24.1.3弧、弦、圆心角

(共19张PPT)
人教版九年级上册
O
B
A
C
D
观察与发现
圆是中心对称图形吗 它的对称中心在哪里
·
圆是中心对称图形，
它的对称中心是圆心.
·
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
A
∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB。
⌒
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
弦
·
O
B
A
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
·
O
A
B
A1
B1
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
⌒
⌒
·
O
A
B
A1
·
O1
B1
·
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=600，请问上述结论还成立吗？为什么
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
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⌒
O
α
A
B
A1
B1
α
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
⌒
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圆心角定理
思考：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
O
α
A
B
A1
B1
α
同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
等对等定理
(1) 圆心角
(2) 弧
(3) 弦
知一得二
等对等定理整体理解：
O
α
A
B
A1
B1
α
1、如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。
（1）如果AB=CD，那么 ， 。
（2）如果弧AB=弧CD，那么 ， 。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，
OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？
为什么？
证明： ∵AB=AC
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形　　
又 ∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
例1 如图1，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,　　　　
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。
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O
B
C
A
2、如图4，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。
O
A
B
E
D
C
证明： ∵ BC=CD=DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE
=750
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3、如图6，AD=BC，那么比较AB与CD的大小.
O
D
C
A
B
⌒
⌒
4、如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取
CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、
B.
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：AC=BD
⌒
⌒
E
F
O
A
B
C
D
5、如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在⊙O上，连接OA、OB、OC，延长AO分别交BC于点P，交BC于点D，连接BD、CD.
（1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为r，求△ABC的边长
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B
C
A
O
P
D
1、三个元素：
圆心角、弦、弧
2、三个相等关系：
O
α
A
B
A1
B1
α
(1) 圆心角相等
(2) 弧相等
(3) 弦相等
知一得二