人教版九年级数学上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件（19张ppt）

(共19张PPT)
一元二次方程
21
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
课时目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系。
2.能运用一元二次方程的根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数的和与平方数，两根之差。
复习回顾
一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
的求根公式：
x=
(b2-4ac≥
0)
探究新知
小组合作，类比探究
【问题2】　方程
　　　　　
　　
（x1、x2
为已知数）
的两根是什么？将方程化为
x
2
+
px
+
q
=
0
的形式，你能
看出
x1，x2
与
p，q
之间的关系吗？
（　
）
（　
）
x
-
x1
x
-
x2
=
0
探究新知
?
填表，观察、猜想.
方程
x1,
x2
x1+
x2
x1.
x2
x2-2x+1=0
1,1
2
1
x2+3x-10=0
2,-5
-3
-10
x2+5x
+4=0
-1,-4
-5
4
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
②
x2+px+q=0的两根x1,
x2用式子表示你发现的规律.
探究新知
根与系数的关系
如果关于x的方程
的两根是
,
,则:
如果方程二次项系数不为1呢?
小组合作，类比探究
探究新知
一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=
0
中，二次项系数
a
未必是
1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
小组合作，类比探究
问题3
探究新知
归纳：一元二次方程
的两个根
x1，x2
和系数
a，b，c
有如下关系：
小组合作，类比探究
（韦达定理）
注意：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.
探究新知
x1+x2=
+
=
=
一元二次方程根与系数关系的证明：
探究新知
一元二次方程根与系数关系的证明：
x1x2=
●
=
=
=
探究新知
韦达（1540－1603）
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进.
他生于法国的普瓦图.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）.
韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”.
巩固练习
[例]根据一元二次方程的根与系数的关系，
求下列方程两个根
x1，x2
的和与积：
（1）
x
2
-
6x
-
15
=
0
（2）3x
2
+
7x
-
9
=
0
（3）5x
-
1
=
4x
2
运用性质，巩固练习
x1
+
x2
=
6
x1
x2
=
-15
x1
+
x2
=
x1
x2
=
-3
x1
+
x2
=
x1
x2
=
巩固练习
　　
（1）
x
2
-
3x
=
15
（2）
3x
2
+
2
=
1-
4x
　　
（3）
5x
2
-
1
=
4x
2
+
x
　　
（4）
2x
2
-
x
+
2
=
3x
+
1
x1
+
x2
=
3
x1
x2
=
-15
x1
+
x2
=
x1
x2
=
x1
+x2
=
1
x1
x2
=
-1
x1
+
x2
=
2
x1
x2
=
运用性质，巩固练习
【练习】不解方程，求下列方程两个根的和与积：
巩固练习
（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？
（2）我们是如何得到一元二次方程根与系数关系的？
小结知识，梳理方法
由题意可知
x1+x2=
-
,
x1
·
x2=
-3，
拓展提升
【例1】
已知3x2+2x-9=0的两根是x1
,
x2
求：
(1)
解：
(1)
=
(2)
x12
+
x22
(2)∵
(x1＋x2)2＝
x12+x22
＋
2x1
x2
∴x12+x22
＝(x1＋x2)2
-2x1x2
＝(
-
)2
-2×(-3)＝6
巩固练习
变式练习：
设x1，x2是方程2x2+4x-
3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
（
2
）
（
1
）
（３）
（x1-
x2）2
巩固练习
【例2】
已知方程
x2(k+1)x+3k=0
的一个根是2
,求它的另一个根及
k
的值.
解：
设方程的另一个根为x1.
把x=2代入方程，得
4-2(k+1)+3k=0.
解这方程，得
k=
-
2.
由根与系数关系，得x1●2＝3k,
即
2
x1
＝－6.
∴
x1
＝－3.
答：方程的另一个根是－3
,
k
的值是－2.
巩固练习
【例3】当k为何值时，方程
2x2-(k+1)x+k+3=0
的两根差为1.
解：设方程两根分别为x1
,
x2(x1>x2)，
则x1-x2=1.
∵
(x2-x1)2
=
(x1+x2)2-
4x1
x2，
由根与系数的关系得x1+x2=
,
x1
x2=
.
∴
解得
k1=
9,
k2=
-3
当k=9或-3时，由于?≥0，
∴k的值为9或-3.
课堂小结
能根据方程，正确写出方程的两根和与积，运用一元二次方程的根与系数的关系由己知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。