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概况
教材版本及章节：北师大版必修4第一章第2节
课型：概念课
内容：《角的概念的推广》
年级：高一
授课人：
学校：
审核人：
学校：
教材分析
本节课主要内容是角的概念的推广，是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角。首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等。本节内容是在学了集合和函数之后的又一重要章节，是对初中锐角三角函数的一个延伸和推广，主要是推广到任意角三角函数。也是对集合与函数的知识的又一渗透。本节课《角的概念的推广》起到了一个铺垫和承上启下的作用，为今后学习任意角的三角函数提供了有力的依据。
教学目标
1.通过实例，引导学生理解角的概念推广的必要性，理解任意角的概念，根据角的终边旋转方向，能判定正角、负角和零角。2.引导学生建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。3.引导学生通过观察、联想、归纳得出相应的数学概念和规律，体会由特殊到一般、类比、数形结合等数学思想方法，学会运用运动变化的观点认识事物。4.通过本节的学习，引导学生意识到数学来源于生活，服务于生活，激发学生学习数学的兴趣。5.渗透提升数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学学科核心素养。
学习目标
1.理解角的概念推广的必要性，理解任意角的概念，会判定正角、负角和零角。2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法。3.在学习过程中体会类比、数形结合等数学思想方法。
教学重点
理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念，初步掌握终边相同的角的表示方法。
教学难点
终边相同的角的表示方法
教学环节
内容摘要
方法策略
设计意图
用时
备注
一、微课引入
播放微课《角的概念的推广》（一）角的概念的推广的必要性同学们，我们的生活中有许多“角”。有些“角”非常直观，例如：直角三角板中的“角”，钟表指针构成的“角”。1.初中角的概念1）角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。2）角也可以看做一条射线绕端点旋转所组成的图形。2.历史上数学家对角的认识实际上，最初的角的定义不是这样的，我们一起来看一下《历史上数学家对角的认识》。（详见附录）那么，我们现在采用的是源于哪种定义呢？这里，我们要特别介绍一下欧几里得和他的《几何原本》。
《几何原本》是古希腊
(?https:?/??/?baike.so.com?/?doc?/?5401618-5639258.html?)数学家欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学成果和精神于一书。既是数学
(?https:?/??/?baike.so.com?/?doc?/?5343249-5578692.html?)巨著，也是哲
(?https:?/??/?baike.so.com?/?doc?/?4921033-5140127.html?)学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识。
3.我国在这方面的研究汉语的最早译本是由意大利传教士利玛窦和明代科学家徐光启于1607年合作完成的，但他们只译出了前6卷。正是这个残本奠定
(?https:?/??/?baike.so.com?/?doc?/?2632970-2780213.html?)了中国现代数学的基本术语，诸如三角形、角、直角等等。
我们现在所用的角的定义是数学家们不断修订后的结果。
4.初中角的分类和范围初中学习的角有：
锐角、直角、钝角、平角、周角。5.我们的生活中，还有其它的角。高空缆车的旋转；跳水中，运动员旋转的周数如何用角度来表示？转体两周指的是多少度？生活中扳手的旋转等。6.角的概念的推广的必要性这些例子所提到的角，它们按照不同方向旋转，它们不全是0°～3600范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，有必要将角的概念进行推广。
那么，我们怎样对角的概念进行合理推广？
你觉得主要推广的是什么？（二）探究一：角的概念的推广角的概念的推广，实质就是范围的推广。1.我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它为零角。2.角的画法如何画出一个角呢？注意两方面：（1）要画出旋转方向（2）要画出旋转量（三）探究二：把角放入直角坐标系角是平面图形，为了进一步研究角的需要，我们考虑把角放入直角坐标系内讨论。
请同学们思考：怎么放入？所有角的放入应该有一个统一的标准？1.象限角的定义把角放在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。2.轴线角的定义如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为轴线角．(亦称轴上角)（四）小结1.按旋转方向不同分为正角、负角和零角。2.按终边位置不同分为象限角和轴线角。
微课学习，通过视频梳理角的相关知识，对角的概念做推广，为本节课的深入学习做准备。类比、数形结合。类比初中对正数、负数、零的学习，给出正角、负角、零角的概念。并学习角的画法。引导学生思考给出放入标准。引导学生表达，根据角的终边位置的不同，可重新对角分类，并生成新的角的相关概念。
（一）“角”来源于生活。1.复习初中角的概念。对比“静”“动”两种定义。2.数学史的相关学习。主要介绍欧几里得和他的《几何原本》。3.我国相关研究。主要介绍明代科学家徐光启。（介绍概念的形成是有一个漫长的过程的，并且在不断修订和推广。）4.复习初中角的分类和范围。为后面推广角的概念做准备。5.生活中的角的范围远超出初中角的范围，形成认知冲突。有必要将角的概念进行推广，并且提出相应的思考问题。（二）引导学生先把角的范围推广到全体正数，再思考有没有零角，再根据旋转方向给出正角和负角。会区分正角和负角的画法。（三）让学生继续体会类比、数形结合等思想方法。渗透培养学生的理性思维和创新精神，并思考概念的合理性。（四）微课小结
8分钟
二、探究：终边相同的角的集合
（一）探究三：终边相同的角探究：在直角坐标系中画出下列各角：30°，390°，-330°。终边相同的角：所有与角30°终边相同的角，连同角30°在内，可构成一个集合（二）一般结论：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合说明：（1）k∈Z；（2）α是任意角；（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；（4）k?360°+α之间是“+”号，k?360°-α可理解为k?360°+(-α).
集合的书写可组织学生小组交流讨论
在探究中，练习角的画法，强化象限角和轴上角的概念，同时为终边相同的角的学习埋下伏笔。终边相同的角的集合是本节课的重点和难点
11分钟
三、典型例题
类型一：角的概念例1：辨析概念（1）锐角是第几象限的角？答：锐角是第一象限的角。（2）第一象限的角是否都是锐角？答：第一象限的角并不都是锐角。（3）小于90°的角都是锐角吗？答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角。类型二：象限角的判定及终边相同的角例2：写出与－1000?角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360?≤β<720?的元素β写出来，并判断
－1000?是第几象限的角。解：S={β|
β=
－
1000?
+k·360?，
k∈Z
},
S中适合－360?≤β<720?的元素是：
－
1000?+2×360?=
－
280?；
－
1000?+3×360?=
80?
；
－
1000?+4×360?=
440?
．－
1000?是第
一
象限的角。类型三：终边落在坐标轴上的角的集合解：终边落在ｙ轴非负半轴上的角的集合为S1
={β|
β=900+K?3600,K∈Z}={β|
β=900+2K?1800,K∈Z}终边落在ｙ轴非正半轴上的角的集合为S2
={β|
β=2700+K?3600,K∈Z}={β|
β=900+（2K+1）1800
，K∈Z}所以，终边落在ｙ轴上的角的集合为S
=
S1∪S2={β|
β=900+K?1800
，K∈Z}
注意发挥学生的主动性，完成集合的书写，完成相关例题和练习。引导学生研究象限角的判别。学生先独立思考，然后小组合作交流，再学生展示，学生互评，师生互评。
典型例题的主体是对终边相同的角的表示的应用。这是本节课的难点。引导学生数形结合进行思考和研究，并会分别从数到形、从形到数互相解释。深化学习轴上角的表示。
22分钟
四、小结
1.角推广为正角、零角、负角。（根据角的范围分类）2.角可分类为象限角、轴线角。（引入直角坐标系后，根据角的终边位置分类）3.终边相同的角的集合表示。4.类比、数形结合的数学思想方法。
引导学生小结，生生互评补充，教师评价和总结。
梳理本节的知识和方法。
4分钟
五、作业布置
必做题：习题1-2，1、2选做题：写出终边在x轴上的角的集合。
思考题：第一象限的角怎样用集合来表示，其它象限的角呢？
分层布置
给不同程度的学生不同的选择和提升。
六、板书设计
《角的概念的推广》一、角的定义：
3.象限角、轴上角
四、典型例题
二、任意角
三、终边相同的角
1.正角、零角、负角
与终边相同的角的集合
2.角的画法
附录：《历史上数学家对角的认识》
时间
数学家
对角的认识
类别
公元前6世纪
泰勒斯
将“相等的角”称为“相似的角”
质
公元前4世纪
亚里士多德
将“相等的角”称为“相似的角”
质
公元前4世纪
欧德姆斯
角源于“折断”或“偏斜”
质
公元前3世纪
欧几里得
若一直线与另一直线构成的两个相邻的角相等，则称这两个角为直角；钝角是大于直角的角；锐角是小于直角的角
质/量
公元前3世纪
欧几里得
平面角是两条线在一个平面内相交所形成的倾斜度
关系
公元前3世纪
阿波罗尼斯
角是折现或折面所含的面或体收缩到某点处
量
公元前1世纪
普鲁塔克
角是折现或折面在某点处的初距
量
公元前1世纪
卡普斯
角是包含它的两线或两面之间的距离
量
4(共29张PPT)
新课标背景下信息技术与中小学数学、
小学科学学科融合应用及资源建设研究
2018—2019年
陕西省基础教育资源建设研究课题
角的概念的推广
北
师
大
版
高
中
数
学
必
修
4
学习目标
1.理解角的概念推广的必要性，理解任意角的概念，会判定正角、负角和零角。
2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法。
3.在学习过程中体会类比、数形结合等数学思想方法。
首先我们一起来看一个微课：
《角的概念的推广》
生活中的“角”
同学们，我们的生活中有许多“角”。例如：直角三角板中的“角”，钟表指针构成的“角”。
初中角的概念
1、角是由两条具有公共
端点的射线组成的图形。
2、角也可以看做一条射线绕端点旋转所组成的图形。
静
动
角
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｏ
角
角的始边
角的终边
《历史上数学家对角的认识》
时间
数学家
对角的认识
类别
公元前6世纪
泰勒斯
将“相等的角”称为“相似的角”
质
公元前4世纪
亚里士多德
将“相等的角”称为“相似的角”
质
公元前4世纪
欧德姆斯
角源于“折断”或“偏斜”
质
公元前3世纪
欧几里得
若一直线与另一直线构成的两个相邻的角相等，则称这两个角为直角；钝角是大于直角的角；锐角是小于直角的角
质/量
公元前3世纪
欧几里得
平面角是两条线在一个平面内相交所形成的倾斜度
关系
公元前3世纪
阿波罗尼斯
角是折现或折面所含的面或体收缩到某点处
量
公元前1世纪
普鲁塔克
角是折现或折面在某点处的初距
量
公元前1世纪
卡普斯
角是包含它的两线或两面之间的距离
量
我们现在采用的是源于哪种定义呢？这里，我们要特别介绍一下欧几里得和他的《几何原本》。
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学成果和精神于一书。既是数学巨著，也是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识。
《历史上数学家对角的认识》
汉语的最早译本是由意大利传教士利玛窦和明代科学家徐光启于1607年合作完成的，但他们只译出了前6卷。正是这个残本奠定了中国现代数学的基本术语，诸如三角形、角、直角等等。日本、印度等东方国家皆使用中国译法，沿用至今。
我们现在所用的角的定义是数学家们不断修订后的结果。
《历史上数学家对角的认识》
我们在初中学习的角有：
锐角、直角、钝角、平角、周角。
但我们的生活中，还有其它的角。
跳水中，运动员旋转的周数如何用角度来表示？
转体两周指的是多少度？向前翻腾3周半又指的是多少度？
这些例子所提到的角，它们按照不同方向旋转，它们不全是0°～3600范围内的角.因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，有必要将角的概念进行推广。
那么，我们怎样对角的概念进行合理推广？
你觉得主要推广的是什么？
探究一：角的概念的推广
B
A
O
B
A
O
逆
时
针
顺
时
针
1.我们规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．
如果一条射线没有作任何旋转，则称它为零角。
角的概念的推广，实质就是范围的推广。
探究一：角的概念的推广
B
A
O
B
A
O
逆
时
针
顺
时
针
2.如何画出一个角呢？
（1）要画出旋转方向
（2）要画出旋转量
探究一：角的概念的推广
角是平面图形，为了进一步研究角的需要，我们考虑把角放入直角坐标系内讨论。
请同学们思考：怎么放入？所有角的放入应该有一个统一的标准？
探究二：把角放入直角坐标系
第二象限角
第一象限角
第三象限角
第四象限角
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
探究二：把角放入直角坐标系
1.象限角的概念：
把角放在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角
。
2.轴线角的概念:
如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为轴线角．(亦称轴上角)
小结
角的概念的推广，实质就是范围的推广。
1.按旋转方向不同分为正角、负角和零角。
2.按终边位置不同分为象限角和轴线角。
看完微课，我们继续探究
探究：在直角坐标系中画出下列各角：30?，390?
，-330?
。
并观察图形，你发现了什么？
x
y
o
300
3900
-3300
探究三：终边相同的角
x
y
o
3900
3900
-3300
x
y
o
-3300
3900
-3300
x
y
o
300
3900
-3300
3900
-3300
终边相同的角：所有与角30°终边相同的角，连同角30°在内，可构成一个集合
探究三：终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
说明：
（1）k∈Z；
（2）α是任意角；
（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；
（4）k?360°+α之间是“+”号，k?360°-α可理解为k?360°+(-α).
典型例题
类型一：角的概念
例1：辨析概念
（1）锐角是第几象限的角？
（2）第一象限的角是否都是锐角？
（3）小于90°的角都是锐角吗？
答：锐角是第一象限的角。
答：第一象限的角并不都是锐角。例：390°在第一象限，但不是锐角。
答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角。
典型例题
类型二：象限角的判定及终边相同的角
例2：写出与－1000?角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360?≤β<720?的元素β写出来，并判断
－1000?是第几象限的角。
解：S={β|
β=
－
1000?
+k·360?，
k∈Z
},
S中适合－360?≤β<720?的元素是：
－
1000?+2×360?=
－
280?；
－
1000?+3×360?=
80?
；
－
1000?+4×360?=
440?
．
－
1000?是第
一
象限的角。
典型例题
类型三：终边落在坐标轴上的角的集合
解：终边落在ｙ轴非负半轴上的角的集合为
S1
={β|
β=900+K?3600,K∈Z}
={β|
β=900+2K?1800,K∈Z}
={β|
β=900+1800
的偶数倍}
终边落在ｙ轴非正半轴上的角的集合为
S2
={β|
β=2700+K?3600,K∈Z}
={β|
β=900+1800+2K?1800,K∈Z}
={β|
β=900+（2K+1）1800
，K∈Z}
={β|
β=900+1800
的奇数倍}
例3 写出终边落在y轴上的角的集合。
S
=
S1∪S2
所以，终边落在ｙ轴上的角的集合为
={β|
β=900+1800
的偶数倍}
∪{β|
β=900+1800
的奇数倍}
={β|
β=900+1800
的整数倍}
={β|
β=900+K?1800
，K∈Z}
课堂小结
1.任意角
正角
负角
零角
象限角
3
.
终边与角α相同的角的集合
2.角
轴线角
4
.
数学思想方法：数形结合、类比
作
业
必做题：习题1-2，2、3
选做题：写出终边在x轴上的角的集合。
思考题：第一象限的角怎样用集合来表示，其它象限的角呢？
谢
谢
大
家
北
师
大
版
高
中
数
学
必
修
4
