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19.2
菱形
2.菱形的判定
八年级下册
1.菱形的定义是什么?它可以作为菱形的一个判定方法吗?
2.菱形是轴对称图形吗?菱形是中心对称图形吗?
3.菱形有哪些不同于平行四边形的性质?
4.矩形的判定定理是如何得到的?你能类比矩形的判定定理的探究方法得到菱形的判定方法吗?
复习引入
1.
菱形的四条边都相等。
AB=BC=CD=DA
2.菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。
OA=OC
OB=OD
;
AC⊥BD
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形定义
我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形.除
此之外,还能找到其他的判定方法吗?
探究1
(1)对于一个一般的四边形,能否找到一种识别方法,来判定它是菱形呢?
我们知道,菱形的四条边都相等,那么反过来,四条边都相等的四边形是菱形吗?试画一个四条边都相等的四边形,看它是不是菱形,与同伴讨论.
总结:四条边都相等的四边形是菱形.
(2)三条边都相等的四边形是菱形吗?
动手画四边形,并交流讨论.
探究1
总结:三条边都相等的四边形不一定是菱形.
菱形的判定定理1:四条边都相等的四边形是菱形.
解:四边形EFGH是
菱形,理由如下.
因为在矩形ABCD中,
点E、F、G、H分别是四条
边的中点,所以AH=DH=BF=CF,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AE=BE=CG=DG,所以△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH,所以EH=EF=GF=GH,所以四边形EFGH是菱形.
例4
如图,在矩形ABCD中,点E、F、G、H分别是四条边的中点,试问四边形EFGH是什么样的图形?并说明理由.
如图,在四边形ABCD中,AD//BC
,AB=AD,∠BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE.
求证:四边形ABED是菱形.
练习
证明:∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
∵AB=AD
,
∴△BAE≌△DAE.∴BE=DE.
∵AD//BC
,
∴∠DAE=∠AED
,∠BAE=∠AEB
,
∴AB=BE=DE=AD
,
∴四边形ABED是菱形.
探究2
思考:“对角线互相垂直”是菱形不同于平行四边形的特有性质,那么对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?
动手操作
(1)取两根长度不等的细木棒,将两根木棒的中点重合并固定在一起,用笔和直尺画出木棒四个端点的连线,则这四条线段组成一个平行四边形.若转动其中一根木棒,使两根木棒之间的夹角等于90°,这时的图形的形状是什么?
(2)画对角线互相垂直的平行四边形,并与同伴交流比较.
(3)你能证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?
探究2
如图20.3.1,取两个长度不等的细木棒,让两个木
棒的中点重合并固定在一起,用笔和直尺画出木棒四个
端点的连线.我们知道,这样得到的四边形是一个平行
四边形.若转动其中一个木棒,重复上面的做法,当两
个木棒之间的夹角等于90°时,得到的图形是什么图形
呢?
如图20.3.2,你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.
和你的同伴交换一下,看看是否成了一个菱形.
由此可以得到判定菱形的一种方法:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如图,
在□
ABCD中,若AC⊥BD,那么□ABCD是菱形吗?为什么?
∴
AD=CD
(线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等)
又∵
AC⊥BD
∴□ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
观察与思考:若四边形ABCD的对角线AC⊥BD,则四边形ABCD是不是菱形?
注:
对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形。
如图,已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证:四边形AFCE是菱形.
例5
分析:
要证四边形AFCE是菱形,
由已知条件可知EF⊥AC,
所以只需证明四边形AFCE是平行四边形,又知EF垂直平分AC,因此只需证OE=OF.
如图,已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证:四边形AFCE是菱形.
例5
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC,∴∠1=∠2.
∵EF平分AC,∴OA=OC.
又∵∠AOE=∠COF=90°,
∴△AOE≌△COF,∴OE=OF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE是菱形.
作一个菱形,使它的两条对角线的长分别为6
cm和8
cm,并说明理由.
练习
作法:作线段AC=6
cm,取AC的中点O,过点O作线段OB⊥AC,且OB=4
cm,延长BO至D,使OD=4
cm,顺次连结A、B、C、D,得所求作的菱形.
理由:菱形的两条对角线互相垂直平分.
A
D
C
O
B
菱形的判定方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
归纳
小明为班级设计了一个班徽,图中有一个菱形。为了检验小明所画的菱形是否准确,请你以带有刻度的三角尺为工具,设计一个检验方案。
将一张长方形的纸对折、再对折,然后沿图中的虚线剪下,想一想,红色的部分展开后,应该是什么图形?为什么?
判断下列说法是否正确:
1.有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
3.对角线相等且互相平分的四边形是菱形
矩形
2.对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
如图,在□
ABCD中,点P是对角线AC上的一点,PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为点E、F,且PE=PF,
□
ABCD是菱形吗?为什么?
练习
解:平行四边形ABCD是菱形,
理由如下.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC//AB,
∴∠DCA=∠CAB.又由已知可得∠DAC=∠CAB,
∴∠DAC=∠DCA
,∴AD
=DC
,
∴平行四边形ABCD是菱形.
如图,过平行四边形ABCD的对角线的交点O,作互相垂直的两条直线EG、FH,与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H.求证:四边形EFGH是菱形.
练习
证明:在平行四边形ABCD中,
OD=OB,OA=OC,AD//CB,
∴∠OBG=∠ODE.
又∵∠BOG=∠DOE,
∴△OBG≌△ODE,
∴OE=OG.同理得OF=OH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵EG⊥FH,∴四边形EFGH是菱形.
菱形的判定:
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形
平行四边形
两组对角分别相等
1.从教材习题中选取,
2.完成练习册本课时的习题.