥β
D．α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的主视图(等腰直角三角形)和左视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是(　　)
A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β
B．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β
C．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n
D．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)
A．　　　　　　　　　
B．
C．
D．1
5．某三棱锥的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为(　　)
A．32
B．64
C．32
D．64
6．在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝2，△ABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为(　　)
A．
B．
C．
D．π
7．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)
A．A1E⊥DC1
B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1
D．A1E⊥AC
8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则直线a与β的位置关系为________．
10．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．
11．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是________cm2.
三、解答题(每小题15分，共45分)
12．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．
13．如图(1)矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图(2)．
(1)求四棱锥D－ABCE的体积；
(2)求证：AD⊥平面BDE.
14．如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，记CD＝x，V(x)表示四棱锥F－ABCD的体积．
(1)求V(x)的表达式；
(2)求V(x)的最大值．
第一章章
末
检
测
(时间：60分钟
满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．设直线m，n和平面α，β，下列四个命题中，正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m?α，则m⊥β
D．α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
答案：D
2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的主视图(等腰直角三角形)和左视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)
解析：D　如图所示，将几何体放入正方体内，正方体的棱长为2，体积为8，当俯视图为是D选项时，该几何体是四棱锥E－ABCD，VE－ABCD＝×2×2×2＝，符合题意，故选D.
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是(　　)
A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β
B．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β
C．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n
D．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
解析：C　C中由m⊥α，α∥β，可知m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故C正确．
4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)
A．　　　　　　　　　
B．
C．
D．1
解析：B　由三视图可知三棱锥的底面为等腰直角三角形，高为2，则V＝××1×1×2＝，故选B.
5．某三棱锥的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为(　　)
A．32
B．64
C．32
D．64
解析：B　设该几何体的高为h，则
∴x2y2＝(102－h2)(28＋h2)＝－h4＋72h2＋280，∴h2＝36时，xy的最大值为64，故选B.
6．在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝2，△ABC是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为(　　)
A．
B．
C．
D．π
解析：B　∵△ABC为正三角形，
∴△ABC的外接圆的半径为××1＝.
设外接球的半径为R，
则R2＝2＋2＝.
∴S球＝4πR2＝.故选B.
7．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)
A．A1E⊥DC1
B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1
D．A1E⊥AC
解析：C　由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.
8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
解析：D　∵AC⊥BD，BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面B1D1D，BE?面BDD1B1，∴AC⊥BE，A正确；∵EF∥BD，∴EF∥平面ABCD，B正确；A到平面BEF的距离为AC＝，S△BEF＝EF×BB1＝，所以VA－BEF＝××＝为定值，C正确，故选D.
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则直线a与β的位置关系为________．
答案：a∥β或a?β
10．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图均为腰长为2的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．
解析：正方体的体积V正方体＝2×2×2＝8，由三视图可知该几何体是四棱锥，V＝×2×2×2＝，故用3个这样的几何体可以拼成一个棱长为2的正方体．
答案：3
11．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是________cm2.
解析：由三视图可知，该几何体是由正四棱锥和正方体组成，四棱锥的底面为正方形，边长为2，高为1，则斜高为＝，正方体的棱长为2，S表＝×2××4＋2×2×5＝4＋20.
答案：20＋4
三、解答题(每小题15分，共45分)
12．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．
解：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.
又BA⊥AD且AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊DC.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，且QE＝1.
因此，三棱锥Q－ABP的体积为
VQ－ABP＝×QE×S△ABP＝×1××3×2sin45°＝1.
13．如图(1)矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图(2)．
(1)求四棱锥D－ABCE的体积；
(2)求证：AD⊥平面BDE.
解：(1)∵平面ADE⊥平面ABCE，AD＝DE，取AE的中点M，则DM⊥底面ABCE.
∴VD－ABCE＝×DM·SABCE＝×a××a＝a3.
(2)证明：在△ABE中，AE＝a，BE＝a，
∴AE2＋EB2＝AB2.
∴BE⊥AE，又平面ADE⊥平面ABE，
∴BE⊥平面ADE，
∴BE⊥AD，又AD⊥DE，
∴AD⊥平面BDE.
14．如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，记CD＝x，V(x)表示四棱锥F－ABCD的体积．
(1)求V(x)的表达式；
(2)求V(x)的最大值．
解：(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD.
∵BD⊥CD，BC＝2，CD＝x，
∴FA＝2，BD＝(0＜x＜2)，
∴S?ABCD＝CD·BD＝x，
∴V(x)＝S?ABCD·FA＝x(0＜x＜2)．
(2)V(x)＝x＝
＝
.
∵0＜x＜2，∴0＜x2＜4，
∴当x2＝2，
即x＝时，V(x)取得最大值，且V(x)max＝.