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利用函数性质判定方程解的存在
北师大版
高
中
必
修
一
学校：
老师：
微课：中外古代数学家解方程的发展简史
中国古代
·解方程的发展简史
西方
古代·解方程的发展简史
第四章
函数应用
第四章
函数应用
本章前言
函数是应用广泛的数学模型，它是贯穿高中数学学习的一条主线，是高中数学的重要内容。它的应用主要反映在两个方面：一方面，在数学中，函数是基本的研究对象，与其他研究对象有着密切的联系，例如函数与方程；另一方面，在日常生活中，函数可以有效地描述、刻画、反映客观规律，用函数模型解决一些实际问题。
通过本章的学习促进我们对函数的全面理解，加强应用数学的意识。
函数
应用
数学应用：
函数与方程
利用函数性质判定方程解的存在
利用二分法求方程的近似值
实际应用：
函数建模
实际问题的
函数表示
用函数模型
解决实际问题
本章知识框架
§1
函数与方程
§1.1利用函数性质判定方程解的存在
陕西师范大学锦园中学
黄娅丽
学习目标
探究一、方程的根与函数图像的关系
一元一次方程的根和相应一次函数图像的关系
y
=
3x+2
2
(1)
x2+2x-3=0
与y=x2+2x-3
(2)
x2+2x+1=0与
y=x2+2x+1
x1=
-3,
x2=
1
x1=
x2
=
-1
(-3,0)
(1,0)
(-1,0)
一元二次方程的根就是相应二次函数的图像与x轴交点的横坐标。
探究一、方程的根与函数图像的关系
一元二次方程的根与相应二次函数图像的关系
一、方程的根与函数图像的关系
1.一般地，方程f(x)=0的实数根就是相应函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标.
探究一、方程的根与函数图像的关系
二、函数的零点
1.
定义：函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
练习.函数f(x)=x(x－4)的零点为(
)
A．(0，0)，(2，0)
B．0
C．(4，0)，(0，0)
D．4，0
解：方程x(x－4)=0的根
得x=0或x=4.
D
(0,0)
(4,0)
探究二、零点的概念
3.
函数的零点与函数的图像及方程的根三者之间有什么联系？
探究二、零点的概念
1.探究：观察右边四个函数在区间[a，b]上的图像，回答下列问题：
（1）哪几个函数在(a，b)内有零点？
（2）存在零点的函数图像有什么特点？
（3）函数满足什么条件，在(a，b)内
必有零点存在？
探究三、函数零点存在性定理
?
?
三、函数零点存在性定理
若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即
f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少
有
一个
零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内
至少
有
一个
实数解。
探究三、函数零点存在性定理
2.判断下列问题的对错？若对，说明理由，若错，举出反例（可画图说明）
（1）若函数满足
f(a)·f(b)
<0，
则函数在区间
(a，b)内一定存在零点.（
）
（2）若函数图像连续，则函数在区间(a，b)内一定存在零点。（
）
（3）若函数y=f(x)
在区间(a,
b)内图像连续且f(a)·f(b)<0，则函数在区间
(a,
b)内有
唯一一个零点。（
）
（4）若函数y=f(x)
在区间(a,
b)内有零点，一定能有f(a)·f(b)<0成立。（
）
（5）若函数y=f(x)
在区间(a,
b)内f(a)·f(b)>0，则函数在区间(a,
b)
内
一定
没有零点.（
）
探究三、函数零点存在性定理（定理辨析）
3.那么函数y=f(x)满足什么条件，在(a,b)内存在唯一的一个零点？
3.那么函数y=f(x)满足什么条件，在(a,b)内存在唯一的一个零点？
结论:函数满足零点存在定理且区间[a，b]是单调函数，则函数在(a,b)内必有唯一一个零点.
探究三、函数零点存在性定理（定理辨析）
四、函数零点存在性定理应该注意的问题：
零点存在性定理
(1)
函数图像连续，
f(a)·f(b)<0
两个条件缺一不可。
(2)
函数零点存在性定理只能说明方程f(x)=0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。
(3)定理不可逆。
(4)若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理及在区间[a,b]是单调函数，则这个函数在区间(a,b)内必有唯一的一个零点。
探究三、函数零点存在性定理的应用
练习.
请你判定方程
lnx+2x－6=0
的解的个数。
探究三、零点存在性定理的应用
微课：练习题的讲解过程
∴函数f(x)在区间(0,+∞)内有唯一零点．
解：转化为考虑函数
f(x)=lnx+2x－6
零点个数问题．
因为函数f(x)在定义域(0,+∞)内图像是连续的,
且是单调递增的。
∴方程lnx+2x－6=0
有唯一解。
练习.
请你判定方程
lnx+2x－6=0
的解的个数。
探究三、零点存在性定理的应用
f(x)=lnx+2x－6
方法一:函数零点存在性定理
解：转化为考虑函数
f(x)=lnx+2x－6
与x轴交点的个数问题．
因为函数f(x)在定义域(0,+∞)内图像是连续的,
且是单调递增的，函数图像与x轴只有一个交点。
所以方程lnx+2x－6=0
有唯一解。
练习.
请你判定方程
lnx+2x－6=0
的解的个数。
f(x)=lnx+2x－6
方法二:图像法1
探究四：方程解的存在性的判定
图像法2
如图可知，两个函数只有一个交点，即方程
lnx+2x－6=0有唯一实数解。
y
=
lnx
y
=
6-2x
（0,6）
（3,0）
解：求方程lnx+2x-6=0的解的个数
即求方程
lnx=6-2x
的解的个数
转化为判断函数
y=lnx
与函数
y=6-2x
的交点个数.
探究四：方程解的存在性的判定
练习.
请你判定方程
lnx+2x－6=0
的解的个数。
判定方程解（即函数零点个数）的主要方法：
(1)方程法：直接解方程根。
(2)定理法：利用零点存在定理判定方程解的存在（或函数零点的个数）．
(3)图像法：画函数y＝f(x)的图像，观察它与x轴的交点个数，从而判定方程解的个数；或转化成两个函数图像的交点个数的问题．
总结判定方程解（函数零点个数）的方法
五、课堂小结，提炼升华
本节课我们学习了哪些内容？
?1个概念：
函数的零点
方程的根与函数的图像及函数的零点的关系
?1个关系：
?3个判定方程解的存在（函数零点个数）的方法：
方程法、图像法、函数零点存在性定理
?4种思想方法：
函数与方程、数形结合、转化与化归、特殊到一般
?4个数学核心素养：
数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算
?1个定理：
函数零点存在性定理
六、课后作业
谢
谢
大
家
北师大
高
中
必
修
一中小学教育资源及组卷应用平台
概况
教材版本及章节：北师大版必修1第四章第一节
课型：章节起始课
内容：《利用函数性质判定方程解的存在》
年级：高一
授课人：
学校：
审核人：
学校：
教材分析
本节课是北师大版必修1第四章第一节函数与方程的第一小节的内容。函数与方程既是初等数的基础，又是初等数学与高等数学连接的纽带，在高中数学教学中占有非常重要的地位。本节内容是本章的起始内容，在前面两章学生已经学习了基本初等函数的图像和性质，为本节课的学习起到了铺垫作用；同时本节内容也为下一节用二分法求解方程的近似解奠定了基础。
教学目标
1．明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，体会函数知识的核心作用。2.了解函数零点的概念，掌握函数零点存在性判定定理；3.能够利用函数的性质定理判断方程解的存在性。4.体会函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等数学思想。5.通过学生合作探究抽象总结函数零点存在性定理，培养学生数学抽象、直观想象的数学核心素养，通过定理辨析，画反例图引发学生深度思考，培养学生逻辑推理的数学核心素养，通过例题和变式训练，培养学生学生逻辑推理和数学运算的数学核心素养。
学习目标
1.通过阅读本章前言，能够知道本章的知识框架和主要内容。2.通过课前自主学习探究一元二次方程的根与二次函数图像的关系，总结归纳出一般方程的根与函数图像的关系，并总结出函数零点的定义。3.通过合作探究，发现函数零点存在满足的条件，并抽象总结出函数零点存在性定理，通过判断辨析，理解零点存在性定理。
教学重点
掌握函数零点存在性判定定理。
教学难点
对函数零点存在性判定定理的理解和应用。
教学环节
内容摘要
方法策略
设计意图
用时
备注
一、数学史的
引入
微课：中、外古代方程求解的发展简史（内容见教学设计最后的附件1）
从方程说起，引入数学史，过渡到第四章
渗透数学史和数学文化，激发学生民族自豪感和爱国情怀。再次说明对于高次多项式方程及其它的一些方程，有必要寻求其实数根的近似解的方法，解决为什么要学习。
2分钟
二、构建本章知识框架
第四章函数应用的知识结构图（见课件）
学生阅读前言，提炼本章知识框架
本节课是第四章函数应用的章节起始课，学生阅读本章前言，提炼、构建本章的知识框架，明确本章学习内容从整体上把握本单元的学习内容。
1分钟
三、探究方程的根与函数图像的关系
1.方程的根与函数图像的关系2.函数零点的定义3.思考：方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的关系。
学生通过预习，完成导学案的自主学习的内容，小组交流分享，学生互评，教师点评
学生由一元二次方程的根与二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系作为的入口，让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律，对学生来说自主学习能力也是非常重要的。
3分钟
四、探究函数零点存在性定理
1.探究零点存在性定理：观察右边四个函数在闭区间[a,b]上的图像，回答下列问题：右图中哪些函数在区间(a,b)上是有零点的？
这些存在零点的函数图像有什么特点？（可从区间端点的函数值、函数图像考虑）函数满足什么条件时，在区间(a,b)上必有零点呢？2.函数零点存在性定理：P1153.通过判断题辨析定理。4.思考函数在(a,b)内存在唯一一个零点的条件。
1.独立思考后和同桌讨论交流2.前后两桌讨论、合作、交流（可自己画图说明或在上面四个图形中找反例，写序号）流）。3.
小组交流分享，学生互评，教师点评。
通过合作、讨论、交流探究函数零点存在定理，通过判断画图辨析定理，引发学生深度思考，充分突出了数形结合，函数与方程思想、体现了数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养。
6分钟
五、零点存在性定理的应用
例题1请用函数零点存在性定理，判断函数的零点所在的区间为( )(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)练习.请找出方程解的个数。（完成后对照微课进行改错）
1.例题由学生先思考，动笔算，教师板书解题过程，最后一起总结解题方法。2.练习学生先做再通过微课讲解改错。
学生通过做题、讲题、最后总结每种题型的解题方法和数学思想等，比以往只是简单地让学生讨论交流，回答问题，有了很深层的意义和突破，也突出了学生的主体地位，突出本节的重点，利用零点存在性定理解决方程解的存在或函数零点问题，同时利用函数与方程的关系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，有些函数问题有时转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础。
6分钟
六、课堂小结
1.知识方面：
2.数学思想：函数与方程、数形结合、转化与化归
小组交流收获，学生互评，教师点评并补充
通过学生对本节课的所学的知识和数学思想有一个清晰的认识，对照学习目标自查自己完成的情况，同时也帮助老师了解学生对本节课掌握的情况。
1分钟
七、布置作业
1.必做题：书本119页，A组
1,
22.选做题：求函数的零点个数。3.思考题：试求方程
的近似解。
学生课后独立完成
设计了不同程度要求的题目，每个学生都能够获得不同的收获和发展，同时为下一节课做好铺垫。
1分钟
八、板书设计
第四章函数应用§1
函数与方程§1.1《利用函数性质判定方程解的存在》一、函数的零点
三、判断方程解的存在二、函数零点存在定理
附件1
《中外古代数学家解方程的发展简史》
方程这个名词,最早见于我国古代《九章算术》这本书中。《九章算术》大约于东汉初年约公元50～100年编定的,它汇总了战国和西汉时期的数学成果，是现有传本的、最古老的中国数学经典著作。书中收集了246个应用问题和其他问题的解法,分为九章,“方程”是其中的第八章。《九章算术》就给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的算法；本章中方程的解法主要有“方程术”和“正负术”，其中“方程术”的解题方法与现代利用线性方程组的系数增广矩阵通过初等变换求解十分接近。这是中国古代算术一项了不起的成就，超前世界其他国家上千年。这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族。7世纪，王孝通给出了三次方程正根的数值解法；13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法，秦九韶在1247年就已经发现一元三次方程的求根公式
(?https:?/??/?www.baidu.com?/?s?wd=%E4%B8%80%E5%85%83%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E6%B1%82%E6%A0%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao"
\t
"https:?/??/?zhidao.baidu.com?/?question?/?_blank?)，比欧洲人发现一元三次方程的求根公式
(?https:?/??/?www.baidu.com?/?s?wd=%E4%B8%80%E5%85%83%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E6%B1%82%E6%A0%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao"
\t
"https:?/??/?zhidao.baidu.com?/?question?/?_blank?)早了400多年。我国古代的数学家不止一次地攀登上当时世界数学发展的高峰，对于方程的研究作出了当时无与伦比的成就，为世界数学史和文明史作出了伟大的贡献。这是中华民族的骄傲。当然，任何事物都是可以一分为二的。我国古代对方程的研究往往局限于解决实际问题，不重视基础理论特别是方程性质的研究，因此，也存在不容忽视的缺点。
我们来了解一下外国数学家解方程的历史：9世纪，花拉子米给出了一次、二次方程的一般解法；1541年，塔尔塔利亚给出了三次方程的一般解法；1545年，卡尔达诺给出了四次方程的一般解法；1778年，拉格朗日提出五次方程根式解不存在的猜想；1824年，阿贝尔证明五次及以上一般方程没有根式解。
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