(共37张PPT)
新课标背景下信息技术与中小学数学、
小学科学学科融合应用及资源建设研究
2018—2019年
陕西省基础教育资源建设研究课题
解三角形的实际应用举例
——高度的测量
北
师
大
版
高
中
数
学
必
修
5
学习目标
1.了解解三角形在测量、工程等实际问题中的应用；能选择正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题。
2.在解三角形的实际应用问题中，进一步体会数学建模的思想，掌握数学建模的方法。
3.体会数学知识来源于实际生活，体会正弦定理、余弦定理在实际生活中的广泛应用。
《攀登者》——攀登珠穆朗玛峰
一部饱含爱国主义情怀的电影
1975年珠穆朗玛峰高度测量
背后的故事1：
为什么登珠峰、测高度?
国家主权，坚决捍卫！
我们自己的山，要自己登上去。
要测出准确的高度,中国的高度.
那么，怎样测量山的高度呢？
下面，我们一起走进今天的测量之旅
——高度测量。
我们一起来看一个微课：
《学校旗杆高度的测量》
《学校旗杆高度的测量》
思考：怎样测量学校旗杆的高度？
方法1:利用阳光下的影子
若学生身高是1.6m,其影长是1m,旗杆影长5m,利用相似的知识可求旗杆高度.
A
B
C
D
E
初中课本测量方法汇总
古埃及金字塔高度的测量
泰勒斯（公元前624年至前547年）：第一个测量出金字塔高度的人。在金字塔建成的1000多年里，人们都无法测量出金字塔的高度——它们实在太高大了。约公元前600年,泰勒斯从遥远的希腊来到了埃及，他利用相似三角形的性质,利用影子，测出了金字塔的高度.
神奇的影子
方法2:利用标杆
若学生眼睛距地面高度是1.6m,标杆是2m，学生距标杆1m,标杆底部距旗杆底部是15m,利用相似的知识可求旗杆高度.
A
B
C
D
E
F
G
H
初中课本测量方法汇总
方法3、利用镜子的反射
A
B
C
D
P
若学生眼睛距地面高度是1.6m,学生脚距镜子1m,镜子距旗杆底部是5m,利用相似的知识可求旗杆高度.
初中课本测量方法汇总
方法4、自主探究方法(1)
利用手机拍照，测量出图片中旗杆和学生的长度，以及学生实际身高。利用相似比计算出旗杆实际高度。
其它测量方法汇总
方法4、自主探究方法(2)
测量出如图两位学生的高度差，两学生相距距离，以及他们到旗杆的距离，构造相似三角形，根据相似比计算出旗杆实际高度。
其它测量方法汇总
方法4、自主探究方法(3)
利用学生手里的三角尺，测量出学生三角尺的边长以及学生离旗杆的距离，构造相似三角形，根据相似比计算出旗杆实际高度。
其它测量方法汇总
方法4、自主探究方法(4)
利用学生手里的书本，测量出学生眼睛到书本的距离、书本的长度以及学生离旗杆的距离，构造相似三角形，根据相似比计算出旗杆实际高度。
其它测量方法汇总
方法4、自主探究方法(5)
通过解直角三角形来完成旗杆高度的测量。测量出图中BC的长度和角C的大小，根据AB=BC?tanC计算出旗杆实际高度。
A
B
C
其它测量方法汇总
高度测量类型：底部可到达
方法一：皮尺、标杆。
利用相似来求解。
方法二：皮尺、标杆、测角仪。
解直角三角形。
看完微课，我们继续探究：
微课中高度的测量我们可以归为第一类，底部可到达的物体高度的测量。下面我们来看第二类，底部不可到达的物体的高度测量。
思考：生活中还有一些物体，底部不可到达，我们又该怎样测量它的高度呢？
高度测量类型二：底部不可到达
如图：A为建筑物的最高点，设计一种测量方案，求出A相对于地面的高度.
学习方案一：
不看书，利用所学，自己设计测量方案。
A
学习方案二：(书中例2)
请同学们看书自学并思考：
1.解决问题的思路是什么;
2.此方案需要测量哪些数据;
3.你能抽象出数学简图吗;
4.你能顺利完成计算吗;
5.此方法用到了哪些知识点;
6.你有新的方案吗？
高度测量类型二：底部不可到达
方法一：
方法二：
B
E
A
H
G
D
C
设立两个观测点
刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
《海岛算经》是古代汉族学者编撰的最早一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础。《海岛算经》共九问。都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数，进行计算从而求得山高或谷深，这就是刘徽的重差理论。
二望、三望、四望，处理误差。
刘徽——《海岛算经》——望海岛图
1、分析：理解题意，画出示意图。
2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中。
3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。
4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
实际问题→数学问题（三角形）
→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解
解应用题的一般步骤是：
小结
光学经纬仪
钢卷尺
测量工具介绍：觇标（只有角度测量功能）
1975年珠穆朗玛峰高度测量
觇标的使用
1975年珠穆朗玛峰高度测量
测量方案
1975年珠穆朗玛峰高度测量
1975年珠穆朗玛峰高度测量
测量方案：
山高
=
总高度
-
觇标高度
六点联测、
取平均值、
最小二乘估计、
误差控制
测量工具：觇标
1975年珠穆朗玛峰高度测量
背后的故事1：
国家主权，坚决捍卫！
我们自己的山，要自己登上去。
要测出准确的高度，中国的高度。
背后的故事2：
测量数据庞大；
气象、测量都不发达；
艰辛、牺牲。
背后的故事3：
国际对8848.13米有质疑。
雪层厚度、冰层厚度是否准确？
1975年珠穆朗玛峰高度测量
2005年，时隔30年，国家测绘局再次组织珠穆朗玛峰高程测量，囯测一大队再次领命承担此次重任，并采用当时世界最先进的测量技术，利用GPS测量、重力场的理论和方法、高空气象探候、峰顶冰雪层雷达探测等现代测量技术手段，结合水准测量、三角高程测量、电磁波测距、高程导线测量等经典测量方法，精确测定珠峰高度。再次将重力测量推进到海拔7790米的高度，并精确地测定了这一高度重力点的坐标和高程，刷新了历史！
2005年珠穆朗玛峰高度测量
国测一大队对珠峰的测量分两个阶段
第一阶段：
海拔5600米之前———水准测量法
第二阶段：
海拔5600米以后———6点联测确保精度
觇标添加了专门的棱镜，增加了测距功能
辩证的看问题：即使卫星测高，还是有误差的，卫星模拟的地球是椭球形，但实际地球不是严格意义上的球体，有高山，有盆地。另外空气、云层等气象对测量都有影响。所以我们还需辅以人工精确测量。然后电脑进行复杂运算。
一般人想象不到，目前世界上精度最高的测量方法还是每30米、每30米地依靠人工来测量。
珠峰8300米处的一块坚固岩石上竖立一根永久性的觇标。
2005年珠穆朗玛峰高度测量
2005年5月22日中华人民共和国重测珠峰高度，测量登山队成功登上珠穆朗玛峰峰顶，再次精确测量珠峰高度，珠峰新高度为8844.43米，而峰顶位于中国。同时停用1975年8848.13米的数据。
珠穆朗玛峰有两种高度：登山者登上的是总体高度，尼泊尔等国采用的雪盖高（总高）是8848米（29029英尺），2005年中国国家测绘局测量的岩面高（裸高即地质高度）为8844.43米（29017英尺），2010年起承认两种高度的测量数据。
陕西的骄傲，陕西人的骄傲。
珠峰两次测量均由陕西测绘局国测一大队测量完成。
2005年珠穆朗玛峰高度测量
寄
语
时代在发展，我们致敬《攀登者》里的登山队员和测量工作人员、气象工作人员，我们为推动社会进步的创新者们点赞。
作为新时代的年轻人，我们要有国家担当，社会责任，不怕困难，敢于创新，永攀高峰，给出属于我们自己的人生高度。
作业
必做：P62，A.4
选做：P59，练习1
课后拓展学习或研究性学习建议：
1.有关测量的数学史学习。
2.有关测量的工具学习，思考测量工具与学科知识的融合。
3.有关水准测量、三角高程测量、电磁波测距、高程导线测量的学习。
谢
谢
大
家
北
师
大
版
高
中
数
学
必
修
5中小学教育资源及组卷应用平台
概况
教材版本及章节：北师大版必修5第二章第3节
课型：实验探究课
内容：《解三角形的实际应用举例——高度的测量》
年级：高二
授课人：
学校：
审核人：
学校：
教材分析
本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。
教学目标
1.了解解三角形在测量、工程等实际问题中的应用；能选择正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题。2.在解三角形的实际应用问题中，进一步体会数学建模的思想，掌握数学建模的方法。3.体会数学知识来源于实际生活，体会正弦定理、余弦定理在实际生活中的广泛应用。4.渗透提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等数学学科核心素养。
学习目标
1.能选择正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题。2.进一步体会数学建模的思想，掌握数学建模的方法。
教学重点
构建数学模型，解决实际问题。
教学难点
数学建模的过程及解三角形的运算。
教学环节
内容摘要
方法策略
设计意图
用时
备注
一、情境引入
2019年9月30日，上映了一部影片《攀登者》，这是一部饱含爱国主义情怀的电影，讲的是1975年珠穆朗玛峰高度测量的故事。背后的故事1：我们为什么登珠峰、测高度?国家主权，坚决捍卫！我们自己的山，要自己登上去。要测出准确的高度,中国的高度.问题：那么，怎样测量山的高度呢？下面，我们一起走进今天的测量之旅——高度的测量。
由爱国主义影片引入
高度的测量来源于生活，为数学建模、为爱国主义教育埋下伏笔。
1分钟
二、探究：高度测量类型（一）底部可到达
（一）学校旗杆高度的测量1.投影展示学生的方案并互评。学生的测量方法主体是初中的测量方法，也有利用角度和长度解三角形的。2.播放微课《学校旗杆高度的测量》初中课本测量方法汇总方法1：利用阳光下的影子数学史介绍：古埃及金字塔高度的测量方法2：利用标杆方法3：利用镜子的反射其它测量方法汇总：利用手机拍照、利用两位学生的高度差、利用三角尺、利用书本，结合相似三角形的知识，完成了测量。还可以通过解直角三角形来完成旗杆高度的测量。测量出图中BC的长度和角C的大小，根据AB=BC?tanC计算出旗杆实际高度。（二）小结：高度测量类型一：底部可到达方法一：皮尺、标杆。
利用相似来求解。方法二：皮尺、标杆、测角仪。
解直角三角形。
小组交流分享：课前4人组合作交流汇总测量方案；课堂投影，学生展示各组方案；然后学生互评，师生互评。
学生已具备一定的测量知识，可以课前分组自主完成旗杆高度测量的方案制定。教师微课是对初中所学的复习，又有学生创新测量的汇总与展示，同时介绍相关数学史知识。
10分钟
三、探究：高度测量类型（二）底部不可到达
思考：生活中还有一些物体，底部不可到达，我们又该怎样测量它的高度呢？（一）例如：A为建筑物的最高点，设计一种测量方案，求出A相对于地面的高度.学习方案一：不看书，利用所学，自己设计测量方案。学习方案二：(书中58页例2)
请同学们看书自学并思考：1.解决问题的思路是什么;2.此方案需要测量哪些数据;3.你能抽象出数学简图吗;4.你能顺利计算吗;5.此方法用到了哪些知识点;6.你有新的方案吗？书中例2：如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C，D两处，测得烟囱的仰角分别是和，
C、D间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m.求烟囱的高。分析：因为AB=AA1+A1B,，又AA1=1.5m
所以只要求出A1B即可解：在△BC1D1中，，由正弦定理得：从而：
因此：答：烟囱的高约为（二）例题．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30
m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )A．5
m
B．15
mC．5
m
D．15
m解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，解得BC＝15(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15(m)．答案：D（三）方法小结:主要有两种方法，详见两道例题。核心是设立两个观测点（四）数学史介绍：刘徽——《海岛算经》——望海岛图刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
《海岛算经》是古代汉族学者编撰的最早一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础。《海岛算经》共九问。都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数，进行计算从而求得山高或谷深，这就是刘徽的重差理论。
二望、三望、四望，处理误差。
学生阅读自学，小组交流讨论，教师答疑解惑。学生自主运算，生生互查互评，教师点拨。
引导学生建模以学生的自学为主，分层设计学习方案。有能力的学生可以自主设计测量方案，有困难的学生可以自学课本内容。从实际问题中抽象出数学问题，从实际模型抽象出数学图形，是难点，尤其注意对高的抽象。计算是本节课的一个重点。通过本组题目落实学生的运算。此类底部不可到达物体高度的测量核心是设立两个观测点。渗透数学史的介绍。
18分钟
四．数学建模步骤
解应用题的一般步骤是：1、分析：理解题意，画出示意图2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解
师生共同提炼
再次深刻体会数学建模的过程
2分钟
五、实际应用
（一）1975年珠穆朗玛峰高度测量测量工具介绍：钢卷尺、光学经纬仪、觇标（只有角度测量功能）由于地势原因，有时视线不方便直达山的最高处，于是，测量工作者在山顶树立一个参照物，也就是觇标，从山下我们可以清晰的看到觇标的上端。于是，我们可以根据刚才的所学，测出觇标上端相对于地面的高度。2.测量方案：山高
=
总高度
-
觇标高度3.数据处理：六点联测、取平均值、最小二乘估计、误差控制4.背后的故事2：测量数据庞大；气象、测量都不发达；艰辛、牺牲。5.背后的故事3：国际对8848.13米有质疑。雪层厚度、冰层厚度是否准确？（二）2005年珠穆朗玛峰高度测量1.2005年，时隔30年，国家测绘局再次组织珠穆朗玛峰高程测量，囯测一大队再次领命承担此次重任，并采用当时世界最先进的测量技术，利用GPS测量、重力场的理论和方法、高空气象探候、峰顶冰雪层雷达探测等现代测量技术手段，结合水准测量、三角高程测量、电磁波测距、高程导线测量等经典测量方法，精确测定珠峰高度。再次将重力测量推进到海拔7790米的高度，并精确地测定了这一高度重力点的坐标和高程，刷新了历史！
2.觇标添加了专门的棱镜，增加了测距功能3.国测一大队对珠峰的测量分两个阶段
第一阶段：
海拔5600米之前———水准测量法第二阶段：
海拔5600米以后———6点联测确保精度4.辩证的看问题：即使卫星测高，还是有误差的，卫星模拟的地球是椭球形，但实际地球不是严格意义上的球体，有高山，有盆地。另外空气、云层等气象对测量都有影响。所以我们还需辅以人工精确测量。然后电脑进行复杂运算。5.
一般人想象不到，目前世界上精度最高的测量方法还是每30米、每30米地依靠人工来测量。珠峰8300米处的一块坚固岩石上竖立一根永久性的觇标。6.2005年5月22日中华人民共和国重测珠峰高度测量登山队成功登上珠穆朗玛峰峰顶，再次精确测量珠峰高度，珠峰新高度为8844.43米，而峰顶位于中国。同时停用1975年8848.13米的数据。7.珠穆朗玛峰有两种高度：登山者登上的是总体高度，尼泊尔等国采用的雪盖高（总高）是8848米（29029英尺），2005年中国国家测绘局测量的岩面高（裸高即地质高度）为8844.43米（29017英尺），2010年起承认两种高度的测量数据。8.陕西的骄傲，陕西人的骄傲。珠峰两次测量均由陕西测绘局国测一大队测量完成。（三）寄语时代在发展，我们致敬《攀登者》里的登山队员和测量工作人员、气象工作人员，我们为推动社会进步的创新者们点赞。作为新时代的年轻人，我们要有国家担当，社会责任，不怕困难，敢于创新，永攀高峰，给出属于我们自己的人生高度。
回归实际应用引导学生给出计算方案
通过珠穆朗玛峰高度的几次测量，介绍实际中的测量需要一个重要的测量工具：觇标。同时介绍实际的测量方案。让学生感受时代的变迁、祖国的发展、科技的进步。让学生学会辩证的看问题。让学生为中国、为陕西而感到骄傲。激励学生要有社会责任与担当。
10分钟
六、小结
请同学们对本节课的内容进行小结，谈谈你的收获。
学生自主发言，生生互评补充，教师总结
从知识与能力数学思想和方法情感、态度和价值观等方面进行小结。
3分钟
七、作业
必做：P62，A.4选做：P59，练习1课后拓展学习或研究性学习建议：1.有关测量的数学史学习。2.有关测量的工具学习，思考测量工具与学科知识的融合。3.有关水准测量、三角高程测量、电磁波测距、高程导线测量的学习。
分层布置作业。提供给学生课外拓展学习的方向。
1分钟
八、板书设计
解三角形的实际应用举例----高度的测量类型
底部可到达
底部不可到达
例题图形测量数据方法
3
