北师大版八年级数学下册 第4章 因式分解 同步单元练习含答案

第4章
因式分解
一．选择题（共10小题）
1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．m（a+b）＝ma+mb
B．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
D．x2+16﹣y2＝（x+y）（x﹣y）+16
2．6x3y2﹣3x2y3分解因式时，应提取的公因式是（　　）
A．3xy
B．3x2y
C．3x2y3
D．3x2y2
3．多项式（2a+1）x2+bx，其中a，b为整数，（　　）
A．若公因式为3x，则a＝1
B．若公因式为5x，则a＝2
C．若公因式为3x，则a＝3k+1（k为整数）
D．若公因式为5x，则a＝5k+1（k为整数）
4．下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是（　　）
A．x3﹣x+1
B．（a﹣b）﹣4（b﹣a）2
C．11a2b﹣7b2
D．5a（m+n）一3b2（m+n）
5．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（　　）
A．a2﹣b2
B．49x2﹣y2z2
C．﹣x2﹣y2
D．16m2n2﹣25p2
6．下列多项式能用公式法分解因式的有（　　）
①x2﹣2x﹣1；②﹣x+1；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如果二次三项式x2+ax+2可分解为（x﹣1）（x+b），则a+b的值为（　　）
A．﹣2
B．﹣5
C．3
D．5
8．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　）
A．1
B．4
C．11
D．12
9．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（　　）
A．被8整除
B．被m整除
C．被（m﹣1）整除
D．被（2m﹣1）整除
10．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）＝；（2）F（24）＝；（3）F（27）＝3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）＝1．其中正确说法的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题（共6小题）
11．多项式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各项的公因式是　
　．
12．在实数范围内分解因式：a3b﹣2ab＝　
　．
13．如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能因式分解，那么m的值可以是　
　．（填出符合条件的一个值）
14．若a+b＝2，ab＝﹣5，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　
　．
15．已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，计算a3b3+2a2b2+ab的结果是　
　．
16．232﹣1可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数是　
　．
三．解答题（共6小题）
17．把下列多项式分解因式：
（1）（x﹣1）（x﹣3）+1．
（2）x2﹣2x+（x﹣2）．
18．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为　
　（只要写出一个即可）；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
②若三个实数x，y，z满足2x×4y×8z＝，x2+4y2+9z2＝40，求2xy+3xz+6yz的值．
19．对于任意一个自然数n，如果n的各个数位上的数字之和是一个整数的平方，那么称n为“方数”，例如，自然数32587各位数字之和是3+2+5+8+7＝25＝52，所以32587就是一个“方数”；对于任意一个自然数m，如果m是一个整数的立方，那么称m为“立方数”，例如，8＝23，所以8是一个立方数．
（1）判断9999是不是方数？729是不是立方数？
（2）若一个两位数各位数字之和是一个“立方数”，并且各位数字相差4，请求出这个两位数；
（3）若自然数n既是“方数”又是“立方数”，则称n为完美数，请直接写出小于1000的自然数中的所有完美数．
20．完全平方公式是初中数学的重要公式之一：（a+b）2＝a2+2ab+b2，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式．
发现：3+2＝2+2+1＝（）2+2+12＝（+1）2；
应用：
（1）写出一个能用上面方法进行因式分解的式子，并进行因式分解；
（2）若a+b＝（m+n）2，请用m，n表示a，b．
拓展：如图在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝，∠C＝90°，延长CA至点D，使AD＝AB，求BD的长．（参考上面提供的方法把结果进行化简）
21．实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．
实验目的：
用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
探索问题：
（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片　
　张，长方形纸片　
　张；
（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；
（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内．
22．装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A、B型板材若干块，A型板材规格是a×b，B型板材规格是b×b．现只能购得规格是150×b的标准板材．（单位：cm）
（1）若设a＝60cm，b＝30cm．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图．
裁法一
裁法二
裁法三
A型板材块数
1
2
0
B型板材块数
3
m
n
则表中，m＝　
　，n＝　
　；
（2）为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是a×a，并做成如图2的背景墙．请写出图中所表示的等式：　
　；
（3）若给定一个二次三项式2a2+5ab+3b2，试用拼图的方式将其因式分解．（请仿照（2）在几何图形中标上有关数量）
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．
C．
2．
D．
3．
C．
4．
A．
5．
C．
6．
C．
7．
B．
8．
C．
9．
A．
10．
B．
二．填空题（共6小题）
11．
5a2b；
12．
ab（a+）（a﹣）．
13．
5（答案不唯一）．
14．﹣20
15．
48．
16．
15和17．
三．解答题（共6小题）
17．解：（1）（x﹣1）（x﹣3）+1
＝x2﹣x﹣3x+3+1
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2；
（2）x2﹣2x+（x﹣2）
＝x（x﹣2）+（x﹣2）
＝（x﹣2）（x+1）．
18．解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）①∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）
＝112﹣2×38
＝45；
②∵2x×4y×8z＝，
∴2x×22y×23z＝，
∴2x+2y+3z＝2﹣4，
∴x+2y+3z＝﹣4，
∵（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy+3xz+6yz），x2+4y2+9z2＝40，
∴（﹣4）2＝40+2（2xy+3xz+6yz），
∴2xy+3xz+6yz＝﹣12．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
19．解：（1）因为9999各位数字之和是9+9+9+9＝36＝62，
所以9999是一个“方数”；
因为729＝93，
所以729是一个立方数；
（2）两位数各位数字之和是一个“立方数”的两位数有10，17，26，35，44，53，62，71，80，
其中各位数字相差4的两位数有26，62．
故这个两位数是26或62；
（3）小于1000的自然数中的“立方数”有1，8，27，64，125，216，343，512，729，
其中是“方数”的有1，27，216．
故小于1000的自然数中的所有完美数有1，27，216．
20．解：（1）4+2＝3+2+1＝；
（2）∵a+b＝（m+n）2，
∴a+b＝m2+2n2+2mn，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn；
拓展：由题意得，AB＝，
∴AD＝AB＝2，
∴CD＝+2，
∴BD2＝BC2+CD2＝1+＝6+4+2＝＝，
∴BD＝．
21．解：（1）由（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可知需要两种正方形纸片3张，长方形纸片3张；
故答案为：3；3；
（2）a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）或（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；
（3）如图④，2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
22．解：（1）根据题意得，2×60×30+302m＝150×30，302n＝150×30
解得，m＝1，n＝5，
故答案为：1；5；
（2）∵正方形的边长为（a+2b），
∴正方形的面积为（a+2b）2；
∵正方形的面积等于各部分面积和＝a2+4ab+4b2；
∴（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，
故答案为：（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；
（3）画出矩形，其长为2a+3b，宽为a+b，如图，
由图形可知，2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）．