(共23张PPT)
一元二次方程
21
21.3.2
实际问题与一元二次方程
课时目标
1.通过应用题教学进一步使用代数中的方程去反映现实中的相等关系，体会代数方法的优越性。
2.通过用一元二次方程解决传播类的问题，体会数学知识应用的价值，提高学习数学的兴趣。
复习回顾
对于这些步骤，
应通过解各种类型的问题，
才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。
列方程解应用题有哪些步骤
复习引入
直角三角形的面积公式和一般三角形的面积公式
正方形和长方形的面积公式
梯形的面积公式
菱形的面积公式
平行四边形的面积公式
圆的面积公式
探究新知
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?
27
21
探究新知
如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7
解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm
解得
故上下边衬的宽度为:
依题意得
左右边衬的宽度为
探究新知
分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,
由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm
依题意得
解方程得
方程的哪个根合乎实际意义?为什么？
探究新知
【例1】学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.
探究新知
方案2：长为16米，宽为4米;
注：本题方案有无数种
方案3：长=宽=8米;
解:
(1)
方案1：长为
米，宽为7米;
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.
探究新知
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
（2）在长方形花圃周长不变的情况下，
长方形花圃面积不能增加2平方米.
由题意得长方形长与宽的和为16米.
设长方形花圃的长为
x
米，则宽为（16-x）米.
x(16-x)=63+2，
∴此方程无解.
∴在周长不变的情况下，
长方形花圃的面积不能增加2平方米.
探究新知
【1】用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.
解:设这个矩形的长为xcm,则宽为
cm,
即
x2-10x+30=0
这里a=1,b=－10,c=30,
∴此方程无解.
∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
探究新知
【2】某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.
(1)
(2)
探究新知
(1)
解:（1）如图，设道路的宽为x米，
则
化简得，
其中的
x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
∴图(1)中道路的宽为1米.
巩固练习
则横向的路面面积为
，
分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2.
解法一：如图，设道路的宽为x米，
32x
米2
纵向的路面面积为
。
20x
米2
注意：这两个面积的重叠部分是
x2米2
所列的方程是不是
图中的道路面积不是
米2.
(2)
巩固练习
而是从其中减去重叠部分，即应是
所以正确的方程是：
化简得，
其中的
x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
取x=2时，道路总面积为：
草坪面积=
米2
（32x+20x-x?）
32×20-（32x+20x-x?）=540
x?-52x+100=0，
x?=2，x?=50
（32×2+20×2-2?）=100（米?）
=
540（米2）
（32×20-100）
答：所求道路的宽为2米.
巩固练习
解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）。
草坪矩形的长（横向）为
，
巩固练习
(2)
横向路面
，
如图，设路宽为x米，
32x米2
纵向路面面积为
。
20x米2
草坪矩形的宽（纵向）
。
相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2
(20-x)米
（32-x)米
即
化简得：
再往下的计算、格式书写与解法1相同.
（32-x）（20-x）=540
x?-52x+100=0，x?=50，x?=2
巩固练习
4.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.
A
B
C
D
解:设小路宽为x米，
则
化简得
答:小路的宽为3米.
巩固练习
1.如图（1），宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为【
】
A．400cm2
B．500cm2
C．600cm2
D．4000cm2
A
巩固练习
2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图（2）所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【
】
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
80cm
x
x
x
x
50cm
B
3.如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小正方形，用计算器求得a的长为（保留3个有效数字）【
】
A．2.70m
B．2.66m
C．2.65m
D．2.60m
巩固练习
C
a
巩固练习
4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______
．
15cm,10cm
课堂小结
这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，
由于所得的根一般有两个，
所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．
列一元二次方程解应用题的步骤
与列一元一次方程解应用题的步骤类似，
即审、设、列、解、检、答．(共21张PPT)
一元二次方程
21
21.3.1
实际问题与一元二次方程
课时目标
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，体会代数方法的优越性。
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
3.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对其进行描述；进一步渗透把未知转化为已知的化归的辩证思想，培养分析问题和解决问题的能力，发展抽象思维能力。
复习回顾
解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
复习回顾
列一元一次方程解应用题的步骤？
①审题
②设出未知数
③列方程
④解方程
⑤验
⑥答
探究新知
【例】有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析:
设每轮传染中平均一个人传染了x人.
开始有一人患了流感,第一轮的传染源.
第一轮:他传染了x人,第一轮后共有______人患了流感.
第一轮后共有________人患了流感.
第二轮的传染源
第二轮:这些人中的每个人都又传染了x人,
第二轮后共有____________________
人患了流感.
x+1
x+1
1+x+x(x+1)=(x+1)2
列方程得
1+x+x(x+1)=121
x=10;x=-12
探究新知
1.
此类问题是传播问题；
如果按照这样的传播速度，三轮后有多少人患流感？
2.
计算结果要符合问题的实际意义.
探究新知
如果按照这样的传染速度,
三轮传染后有多少人患流感?
121+121×10=
1
331(人)
探究新知
分析:
设每轮转发中平均一个人转发给x个人,第一轮后有
人收到了短消息,这些人中的每个人又转发了x人,第二轮后共有
个人收到短消息.
1+x
1+x+(x+x2)
有一个人收到短消息后,再用手机转发短消息,经过两轮转发后共有144人收到了短消息,问每轮转发中平均一个人转发给几个人?
探究新知
【1】某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支、主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
主干
支干
支干
……
小分支
小分支
……
小分支
小分支
……
……
x
x
x
1
解:设每个支干长出x
个小分支,
则1+x+x●x=91，
即
解得
x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9
个小分支.
探究新知
【1】某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支、主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x
个小分支,
则1+x+x●x=91，
即
解得
x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9
个小分支.
x?
·∣
x·
90∶0
探究新知
【2】要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
解得
x
=
6.
即应邀请6个球队参加比赛.
解：设应邀请x个球队参加比赛.
由题意，得
x（x-1）÷2=15，
探究新知
【例】两年前生产1吨甲种药品的成本是5
000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产
1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3
600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:
甲种药品成本的年平均下降额为
(5
000-3
000)÷2=1
000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为
(6
000-3
600)÷2=1
200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大
乙种药品成本的年平均下降额较大，但是年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数).
探究新知
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,
则一年后甲种药品成本为5
000(1-x)元,
两年后甲种药品成本为
5
000(1-x)2
元,
依题意得
解方程,得
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?
22.5%
比较:
两种药品成本的年平均下降率.
(相同)
探究新知
经过计算,你能得出什么结论?
成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?
应怎样全面地比较对象的变化状况?
经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,
应比较降前及降后的价格.
巩固练习
【1】某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程(
)
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
B
巩固练习
【2】某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
.
巩固练习
类似地，这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式.
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为
其中增长取“+”,降低取“－”.
巩固练习
美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容.
某城市近几年来通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，
使城区绿地面积不断增加.
60
4
2
000
（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2001年底的绿地面积为______
公顷，比2000年底增加了______
公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是______年；
巩固练习
（2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率.
60
(1＋x)2＝72.6
(1＋x)2=1.21．
∴1＋x=±1.1．
x2
=－2.1(不合题意,舍去)
答：
2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率为10%．
设
2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率为x.
课堂小结
1.平均增长（降低）率公式
2.注意：
（1）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法
课堂小结
在列一元二次方程解应用题时，
由于所得的根一般有两个，
所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
这里要特别注意
