人教A版高中数学必修5第三章不等式单元测试（word含解析）

　不等式单元测试
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．不等式x(x－2)>0的解集是(　　)
A．(－∞，－2)∪(0，＋∞)　
B．(－2,0)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D．(0,2)
2．直线a>b>0，那么下列不等式成立的是(　　)
A．－a>－b
B．a＋cC.>
D．(－a)2>(－b)2
3．y＝loga的定义域是(　　)
A．{x|x≤1或x≥3}
B．{x|x<－2或x>1}
C．{x|x<－2或x>3}
D．{x|x≤－2或x>3}
4．若x，y∈R,
x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有(　　)
A．最小值和最大值1
B．最小值和最大值1
C．最小值和最大值
D．最小值1
5．若x，y满足条件，则z＝－2x＋y的最大值为(　　)
A．1
B．－
C．2
D．－5
6．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)
A．bB．cC．cD．a7．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是(　　)
A．2
B．2
C．4
D．5
8．不等式≥m对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤2
B．m<2
C．m≤3
D．m<3
9．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)
A.或－1
B．2或
C．2或1
D．2或－1
10．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b2＋c2＝2a2，则cosA的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D．－
11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(　　)
A．5
B．29
C．37
D．49
12．若对满足条件3x＋3y＋8＝2xy(x＞0，y＞0)的任意x、y，(x＋y)2－a(x＋y)＋16≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，8]
B．[8，＋∞)
C．(－∞，10]
D．[10，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设常数a>0，若9x＋
≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．
14．已知实数x，y满足则w＝的取值范围是________．
15．给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
16．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a，b，c为不相等的正数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.
18.(12分)解不等式0<<1，并求适合此不等式的所有整数解．
19．(12分)(1)已知x>0，求f(x)＝＋2x的最小值和取到最小值时对应x的值；
(2)已知020.(12分)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
21．(12分)设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝，若对一切的正整数n，总有Tn≤m，求实数m的取值范围．
22.(12分)某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱可获利润40元，B种糖果每箱可获利润50元．其生产过程分混合、烹调、包装三道工序．下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：min).
混合
烹调
包装
A
1
5
3
B
2
4
1
每种糖果的生产过程中，混合的设备至多用机器12
h，烹调的设备最多只能用机器
30
h，包装的设备最多只能用机器15
h，每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？
答案与解析
1．C　不等式x(x－2)>0，
∴x<0或x>2，故选C.
2．D　∵a>b>0，∴a2>b2，(－a)2＝a2，(－b)2＝b2，∴D成立．
3．C　由题意得
即
解得
∴x>3或x<－2，故选C.
4．B　由x2＋y2＝1,
0≤y2＝1－x2≤1,
∴(1＋xy)(1－xy)＝1－x2y2＝1－x2(1－x2)＝
x4－x2＋1＝2＋.
∵0≤x2≤1,
∴当x2＝时有最小值.
当x2＝0或1时有最大值1，故选B.
5．A　不等式组所表示的平面区域如图示．
直线z＝－2x＋y过B点时z有最大值，由得B(－1，－1)，∴zmax＝1.
6．B　∵a＝log37，∴12.∵c＝0.83.1，∴0a>c.
7．C　＋＋2≥2
＋2≥2＝4，
当且仅当＝且2＝2，即a＝b＝1时，“＝”号成立，故选C.
8．A　∵x2＋x＋1>0恒成立，
∴不等式可化为3x2＋2x＋2≥m(x2＋x＋1)，
即(3－m)x2＋(2－m)x＋2－m≥0对任意实数x都成立，
当m＝3时，不等式化为－x－1≥0不恒成立．
当m≠3时，有即m≤2.
综上，实数m的取值范围是m≤2，故选A.
9．D　作出可行域如图中阴影部分所示．
由z＝y－ax得y＝ax＋z，知z的几何意义是直线在y轴上的截距．
故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；
当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
10．C　cosA＝＝＝≥＝，当且仅当b＝c时等号成立，故选C.
11．C　作出可行域如图(阴影部分)．
由题意知，圆心C(a，b)，半径r＝1，且圆C与x轴相切，所以b＝1.
由得A(6,1)，由得
B(－2，1)，而目标函数z＝a2＋b2表示点C到原点距离的平方，所以当点C与A(6,1)重合时，a2＋b2取到最大值37.
12．C　∵xy≤2，
∴3x＋3y＋8＝2xy≤，
∴－3(x＋y)－8≥0，解得x＋y≥8，
∵(x＋y)2－a(x＋y)＋16≥0恒成立，
即a≤x＋y＋，
又x＋y＋≥10.∴只需a≤10，故选C.
13.
解析：∵a>0，x>0，∴9x＋≥2＝6a.当且仅当9x＝，即3x＝a时取等号，要使9x＋≥a＋1成立，只要6a≥a＋1，即a≥.∴a的取值范围是.
14.[5,6]
解析：w＝＝＝4＋2×，设k＝.
则k的几何意义是区域内的点到定点D(3,2)的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象得AD的斜率最小，BD的斜率最大，
其中A，B(1,0)，
此时kAD＝＝，此时w最小为w＝4＋2×＝4＋1＝5，
kBD＝＝1，此时w最大为w＝4＋2×1＝6，
故5≤w≤6.
15．6
解析：画出可行域如图所示，其中z＝x＋y取得最小值时的整点为(0,1)，取得最大值时的整点为(0,4)，(1,3)(2,2)(3,1)及(4,0)共5个整点．故可确定5＋1＝6条不同的直线．
16．18
解析：由2x＋8y－xy＝0得＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥18.
当且仅当2x2＝8y2，即x＝2y时，等号成立．
17．证明：证法一：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1，∴＋＋＝
＋
＋
<＋＋＝＋＋.故原不等式成立．
证法二：∵a，b，c为不等正数，且
abc＝1，∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋>＋＋＝＋＋.故原不等式成立．
18．解：∵0<<1，
∴
∴0故不等式的解集为{x|0∴适合此不等式的所有整数解为x＝2.
19.解：(1)f(x)＝＋2x≥2＝4，
当且仅当＝2x，即x＝1时，等号成立，
∴f(x)的最小值为4，此时对应的x的值为1.
(2)∵0＜x＜，
∴1－3x＞0.
y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤·2＝，当且仅当3x＝1－3x，∴x＝时，等号成立，
∴y＝x(1－3x)的最大值为.
20．解：(1)由已知得f(1)＝－a2＋6a＋3>0.
即a2－6a－3<0.解得3－2∴不等式f(1)>0的解集为{a|3－2(2)∵f(x)>b，∴3x2－a(6－a)x＋b－6<0，由题意知，－1,3是方程3x2－a(6－a)x＋b－6＝0的两根，
∴∴
21.解：(1)由x>0,
y>0,
y＝3n－nx>0，
得0所以x＝1或x＝2，即Dn内的整点在直线x＝1和x＝2上．
记y＝－nx＋3n为l,
l与x＝1,
x＝2的交点的纵坐标分别为y1,
y2,
则y1＝2n,
y2＝n,
∴an＝3n(n∈N＋)．
(2)∵Sn＝3(1＋2＋…＋n)＝，
∴Tn＝.
又＝>1?n<2，
∴当n≥3时，
Tn>Tn＋1，且T1＝1所以实数m的取值范围为.
22．解：设生产A
x箱，生产B
y箱，可获利润z元，即求z＝40x＋50y在约束条件下的最大值．
解得zmax＝40×120＋50×300＝19
800.
所以生产A
120箱，生产B
300箱时，可以获得最大利润19
800元．