(共15张PPT)
第18章
平行四边形
18.2
平行四边形的判定
第2课时
平行四边形的判定
八年级下册
我们学习了哪些判定平行四边形的方法？
1、平行四边形的定义：
2、两组对边相等的四边形是平行四边形；
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
。
平行四边形的对角线具有什么性质？
平行四边形的对角线互相平分。
这个命题的逆命题是什么？
已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AO＝CO，
BO＝DO．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，可以用定义，也可以用平行四边形的两条判定方法，请你选择一种方法完成证明．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．它是真命题吗？
证明：∵OA=CO.∠AOD=∠COB(对顶角相等).
∴OB=OD.∴△AOD≌△COB.
∴AD=BC.同理△AOB≌△COD,
∴AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形
例2如图，在□ABCD中，
点E、F是对角线
AC上的两点，且AE＝CF，
求证：四边形
BFDE是平行四边形．
分析
连结BD，交AC于点O，由于OB＝OD
因此用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明四边形BFDE是平行四边形最为恰当，根据题意只需证明OE＝OF．
证明
连结BD，交AC于点O
∵
四边形ABCD是平行四边形
∴
OB＝OD，
OA＝OC。
∵
AE＝FC，
∴
OE＝OF，
∴
四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
已知：
如图，四边形ABCD中，已知∠A＝∠C，
∠B＝∠D．
求证：
四边形ABCD是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
你有几种证明的方法？
分析：根据∠A=
∠C,
∠B=
∠D,可以证明四边形ABCD的两组对边分别平行，从而根据定义可得四边形ABCD是平行四边形.
证明：在四边形ABCD中，
∵∠A+
∠
B
+
∠C+
∠
D=360°
∠
A
=
∠C,
∠
B
=
∠
D
∴2（
∠A+
∠
B）=360°
∵∠A+
∠
B=180°，∴AD∥BC
同理可证AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（
）
A.∠A=∠C，∠B=∠D
B.∠A=∠B=∠C=900
C.∠A+∠B=1800
，∠B+∠C=1800
D.∠A+∠B=1800
，∠C+∠D=1800
D
如图，平行四边形ABCD，E、F
两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF为平行四边形．
练习如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．
1.如图所示，□AECF的对角线相交于点O，
DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵四边形AECF是平行四边形
∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，
∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，
∴△FDO≌△EBO，
∴OD=OB，∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
2.已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．
证明：如图所示，
∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，
∴OA=OC，OB=OD．
∵G，H分别为OA，OC的中点，
∴OG=
OC，∴OG=OH．
OA，OH=
又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．
在△OEB和△OFD中，
∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，
∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．
∴四边形EHFG为平行四边形．
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.(共27张PPT)
第18章
平行四边形
18.2
平行四边形的判定
第1课时
平行四边形的判定
八年级下册
你熟悉这些图形吗？
温故而知新
1.什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？
平行四边形的定义
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平行四边形的主要性质:
2、对角线：
平行四边形对角线互相平分
1、边：
a.平行四边形两组对边分别平行.
b.平行四边形两组对边分别相等.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
（定义）
平行四边形的判定方法1
猜
说
你能分别说出他们的逆命题吗？
这些逆命题成立吗？
引入
根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其他性质，那么如何判定一个四边形是平行四边形呢？
除了定义还有什么方法？
平行四边形性质定理的逆命题是否成立？
平行四边形判定方法：
活动1
定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
用几何语言表示：
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
用做好的纸条拼成一个四边形，其中强调两组对边分别相等.你能得到什么结论？
结论：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
活动2
这个命题的前提和结论是什么？
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
求证
分析：判定平行四边形的依据目前只有定义，也就是要证明两组对边分别平行，当然是借助第三条直线证明角相等.连接BD.易证三角形全等.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
求证
证明：连接BD.
∵
AB=CD，AD=CB，BD=DB，
∴
△ABD≌
△CDB.
∴∠1=∠4，∠2=∠3.
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
小结
判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
用几何语言表示：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
判定一个四边形是平行四边形的方法为：
探
你还能想到其他的判定方法吗？
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
设问
若一个四边形有一组对边平行且相等，能否判定这个四边形也是平行四边形呢？
活动3
按教材“试一试”的步骤画出图形，则所画的四边形是不是平行四边形？
我们能否用推理的方法证明这个命题是正确的呢？
证明
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
已知：在四边形ABCD中，
AB∥CD且AB=CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵
AB∥CD
，
∴∠1=∠2.
又∵AB=CD，AC=CA，
∴
△ABC≌△CDA.
∴
BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形.
1
2
小结
平行四边形的判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
用几何语言表示：
∵AB=CD，且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
命题：
?
探索2
C
B
D
A
C
B
D
A
是假命题
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）
2.两组对边分别相等的的四边形是平行四边形
平行四边形的判定方法：
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
得
例
分析：已知AF=CE，只需证明AF//CE.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AD∥CB，
即AF∥CE.
又∵
AF=CE
，
∴四边形AECF是平行四边形.
(1)若AB∥CD,补充条件_____,
使四边形ABCD为平行四边形。
如图,四边形ABCD中
(2)若AD=CB,补充条件_____,使四边形ABCD为平行四边形。
AD∥CB
或者AB=CD
AD∥CB
或者AB=CD
练
填空：
C
B
D
A
拓展
如图，小明剪成的一个等腰三角形纸片ABC，其AB=AC，他把∠B沿EM折叠使点B落在点D上，把∠C沿FN折叠使点C也落在点D上，则小明就说四边形AEDF是平行四边形，请你帮他说明理由；
c
F
A
E
B
M
D
N
提示：可由等腰及折叠，从角度关系入手，由同旁内角互补得出两对边互相平行，从而得出四边形AEDF是平行四边形.
练习
在如图的格点图中，每一格点与它周围各个格点的距离相等.以格点为顶点，你能画出多少个平行四边形？
3个
练习
思路一：
因为M、N分别是AB和CD的中点，
且四边形ABCD是平行四边形，
所以BM和DN平行且相等.
所以四边形BMDN是平行四边形.
练习
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AB∥CD，
AB=CD.
又∵
E、F分别是对边AB和CD的中点，
∴
BE=CF.又BE∥CF，
∴四边形BEFC是平行四边形.
∴
EF=BC.
练习
已知：E、F分别为平行四边形ABCD两边AD、BC的中点，连结BE、DF.求证：∠1=∠2.
证明：∵E、F分别是AD和BC的中点，
且四边形ABCD是平行四边形，
∴BF∥DE，
BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴
∠1=∠2.
平行四边形的判定方法
注意：若一组对边平行，另一组对边相等，是不可以判定为平行四边形的，它可能是梯形.
1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.
