(共20张PPT)
二次函数
22
22.1.3.3
二次函数a﹙x-h﹚2+k的的图象和性质
课时目标
1.经历探索二次函数图像平移的过程，了解y=a
2
，
y=a（x-h
）
2
，
y=a（x-h
）
2
+k这些类型的二次函数图像之间的关系。会从图像平移变换的角度认识y=a（x-h
）
2
+k型二次函数的图像特征。
2.进一步培养观察、思考、归纳的能力以及准确画出二次函数图像草图的能力，掌握数形结合的数学思想方法。
探究新知
y=ax2
y=a(x-h)2
y=ax2+c
y=ax2
c>0
c<0
上移
下移
左
加
右
减
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
顶点x轴上:(h,0)
顶点y轴上:(0,c)
问题:顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
探究新知
画出函数
的图象.
指出它的开口方向、顶点与对称轴.
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
…
解:
先列表
再描点
后连线.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
探究新知
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线
x
=－1
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
抛物线的开口向下,
对称轴是直线
x
=－1,
顶点是(－1,
－1).
抛物线
的开口方向、对称轴、顶点?
探究新知
与抛物线
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
向左平移1个单位
向右平移1个单位
即:
抛物线
、
有什么关系？
探究新知
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法2
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
探究新知
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与
y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|h|个单位
平移方法
探究新知
y
=
ax2
y
=
ax2
+
k
y
=
a(x
-
h
)2
y
=
a(
x
-
h
)2
+
k
上下平移
|k|个单位
左右平移
|h|个单位
上下平移
|k|个单位
左右平移
|h|个单位
结论:
一般地，抛物线
y
=
a(x-h)2+k与y
=
ax2形状相同，位置不同。
各种形式的二次函数的关系
巩固练习
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
(
1
,
－2
)
向下
向下
(
3
,
7)
(
2
,
－6
)
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3,
5
)
y=－3(x－1)2－2
y
=
4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
2.请回答抛物线
y
=
4(x－3)2＋7
由抛物线
y=4x2
怎样平移得到?
3.抛物线
y
=－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗?
巩固练习
y=
?2（x+3）2-2
画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、
对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？
y=
2（x-3）2+3
y=
?2（x-2）2-1
y=
3（x+1）2+1
巩固练习
如何平移
巩固练习
【例4】要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
巩固练习
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴
0=a(3－1)2＋3
解得
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
3
4
a=－
y=-
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
3
4
C(3,0)
B(1，3)
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
巩固练习
一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面高
米,与篮圈中心的水平距离为8米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3米。
问此球能否投中？
3米
8米
4米
4米
巩固练习
在出手角度和力度都不变的情况下,
小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?
y
x
（4，4）
（8，3）
0
1
2
3
4
6
7
8
9
巩固练习
若假设出手的角度和力度都不变,
则如何才能使此球命中?
（1）跳得高一点
（2）向前平移一点
巩固练习
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），则a
= .
（2）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位得到的抛物线是 .
（3）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 .
y=3（x-3）2
（-m，n）
课堂小结
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时,
开口向上;当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
课堂小结
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|h|个单位
y=ax2、y=a(x－h)2、y=a(x－h)2+k
之间的关系：(共13张PPT)
二次函数
22
22.1.3.1
二次函数a﹙x-h﹚2+k的的图象和性质
课时目标
1.经历用描点法画出y=ax2
+k
的图像过程，通过分析、对比理解y=ax2
+k与
y
=ax2
的图像的区别，掌握抛物线y=ax2
+k的有关性质。
2.经历用描点法画出
y=a（x-h
）
2
的图像的过程，通过分析、对比、初步理解y=a（x-h
）
2
与
y=ax2
的图像的区别，掌握抛物线
y=a（x-h
）
2
的有关性质。
探究新知
y＝ax2
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
二
次
函
数
y
=
ax2
的
性
质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
探究新知
(1)抛物线y=x2的顶点坐标是
,对称轴是
,
在
侧,y随着x的增大而增大；在
侧,y随着x的增大而减小,当x=
时,函数y的值最小,最小值是
,抛物线y=2x2在x轴的
方(除顶点外).
(2)抛物线y=-4x2
在x轴的
方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的
；在对称轴的右侧,y随着x的
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,当x
0时,y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
探究新知
【例2】
在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2
－1的图象
解:
先列表
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2+1
y=x2-1
…
10
5
2
1
2
5
10
…
…
8
3
0
-1
0
3
8
…
然后描点画图,得到y=x2+1和y=x－1的图象.
探究新知
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
(1)
抛物线y=x2+1和y=x－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?
(2)抛物线y=x2+1和y=x－1与抛物线y=x2有什么关系?
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴,顶点为(0,1).
抛物线y=x2－1:
开口向上,对称轴是y轴,顶点为(0,－1).
y=x2+1
y=x2－1
探究新知
抛物线y=x2+1和y=x－1与抛物线y=x2的关系:
抛物线y=x2
抛物线
y=x2－1
向上平移
1个单位
向下平移
1个单位
抛物线
y=x
2+1
抛物线y=x2
探究新知
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2+1
把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,
会得到那条抛物线吗?向下平移3.4个单位呢?
(1)得到抛物线y=2x2+6；
(2)得到抛物线y=2x2－2.4
y=x2－1
y=x2
探究新知
一般地,抛物线
y=ax2+k有如下特点:
(1)当a>0时,
开口向上;当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.
(k>0,向上平移;k<0向下平移.)
探究新知
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
(0,k)
增减性
二
次
函
数
Y
=
ax2
+k
的
性
质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
巩固练习
（1）抛物线y=
?2x2+3的顶点坐标是
,对称轴是
，在
侧，
y随着x的增大而增大；在
侧，y随着x的增大而减小，当x
=
时，函数y的值最大，最大值是
,它是由抛物线y=
?2x2线怎样平移得到的
.
对称轴的左
y轴
(0,3)
对称轴的右
0
3
向上平移3个单位
巩固练习
（2）抛物线
y=
x?-5
的顶点坐标是
，对称轴是
,在对称轴的左侧，y随着x的
；在对称轴的右侧，y随着x的
，当
x=
时，函数y的值最
，最小值是
.
(0,－5)
y轴
增大而减小
增大而增大
0
小
－5
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
(0,k)
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
课堂小结(共17张PPT)
二次函数
22
22.1.3.2
二次函数a﹙x-h﹚2+k的的图象和性质
课时目标
1.经历探索二次函数图像平移的过程，了解y=a
2
，
y=a（x-h
）
2
，
y=a（x-h
）
2
+k这些类型的二次函数图像之间的关系。会从图像平移变换的角度认识y=a（x-h
）
2
+k型二次函数的图像特征。
2.进一步培养观察、思考、归纳的能力以及准确画出二次函数图像草图的能力，掌握数形结合的数学思想方法。
探究新知
y＝ax2+c
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
二次函数y=ax2+c的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
c>0
c<0
c<0
c>0
(0,c)
探究新知
画出二次函数
，
的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4.5
解:先列表，
描点.
-2
…
0
-0.5
-2
-0.5
-4.5
-2
-0.5
0
-4.5
-2
-0.5
…
4
…
-4.5
探究新知
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
-0.5
x=－1
抛物线
与
的开口方向、对称轴、顶点?
(2)抛物线
有什么关系?
探究新知
与抛物线
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
向左平移1个单位
向右平移1个单位
即:
抛物线
、
有什么关系？
探究新知
在同一坐标系中作出下列二次函数
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.
探究新知
向右平移2个单位
向左平移2个单位
顶点(0,0)
顶点(2,0)
直线x=－2
直线x=2
顶点(－2,0)
对称轴:y轴
即直线:
x=0
向右平移2个单位
向右平移2个单位
向左平移2个单位
向左平移2个单位
探究新知
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)对称轴是x=h;
(2)顶点是(h,0).
(3)抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.
h>0，向右平移;h<0，向左平移
x
y
o
探究新知
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
h>0
h<0
h<0
h>0
(ｈ,0)
巩固练习
1、若将抛物线y
=-2（x
-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（
）
A、向上平移2个单位
B、向下平移2个单位
C、向左平移2个单位
D、向右平移2个单位
C
巩固练习
2、抛物线y
=4（x-3）2的开口方向
，对称轴是
，顶点坐标是
，抛物线是最
点，
当x=
时，y有最
值，其值为
.
抛物线与x轴交点坐标
，与y轴交点坐标
.
向上
直线x=3
（3，0）
低
3
小
0
（3，0）
（0，36）
巩固练习
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y
=
2(x+3)2
y
=
-3(x-1)2
y
=
-4(x-3)2
向上
直线x=-3
(
-3
,
0
)
直线x=1
直线x=3
向下
向下
(
1
,
0
)
(
3,
0)
归纳小结
当a>0时,
开口向上;当a<0时,开口向上.
【1】抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;
【2】抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.
抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.
(h>0,向右平移;h<0向左平移.)
(k>0,向上平移;k
<
0向下平移.)
【3】抛物线y=ax2+k有如下特点:
(2)对称轴是y轴;
(3)顶点是(0,k).
抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)当a>0时,
开口向上,当a<0时,开口向上;
(2)对称轴是x=h;
(3)顶点是(h,0).
(1)当a>0时,
开口向上,当a<0时,开口向下;
归纳小结
巩固练习
y=
?2（x+3）2
画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？。
y=
2（x-3）2
y=
?2（x-2）2
y=
3（x+1）2
课堂小结
如何平移
