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第二章 统 计
第二章 统 计
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第二章
统计
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ER
ZHANG
预习案,自主学习
研读·思考·尝试
》探究·讲练互动
解惑·探究·突破2．1.1 简单随机抽样
1.了解简单随机抽样的含义． 2.理解抽签法与随机数表法的区别与联系．
3．会用抽签法和随机数表法从总体中抽取样本．
1．总体、个体、样本、样本容量的概念
(1)总体：一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看作总体．
(2)个体：构成总体的每一个元素叫做个体．
(3)样本：从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本．
(4)样本容量：样本中个体的个数叫做样本容量．
2．简单随机抽样
(1)抽样时要保证每一个个体都可能被抽到，并且每一个个体被抽到的机会是均等的，满足这样的条件的抽样方法是随机抽样．
(2)一般地，从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，那么，这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(3)将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上，然后将这些号签放在同一个不透明的盒子里并搅拌均匀，每次从中抽出一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本，这种方法叫抽签法．
(4)事先制好数表，表中共出现0，1，2，3，…，9十个数字，且表中每个位置上的数字都是等可能出现的，这种数表称为随机数表．随机数表并不是唯一的，只要符合各个位
置上等可能地出现其中各个数的要求，就可以构成随机数表．
1．判断正误．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)有放回地抽样也可能是简单随机抽样．( )
(2)在简单随机抽样中，一次可以抽取多个个体．( )
(3)抽签法和随机数表法都是简单随机抽样．( )
(4)无论是抽签法还是随机数表法，每一个个体被抽到的机会都是均等的．( )
(5)抽签法和随机数表法都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．从100个学生家长中一次性随机抽取10人做家访
B．从38本教辅参考资料中有放回地随机抽取3本作为教学参考
C．从偶数集中一次性抽取20个进行奇偶性分析
D．某参会人员从最后一排20个座位中随机选择一个坐下
解析：选D.A选项错在“一次性”抽取；B选项错在“有放回”抽取；C选项错在“一次性”“总体容量无限”．故正确选项为D.
简单随机抽样的概念[学生用书P25]
下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验，在抽样过程中，从中任取一种玩具检验后再放回；
(3)国家跳水队挑出最优秀的10名跳水队员，备战2020年日本东京奥运会；
(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出7个号签．
【解】 (1)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
(2)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取．
(3)不是简单随机抽样，因为这10名跳水队员是挑选出来的(最优秀的)，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能性”的要求．
(4)是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．
判定简单随机抽样的方法
判断一个抽样方法是否属于简单随机抽样，只需要对简单随机抽样的4个特征(有限性、逐一性、不放回性、等可
能性)进行验证，若全部满足，则该抽样方法为简单随机抽样，若有其中一条不满足，则不是简单随机抽样．
下列抽样方法是否是简单随机抽样？
(1)在某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格；
(2)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
(3)人们打桥牌时，将洗好的牌随机确定一张起始牌，按次序发牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张．
解：由简单随机抽样的特点可知，(1)(2)均不是简单随机抽样．
(3)简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始牌，其他各张牌虽然是逐张发牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样．
抽签法的应用[学生用书P26]
从30名留守儿童中抽取8人进行安全教育问卷调查，请写出抽取样本的过程．
【解】 第一步，先将30名儿童进行编号，从1到30；
第二步，将编号写在形状、大小相同的号签上；
第三步，将号签放到一个不透明的盒子中搅拌均匀，然后从盒子中逐个抽取8个号签；
第四步，将与号签上的编号对应的儿童抽出，即得样本．
抽签法的一般步骤
现在从20名学生中抽取5名进行阅卷调查，写出抽取样本的过程．
解：(1)先将20名学生进行编号，从01编到20；
(2)把号码写在形状、大小均相同的号签上；
(3)将号签放在某个不透明的箱子中搅拌均匀；
(4)然后依次从箱子中抽取5个号签，并记录上面的编号；
(5)按这5个号签上的号码抽出对应学生，即得样本．
随机数表法的应用[学生用书P27]
现有一批编号为10，11，…，99，100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数表法设计抽样方案？
【解】 法一：第一步：将元件的编号调整为010，011，012，…，099，100，…，600；
第二步：在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，用教材第51页的随机数表，从各组数中任选一个前3位小于或等于600的数作为起始号码，如选第1行第7组数“530”，向右读；
第三步：从数“530”开始，向右读，每次一组5个随机数中读取前三位，后两位不读，舍去．凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到530，415，536，089，483，326；
第四步：以上号码对应的6个元件就是要抽取的对象．
法二：第一步：将每个元件的编号加100，重新编为110，111，…，700；
第二步：在教材第51页的随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第2行第1组数“536”，向右读；
第三步：从数“536”开始，向右读，每次读取一组5个随机数中的前三位，后两位不读，舍去．凡不在110～700中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到536，483，326，349，636，579；
第四步：这6个号码分别对应原来的436，383，226，249，536，479，这些号码对应的6个元件就是要抽取的对象．
当题目所给的编号位数不一致时，不便于直接从随机数表中读取，这时需要对号码作适当的调整，用调整后的号码抽取以后再对应找出原来的号码，调整时可用如下方法：
(1)在位数少的数前添加“0”，凑齐位数．如1，2，…，15可调整为01，02，…，15；
(2)把原来的号码加上10的倍数．如：1，2，3，…，15，每数加10可调整为11，12，…，25；90，91，…，100，…，110每数加10可调整为100，101，…，110，…，120，每数加100可调整为190，191，…，200，…，210；
(3)把个体重新编号，按新编号抽取完以后，再对应找出原来的号码．
现有一批零件，其编号为600，601，…，999.利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检验．若用随机数表法，怎样设计方案？
解：第一步：将零件编号为600，601，…，999.
第二步：在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第2行第3列数“6”开始，向右读；
第三步：从数“6”开始，向右读，每次读取三位，凡不在600～999中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到666，839，616，931，723，919，699，961，901，923；
第四步：以上号码对应的10个零件就是要抽取的对象．
1．简单随机抽样的四个特点
(1)它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析．
(2)它是从总体中逐个抽取，这样便于在抽样实践中进行操作．
(3)它是一种不放回抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算．
(4)它是一种等机会抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
2．抽签法适用于总体和样本容量都较小时的抽样，当总体和样本容量相对较大时可用随机数表法进行抽样．
能否运用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便，二是号签是否容易被搅拌均匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．而利用随机数表法抽取个体时，事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点，以及读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．
1．抽签法中确保样本具有代表性的关键是( )
A．制签
B．搅拌均匀
C．逐一抽取
D．抽取不放回
解析：选B.只有搅拌均匀才能保证抽样的公平．
2．关于简单随机抽样的方法，有以下几种说法，其中错误的是( )
A．要求总体的个体数有限
B．从总体中逐个抽取
C．它是一种不放回抽样
D．每个个体被抽到的机会不一样
解析：选D.由简单随机抽样的定义知，每个个体被抽到的机会都相等．故D错误．
3．在简单随机抽样方法中，如果总体中个体数较少，应采用________；如果总体中个体数相对较多，应采用________．
答案：抽签法抽样 随机数表法抽样
4．福利彩票的中奖号码是由1～36个号码中选出7个号码来按规则确定中奖情况，这种从36个号码中选7个号码的抽样方法是________．
解析：当总体的个体数不多时，宜采用抽签法．因为它简便易行，可用不同的方法制签，抽签也方便．
答案：抽签法
,
[学生用书P95(单独成册)])
[A 基础达标]
1．世界篮球锦标赛已更名为“篮球世界杯”，西班牙成为第一个举办篮球世界杯的国家．组委会为了保证比赛用球的质量，从承包商生产的100个篮球中随机抽取20个进行质量检验，下列说法正确的是( )
A．100个篮球是总体
B．20个篮球是样本
C．样本容量是100
D．样本容量是20
解析：选D.根据统计的有关概念可知，总体是100个篮球的质量，样本是抽取的20个篮球的质量，总体容量是100，样本容量是20.故选D.
2．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．从50个零件中一次性抽取5个做质量检验
B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C．从实数集中随机抽取10个整数分析奇偶性
D．运动员从8个跑道中随机选取一个跑道
解析：选D.A不是，因为“一次性”抽取与“逐个”抽取含义不同；B不是，因为是有放回抽样；C不是，因为实数集是无限集．
3．下列抽样试验中，适合用抽签法的是( )
A．从某厂生产的3
000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3
000件产品中抽取10件进行质量检验
解析：选B.A、D中个体总数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品性质可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适于用抽签法；B中个体数和样本容量均较小，且同厂生产的两箱产品，性质差别不大，可以看成是搅拌均匀了．
4．已知总体的个数为111，若用随机数表法抽取一个容量为12的样本，则下列对总体的编号正确的是( )
A．1，2，…，111
B．0，1，…，111
C．000，001，…，111
D．001，002，…，111
解析：选D.在使用随机数表法抽取样本时，必须保证编号的位数一致，同时要规范编号，不能多也不能少，结合所给选项，选D.
5．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A．，
B．，
C．，
D．，
解析：选A.简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等，都为.
6．下列调查的样本合理的是________．
①在校内发出一千张印有全校各班级的选票，要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”，以了解最受欢迎的教师是谁；②从一万多名工人中，经过选举，确定100名代表，然后投票表决，了解工人们对厂长的信任情况；③到老年公寓进行调查，了解全市老年人的健康状况；④为了了解全班同学每天的睡眠时间，在每个小组中各随机抽取3名学生进行调查．
解析：①中样本不具有代表性、有效性，在班级前画“√”与了解最受欢迎的老师没有关系；③中样本缺乏代表性；而②④是合理的样本．
答案：②④
7．用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是________．
解析：简单随机抽样是等可能性抽样，每个个体被抽到的机率都是＝.
答案：
8．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号________________________________________________________________________．
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)．
59408 66368 36016 26247 25965 49487 26968 86021
77681 83458 21540 62651 69424 78197 20643 67297
76413 66306 51671 54964 87683 30372 39469 97434
解析：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是345，第二个数821大于799，要舍去，第三个数540符合题意，这样依次读出结果．
答案：345，540，626，516，478
9．某校2017级高一年级有50位任课教师，为了调查老师的业余兴趣情况打算抽取一个容量为5的样本，问此样本若采用抽签法将如何获得？
解：首先，把50位任课教师编上号码：1，2，3，…50.制作50个形状、大小相同的号签(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在同一个不透明的箱子里，进行均匀搅拌．抽签时，每次从中抽出1个号签，不放回，连续抽取5次，就得到一个容量为5的样本．
10．假设要从高三年级全体学生450人中随机抽出20人参加一项活动，请分别用抽签法和随机数法抽出人选，写出抽取过程．
解：抽签法：先把450名同学的学号写在相同小纸片上，揉成大小相同的小球，放在一个不透明的袋子中，充分搅拌后，再从中逐个抽出20个小球，这样就抽出20人参加活动．
随机数法：将450名同学编号，用计算机产生20个随机数，例如这20个随机数为65、34、128、8、164、185、203、268、234、303、324、403、425、272、99、83、10、41、97、327，则这20个编号对应的同学组成样本．
[B 能力提升]
11．从一群玩游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏．过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为( )
A．
B．k＋m－n
C．
D．不能估计
解析：选C.设参加游戏的小孩有x人，则＝，x＝.
12．从个体数为N的总体中抽出一个样本容量是20的样本，每个个体被抽到的可能性是，则N的值是________．
解析：从个体数为N的总体中抽出一个样本容量是20的样本，
所以每个个体被抽取的可能性是.
因为每个个体被抽取的可能性是，
所以＝，所以N＝100.
答案：100
13．某班共有60名学生，现领到10张听取学术报告的入场券，用抽签法和随机数表法把10张入场券分发下去，试写出过程．
解：(1)抽签法：
①先将60名学生编号为1，2，…，60；
②把号码写在形状、大小相同的号签上；
③将这些号签放在同一个箱子里进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽出一个号签，连续10次，根据抽到的10个号码对应10名同学，10张入场券就分发给了10名同学．
(2)随机数表法：
①先将60名学生编号，如编号为01，02，…，60；
②在随机数表中任选一个数作为开始，从选定的数可向任意方向读，如果读到的数小于或等于60，将它取出，如果读到的数大于60，则舍去，前面已读过的也舍去，直到
已取满10个小于或等于60的数为止，说明10个样本号码已取满．
③根据号码对应的编号，再对应抽出10名同学，10张入场券就分发给了10名被抽到的同学．
14．(选做题)某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．
解：第一步：先确定艺人：(1)将30名内地艺人从1到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明的箱子中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出．
(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人．
第二步：确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可．
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