6.1分类分步计数原理——涂色问题的解决 同步学案
文档属性
| 名称 | 6.1分类分步计数原理——涂色问题的解决 同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-06-16 17:52:24 | ||
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文档简介
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分类分步计数原理——涂色问题的解决学案
一．学习目标
与涂色问题有关的试题新颖有趣，近年多次在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，无固定模式，只能根据分步分类计数原理以及排列组合的运用针对具体题目具体分析。
二．前文回顾
1.分步与分类计数原理
①分类计数原理
(1)如果完成一件工作有种途径，由第1种途径有种方法可以完成，由第2种途径有种方法可以完成，……由第种途径有种方法可以完成。那么，完成这件工作共有种不同的方法；
(2)如果每种方法都能将规定的事件完成，那么要用分类加法计数原理将方法种数相加；
②分步计数原理
(1)如果完成一件工作可分为个步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，……，完成第步有种不同的方法。那么，完成这件工作共有
种不同方法；
(2)如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，那么要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘；
②总结
通过上述的分类与分步计数原理，对于解题过程中，需要注意分析所要完成的事情。如果是每一个步骤均可以得到最终的结论，则用分类计数原理；如果是需要分成几步才能完成（缺一不可）则用分步计数原理。
三．典例分析与性质总结
本次课将从区域涂色、点的涂色、线段的涂色、面的涂色四种情况对于涂色问题进行说明；对于每一种情况，建议从选用的颜色种数以及从位置涂色两种角度分别进行分析理解，以便提升分步分类计数原理的理解度。
题型1：区域涂色问题
例1：用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
解法一：根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
解法二：根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
分析：假设选取4种颜色进行涂色，可进行全排列种方式；
假设涂3种颜色进行涂色，①号区域、②号、③号共有种；由于④号只与③号相邻，所以对于区域④的涂色，共有2种方法（为什么？——三种颜色不与③号区域相同，因此有2种），这种情况是分步情况，利用乘法原理，120种；
两种情况作为分类计数原理，用加法，得出答案是240种。
经考虑知，由于①号、②号、③号是相邻的，因此使用两种颜色无法达到要求。
注意：此问题的第二种解题思路分析关键在于区域④的涂色方式种类的确定，由于前提已经限定是使用三种颜色，因此④的涂色是有2种，而并非区域③限制的3种。
题型2：点的涂色问题
对于点的涂色问题，常常有如下三种思路：①可根据共用了多少种颜色分类讨论；②根据相对顶点是否同色分类讨论；③将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。请看例题。
例2：将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
①
颜色的种类
显然，满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
i若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。
ii若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。
iii若恰用五种颜色染色，有种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
②
抓住一点，顺次涂色
设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是
③
转化为平面问题
可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
解答略。（420种）
题型3：线段涂色问题
对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：
①根据共用了多少颜色分类讨论
②根据相对线段是否同色分类讨论。
例3：用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
解法一：（1）使用四颜色共有种
（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有种，
（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有种
因此，所求的染色方法数为种
解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有种涂色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论：
当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选择CD与AB不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有种涂色方法。
由乘法原理，总的涂色方法数为种
题型4：面涂色问题
例4：从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论
解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论
①用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理
②共用五种颜色，选定五种颜色有种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）
；
③共用四种颜色,仿上分析可得；
④共用三种颜色,
四．变式演练与提高
1.四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法有多少种。
2.用六种颜色给正四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？
3.四棱锥，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？
五．反思总结
在有关于涂色问题的解决过程中，不相邻区域的涂色情况的取舍判断是解题的关键；因此根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
六．课后作业
1.如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
2.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
3.如图，
6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可选择，共有多少种不同的涂色方法？
七．参考答案
变式演练与提高答案
1.共有120种.
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
i
②与⑤同色、④与⑥同色，则有；
ii
③与⑤同色、④与⑥同色，则有；
iii
②与⑤同色、③与⑥同色，则有；
iv
③与⑤同色、②与④同色，则有；
v
②与④同色、③与⑥同色，则有；所以根据加法原理得涂色方法总数为5=120
如果按照区域分块处理也可以求解。具体思路如下所述：
区域5：4种；
区域1：3种；
区域6：3种。
下面，由于区域4与区域6不相邻，所以两者颜色可以相同，也可以不同，因此可进行分类讨论；
（1）当区域4与区域6相同时，区域2与区域1、区域6不相同，有2种方法；区域3与区域1、区域2、区域4不相同，只有1种方法。此种情况下，可采取的方法种数为4
3
2
2
1=48种；
（2）当区域4与区域6不相同时，区域4只有1种方法；区域2有两种方法，但是要注意，对于区域2和区域4的颜色是否相同对判定区域3的涂法有不一样的影响。因此对于区域2需要进行第二步分类：
i当区域2与区域4相同时（区域2有1种颜色），区域3有2种颜色；
ii当区域2与区域4不相同时（区域2有1种方法），区域3只有1种颜色；
因此在区域4与区域6不相同的限制下，区域2与区域3共计存在1
1
2+1
1
1=3，由分步原理，此类情况下的涂色方案有4
3
2
3=72种；综上，满足题意的涂色方案共计有48+72=120种。
2.共有4080种；
解：①若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，
故有种方法。
②若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有种方法。
③若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有种方法。
④若恰用六种颜色涂色，则有种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为种。
3.共有72种；
解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：
最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有种；
当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有；
故满足题意总的涂色方法总方法交总数为
六．课后作业
1.共计有72种；
解析：依题意至少要用3种颜色
①当用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，
故有种；
②当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有种，故用四种颜色时共有2种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有+2=24+224=72。
2.共计有260种；
分析：可把问题分为三类：
①四格涂不同的颜色，方法种数为；
②有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为；
③两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为，
因此，所求的涂法种数为
3.共计有732种；
解析：①当相间区域A、C、E着同一种颜色时，有4种着色方法，
此时，B、D、F各有3种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方
法故有种方法。
②当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有种着色方法，此时B、D、F有种着色方法，故共有种着色方法。
③当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有种着色方法，此时B、D、F各有2种着色方法。此时共有种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
②
①
③
④
S
C
D
A
B
①
②2
③
④
⑤
⑥
A
B
C
D
P
2
4
3
1
5
1
2
3
4
A
B
C
D
E
F
5
3
2
1
4
A
B
C
D
P
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精品试卷·第
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分类分步计数原理——涂色问题的解决学案
一．学习目标
与涂色问题有关的试题新颖有趣，近年多次在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，无固定模式，只能根据分步分类计数原理以及排列组合的运用针对具体题目具体分析。
二．前文回顾
1.分步与分类计数原理
①分类计数原理
(1)如果完成一件工作有种途径，由第1种途径有种方法可以完成，由第2种途径有种方法可以完成，……由第种途径有种方法可以完成。那么，完成这件工作共有种不同的方法；
(2)如果每种方法都能将规定的事件完成，那么要用分类加法计数原理将方法种数相加；
②分步计数原理
(1)如果完成一件工作可分为个步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，……，完成第步有种不同的方法。那么，完成这件工作共有
种不同方法；
(2)如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，那么要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘；
②总结
通过上述的分类与分步计数原理，对于解题过程中，需要注意分析所要完成的事情。如果是每一个步骤均可以得到最终的结论，则用分类计数原理；如果是需要分成几步才能完成（缺一不可）则用分步计数原理。
三．典例分析与性质总结
本次课将从区域涂色、点的涂色、线段的涂色、面的涂色四种情况对于涂色问题进行说明；对于每一种情况，建议从选用的颜色种数以及从位置涂色两种角度分别进行分析理解，以便提升分步分类计数原理的理解度。
题型1：区域涂色问题
例1：用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
解法一：根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
解法二：根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
分析：假设选取4种颜色进行涂色，可进行全排列种方式；
假设涂3种颜色进行涂色，①号区域、②号、③号共有种；由于④号只与③号相邻，所以对于区域④的涂色，共有2种方法（为什么？——三种颜色不与③号区域相同，因此有2种），这种情况是分步情况，利用乘法原理，120种；
两种情况作为分类计数原理，用加法，得出答案是240种。
经考虑知，由于①号、②号、③号是相邻的，因此使用两种颜色无法达到要求。
注意：此问题的第二种解题思路分析关键在于区域④的涂色方式种类的确定，由于前提已经限定是使用三种颜色，因此④的涂色是有2种，而并非区域③限制的3种。
题型2：点的涂色问题
对于点的涂色问题，常常有如下三种思路：①可根据共用了多少种颜色分类讨论；②根据相对顶点是否同色分类讨论；③将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。请看例题。
例2：将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
①
颜色的种类
显然，满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
i若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。
ii若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。
iii若恰用五种颜色染色，有种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
②
抓住一点，顺次涂色
设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是
③
转化为平面问题
可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
解答略。（420种）
题型3：线段涂色问题
对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：
①根据共用了多少颜色分类讨论
②根据相对线段是否同色分类讨论。
例3：用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
解法一：（1）使用四颜色共有种
（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有种，
（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有种
因此，所求的染色方法数为种
解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有种涂色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论：
当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选择CD与AB不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有种涂色方法。
由乘法原理，总的涂色方法数为种
题型4：面涂色问题
例4：从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论
解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论
①用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理
②共用五种颜色，选定五种颜色有种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）
；
③共用四种颜色,仿上分析可得；
④共用三种颜色,
四．变式演练与提高
1.四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法有多少种。
2.用六种颜色给正四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？
3.四棱锥，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？
五．反思总结
在有关于涂色问题的解决过程中，不相邻区域的涂色情况的取舍判断是解题的关键；因此根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
六．课后作业
1.如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
2.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
3.如图，
6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可选择，共有多少种不同的涂色方法？
七．参考答案
变式演练与提高答案
1.共有120种.
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
i
②与⑤同色、④与⑥同色，则有；
ii
③与⑤同色、④与⑥同色，则有；
iii
②与⑤同色、③与⑥同色，则有；
iv
③与⑤同色、②与④同色，则有；
v
②与④同色、③与⑥同色，则有；所以根据加法原理得涂色方法总数为5=120
如果按照区域分块处理也可以求解。具体思路如下所述：
区域5：4种；
区域1：3种；
区域6：3种。
下面，由于区域4与区域6不相邻，所以两者颜色可以相同，也可以不同，因此可进行分类讨论；
（1）当区域4与区域6相同时，区域2与区域1、区域6不相同，有2种方法；区域3与区域1、区域2、区域4不相同，只有1种方法。此种情况下，可采取的方法种数为4
3
2
2
1=48种；
（2）当区域4与区域6不相同时，区域4只有1种方法；区域2有两种方法，但是要注意，对于区域2和区域4的颜色是否相同对判定区域3的涂法有不一样的影响。因此对于区域2需要进行第二步分类：
i当区域2与区域4相同时（区域2有1种颜色），区域3有2种颜色；
ii当区域2与区域4不相同时（区域2有1种方法），区域3只有1种颜色；
因此在区域4与区域6不相同的限制下，区域2与区域3共计存在1
1
2+1
1
1=3，由分步原理，此类情况下的涂色方案有4
3
2
3=72种；综上，满足题意的涂色方案共计有48+72=120种。
2.共有4080种；
解：①若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，
故有种方法。
②若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有种方法。
③若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有种方法。
④若恰用六种颜色涂色，则有种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为种。
3.共有72种；
解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：
最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有种；
当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有；
故满足题意总的涂色方法总方法交总数为
六．课后作业
1.共计有72种；
解析：依题意至少要用3种颜色
①当用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，
故有种；
②当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有种，故用四种颜色时共有2种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有+2=24+224=72。
2.共计有260种；
分析：可把问题分为三类：
①四格涂不同的颜色，方法种数为；
②有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为；
③两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为，
因此，所求的涂法种数为
3.共计有732种；
解析：①当相间区域A、C、E着同一种颜色时，有4种着色方法，
此时，B、D、F各有3种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方
法故有种方法。
②当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有种着色方法，此时B、D、F有种着色方法，故共有种着色方法。
③当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有种着色方法，此时B、D、F各有2种着色方法。此时共有种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
②
①
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