人教版九年级数学上册22.1.2 二次函数y=ax2的图象与性质课件（18张ppt）

(共18张PPT)
二次函数
22
22.1.2
二次函数y=ax2的图象与性质
课时目标
1.经历用描点法画出
y=ax2
的图像的过程，学会用描点法画出y=ax2
的图像，理解抛物线的有关概念。
2.进一步培养观察、思考、归纳的能力以及准确画出二次函数y=ax2
的图像的草图的能力。
探究新知
一般地,形如
的函数,叫做二次函数.其中,是x
自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax2+bx+c
(a，b，c为常数,a≠0)
二次函数
一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线,
二次函数的图象是什么形状呢?通常怎样画一个函数的图象?
还记得如何用
描点法画一个
函数的图象呢？
探究新知
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
画函数y=x2的图象
解:
(1)
列表
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)
描点
(3)
连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图象.
y=x2
探究新知
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
请画函数y=－x2的图象
解:
(1)
列表
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
(2)
描点
(3)
连线
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图象.
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
y=－x2
探究新知
下面是两个同学画的
y=0.5x2
和
y=-0.5x2的图象,
你认为他们的作图正确吗?为什么?
探究新知
x
y
o
x
y
o
y=x2的图象叫做抛物线y=x2.
y=－x2的图象叫做抛物线y=－x2.
从图象可以看出,二次函数y
=x2和y=
－x2的图象都是一条曲线，这条曲线叫做抛物线.
y=x2
y=－x2
实际上，二次函数的图象都是抛物线，
它们的开口向上或者向下，一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图像叫做
抛物线
y=ax2+bx+c.
探究新知
x
y
o
x
y
o
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
y=x2
y=－x2
从图象可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图象都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
探究新知
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=
x2
【例1】在同一直角坐标系中画出函数y
=
x
2
和y=2x
2的图象
解:(1)列表
(2)描点
(3)连线
1
2
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
1
2
探究新知
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2
y=
2x2
y=
0.5x2
函数y
=
x
2,y
=2x
2
的图象与函数
y
=x
2的图象相比,有什么共同点和不同点?
1
2
【共同点】开口向上，顶点是原点，
顶点是抛物线的最低点，
对称轴是y轴，除顶点外,图象都在x轴上方.
【不同点】开口大小不同.
性质：a>0，图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，
a越大开口越小，反之越大.
探究新知
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
y=－
x2
1
2
y=－2x2
y=-x2
函数y
=
-
x2,y=－2x2的图象与y
=
-x2的图象相比,有什么共同点和不同点?
【共同点】开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是抛物线的最高点
【不同点】开口大小不同
性质：当a＜0时，图象开口向下，
顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.
巩固练习
【1】抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.
a>0，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；a越大，抛物线的开口越小当a
<
0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展。a越大，抛物线的开口越大.
二次函数y=ax2的性质
巩固练习
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
二次函数y=ax2的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
O
O
巩固练习
2、函数y=－3x
2的图象的开口
,对称轴是
,顶点是_______，顶点是抛物线的最
点.
1、函数y=4x2的图象的开口
,对称轴是
,顶点是
.
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
高
3、函数y=
－0.2x2的图象的开口
,
对称轴是
________顶点是
.
向下
y轴
(0,0)
巩固练习
4.
抛物线y=2x2的顶点坐标是
,对称轴是
,在
侧,y随着x的增大而增大；在
侧,y随着x的增大而减小,当x=
时,函数y的值最小,最小值是
,抛物线y=2x2在x轴的
方(除顶点外).
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
巩固练习
5.抛物线
在x轴的
方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的
；在对称轴的右侧,y
随着x的
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,当x
0时,y<0.
下
增大而增大
增大而减小
0
巩固练习
【5】观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的是(
)
(A)
若a,b互为相反数,则x=a与x=b的函数值相等
(B)
对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应
(C)
对任一个实数y,有两个x和它对应
(D)
对任意实数x,都有y＞0
x
y
o
A
课堂小结
一般地，
抛物线
y
=
ax
2
的对称轴是
y
轴，
顶点是原点．
当
a＞0
时，
抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当
a＜0
时，
抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．
对于抛物线
y
=
ax
2
，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
如果
a＞0，当
x＜0
时，y
随
x
的增大而减小，
当x＞0
时，y
随
x
的增大而增大；如果
a＜0，当
x＜0
时，y
随
x
的增大而增大，当x＞0
时，y
随
x
的增大而减小．