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第九章 解
三
角
形
9.1 正弦定理与余弦定理
9.1.1 正
弦
定
理
1.三角形的面积公式
若记△ABC的面积为S,则
S=___absin
C=____acsin
B=____bcsin
A.?
2.正弦定理
文字语言
在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等.
符号语言
【思考】
(1)正弦定理对任意三角形都适用吗?其比值等于什么?
提示:都适用,且比值为2R.
(2)正弦定理的主要功能是什么?
提示:实现三角形中边角关系的转化.
3.解三角形
我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素.已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形.
【思考】
若已知三角形的两边及其中一边所对的角,三角形的解是否唯一?
提示:不一定唯一,也可能不存在.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正弦定理适用于任意三角形
( )
(2)在△ABC中,等式bsin
A=asin
B总能成立
( )
(3)在△ABC中,已知a,b,A,则此三角形有唯一解
( )
提示:(1)√.正弦定理适用于任意三角形.
(2)√.由正弦定理知
即bsin
A=asin
B.
(3)×.在△ABC中,已知a,b,A,此三角形的解有可能是
无解、一解、两解的情况,具体情况由a,b,A的值来定.
2.在△ABC中,已知A=30°,B=60°,a=10,则b等于
( )
【解析】选B.由正弦定理得b=
3.在△ABC中,若B=30°,a=2,c=4,则△ABC的面积为________.?
【解析】S△ABC=
答案:29.1.1
正弦定理
课堂检测·素养达标
1.在△ABC中,下列式子与的值相等的是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由正弦定理得=,
所以=.
2.在△ABC中,A=30°,a=3,b=2,则这个三角形有
( )
A.一解
B.两解
C.无解
D.无法确定
【解析】选A.因为b
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=2,c=2,且C=,则△ABC的面积为________.?
【解析】由正弦定理=?sin
B==,
又c>b,且B∈(0,π),所以B=,所以A=,
所以S=bcsin
A=×2×2sin=×2×2×=+1.
答案:+1
4.(2019·沈阳高一检测)在△ABC中,acos
A=bcos
B,则这个三角形的形状为________.?
【解析】由正弦定理得sin
Acos
A=sin
Bcos
B,
即sin
2A=sin
2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案:等腰三角形或直角三角形
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-9.1.1
正弦定理
关键能力·素养形成
类型一 利用正弦定理解三角形
【典例】(1)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,b,c.
(2)在△ABC中,c=,C=60°,a=2,求A,B,b.
【思维·引】(1)先求A,然后利用正弦定理求解.
(2)利用正弦定理求角A时,要注意解的个数的判断,再利用正弦定理求解.
【解析】(1)A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°,由正弦定理=,得b===4,由=,
得c====4.
(2)因为=,所以sin
A==.
所以A=45°或A=135°.又因为c>a,所以C>A.所以A=45°.所以B=75°,
b===+1.
【内化·悟】
在解三角形时,若已知角不是特殊角,应该如何处理?
提示:若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并,即将非特殊角转化为特殊角的和或差,如75°=45°+30°),再根据上述思路求解.
【类题·通】
1.已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角.
(2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边.
2.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边所对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一.
(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.
【习练·破】
1.(2020·烟台高一检测)已知△ABC中,A=,B=,a=1,则b等于
( )
A.2
B.1
C.
D.
【解析】选D.由正弦定理=,得=,所以=,所以b=.
2.在△ABC中,若a=,b=2,A=30°,则C=________.?
【解析】由正弦定理=,
得sin
B===.
因为0°答案:105°或15°
类型二 三角形的面积问题
【典例】三角形的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cos
B=1,a=2c.
(1)求C角的大小.
(2)若a=,求△ABC的面积.
【思维·引】(1)化简cos(A-C)+cos
B=1,结合正弦定理求出角C.
(2)利用(1)的结果求出A和B,用三角形的面积公式计算.
【解析】(1)因为A+B+C=180°,所以cos(A+C)=-cos
B,因为cos(A-C)+cos
B=1,所以cos(A-C)-cos(A+C)=1,
展开得:cos
Acos
C+sin
Asin
C-(cos
Acos
C-sin
Asin
C)=1,所以2sin
Asin
C=1.
因为a=2c,根据正弦定理得:sin
A=2sin
C,
代入上式可得:4sin2C=1,所以sin
C=,所以C=30°.
(2)由(1)sin
A=2sin
C=1,所以A=90°.
因为a=,C=30°,所以c=,B=60°.
所以S△ABC=acsin
B=×××=.
【类题·通】
三角形面积问题的求解方法
对于面积公式S=absin
C=acsin
B=bcsin
A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
【习练·破】
(2019·运城高二检测)在△ABC中,已知BC=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为
( )
A.9
B.18
C.9
D.18
【解析】选C.由正弦定理得=,所以AC===6.
又因为C=180°-120°-30°=30°,
所以S△ABC=AC·BC·sin
C=×6×6×=9.
类型三 正弦定理的综合应用
角度1 判断三角形的形状
【典例】(2019·昆明高二检测)在△ABC中,已知=,且sin2A+sin2B=sin2C.
求证:△ABC为等腰直角三角形.
世纪
【思维·引】利用正弦定理,把条件中的角转化为边,再利用勾股定理的逆定理判断.
【证明】因为=,所以=,
又因为=,所以=,
所以a2=b2,即a=b,设===k(k≠0),
则sin
A=,sin
B=,sin
C=,又因为sin2A+sin2B=sin2C,所以+=,即a2+b2=c2,
所以△ABC为等腰直角三角形.
【素养·探】
判定三角形的形状时,判断和证明要掌握推理的基本形式和规则,形成重论据、有条理、合逻辑的思维品质,突出体现逻辑推理的数学核心素养.
把本例的条件改为:acos=bcos,试判断△ABC的形状.
【解析】【法一 化角为边】
因为acos=bcos,
所以asin
A=bsin
B.由正弦定理可得:a·=b·,
所以a2=b2,所以a=b,所以△ABC为等腰三角形.
【法二 化边为角】
因为acos=bcos,所以asin
A=bsin
B.
由正弦定理可得:2Rsin2A=2Rsin2B,即sin
A=sin
B,
所以A=B.(A+B=π不合题意舍去)
故△ABC为等腰三角形.
【类题·通】
利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径
(1)化角为边.将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系,如a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形的形状.利用的公式为:sin
A=,sin
B=,sin
C=.
(2)化边为角.将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.利用的公式为:a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C.
角度2 最值或范围问题
【典例】在锐角△ABC中,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsin
A,求cos
A+sin
C的取值范围.
【思维·引】利用正弦定理,把cos
A+sin
C转化为一个角的函数,利用三角函数的性质求解.
【解析】在锐角△ABC中,根据正弦定理,a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,其中R为外接圆半径.
因为a=2bsin
A,所以2Rsin
A=4Rsin
Bsin
A,所以sin
B=.因为△ABC为锐角三角形,所以B=.
令y=cos
A+sin
C=cos
A+sin[π-(B+A)]
=cos
A+sin=cos
A+sincos
A+cossin
A
=cosA+sin
A=
=sin.
由锐角△ABC知,-B所以所以所以cos
A+sin
C的取值范围是.
【类题·通】
正弦定理综合问题,关键是根据已知条件,灵活运用正弦定理,能够对边角关系进行互相转化,借助三角恒等变换解决问题.
【习练·破】
(2019·湘潭高二检测)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,且sin
A=2sin
B·cos
C.试判断△ABC的形状.
【解析】由正弦定理得sin
A=,sin
B=,sin
C=.
因为sin2A=sin2B+sin2C,所以=+,
即a2=b2+c2,故A=90°.
所以C=90°-B,cos
C=sin
B.
所以2sin
B·cos
C=2sin2B=sin
A=1.所以sin
B=.
所以B=45°或B=135°(A+B=225°>180°,故舍去).所以△ABC是等腰直角三角形.
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9.1.2 余
弦
定
理
余弦定理
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,
则有
余
弦
定
理
语言
叙述
三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍
余
弦
定
理
公式
表达
c2=a2+b2-2abcos
C,
a2=b2+c2-2bccos
A,
b2=a2+c2-2accosB
变形
【思考】
(1)在a2=b2+c2-2bccos
A中,若A=90°,公式会变成什么?
提示:a2=b2+c2,即勾股定理.
(2)利用余弦定理可以解决哪些问题?
提示:①已知两边及其夹角解三角形;
②已知三边解三角形.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形
( )
(2)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形
( )
(3)在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一
( )
提示:(1)√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,
它适用于任何三角形.
(2)√.当a2>b2+c2时,
因为0(3)×.当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一,因此△ABC唯一确定.
2.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则边c的值是
( )
【解析】选D.因为c2=a2+b2-2abcos
C
=16+36-2×4×6×
=76,
所以
3.在△ABC中,若a2-c2+b2=ab,则cos
C=________.?
【解析】因为a2-c2+b2=ab,所以c2=a2+b2-ab.
又因为c2=a2+b2-2abcos
C,所以2cos
C=1.所以
cos
C=
.
答案:9.1.2
余弦定理
课堂检测·素养达标
1.一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是-,则三角形的第三条边长为
( )
A.52
B.2
C.16
D.4
【解析】选B.设第三条边长为x,则x2=52+32-2×5×3×=52,所以x=2.
2.(2019·合肥高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为a2+b2-c2=2abcos
C,且S△ABC=,
所以S△ABC==absin
C,所以tan
C=1.
又C∈(0,π),故C=.
3.已知a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2=______.?
【解析】由余弦定理b2=a2+c2-2accos
B=a2+c2-2accos
120°=a2+c2+ac,所以a2+c2+ac-b2=0.
答案:0
4.在△ABC中,若b=1,c=,C=,则a=________.?
【解析】由余弦定理c2=a2+b2-2abcos
C,所以()2=a2+12-2a×1×cos,
所以a2+a-2=0,即(a+2)(a-1)=0,
所以a=1,或a=-2(舍去).所以a=1.
答案:1
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-9.1.2
余弦定理
关键能力·素养形成
类型一 利用余弦定理解三角形
【典例】(1)在△ABC中,a=1,b=2,cos
C=,则c=________;sin
A=________.?
(2)在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C.
【思维·引】(1)直接利用余弦定理求c,再利用余弦定理求cos
A,再利用同角三角函数的关系式求sin
A.
(2)利用余弦定理的变形公式求解.
【解析】(1)根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos
C=12+22-2×1×2×=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2得cos
A==,
所以sin
A==.
答案:2
(2)根据余弦定理得cos
A=
==.
因为A∈(0,π),所以A=,cos
C=
==,
因为C∈(0,π),所以C=.所以B=π-A-C=π--=,
所以A=,B=,C=.
【内化·悟】
1.已知三角形的三边解三角形时,结果是唯一的吗?
提示:利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值,值为正,角为锐角;值为负,角为钝角,结果唯一.
2.已知三角形的两边及其夹角解三角形,选用正弦定理好,还是选用余弦定理好?
提示:若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦定理就不存在这些问题(在(0,π)上,余弦值所对角的值是唯一的),故用余弦定理求解较好.
【类题·通】
1.已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法
先利用余弦定理求出第三边,其余角的求解有两种思路:一是利用余弦定理的推论求出其余角;二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.
2.已知三角形三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
【习练·破】
(1)在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos
C=,则BC=________.?
【解析】由余弦定理得()2=52+BC2-2×5×BC×,所以BC2-9BC+20=0,解得BC=4或BC=5.
答案:4或5
(2)已知△ABC中,a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC中各角的度数.
【解析】已知a∶b∶c=2∶∶(+1),令a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0),由余弦定理的推论,得cos
A===,
因为0°cos
B===,
因为0°所以C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.
【加练·固】
在△ABC中,若b2=a2+c2+ac,则B等于
( )
A.60° B.45°或135° C.120° D.30°
【解析】选C.因为b2=a2+c2-2accos
B=a2+c2+ac,
所以ac=-2accos
B,cos
B=-,
又0°类型二 利用余弦定理判断三角形的形状
【典例】在△ABC中,已知cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),判断△ABC的形状.
世纪
【思维·引】方法一:利用余弦定理化角为边,结合勾股定理的逆定理判断.
方法二:利用正弦定理,化边为角,求出角C的值,然后判断.
【解析】方法一:在△ABC中,由cos2=,
得=,所以cos
A=.
根据余弦定理得=.
所以b2+c2-a2=2b2,即a2+b2=c2.
所以△ABC是直角三角形.
方法二:在△ABC中,设其外接圆半径为R,由正弦定理得b=2Rsin
B,c=2Rsin
C.由cos2=知,cos
A=.
所以cos
A=,即sin
B=sin
Ccos
A.
因为B=π-(A+C),所以sin(A+C)=sin
Ccos
A,所以sin
Acos
C=0.
因为A,C都是△ABC的内角,所以A≠0,A≠π.
所以cos
C=0,所以C=.所以△ABC是直角三角形.
【类题·通】
1.用转化思想解决利用三角形的边角关系判断三角形形状的两条思考路径
利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化的思想解决这类问题,一般有两条思考路线:
(1)化边为角,再进行三角恒等变换,求出角的大小或角的正、余弦值符号.
(2)化角为边,再进行代数恒等变换,求出三条边之间的关系式.
2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
(1)△ABC为直角三角形?a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2.
(2)△ABC为锐角三角形?a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2.
(3)△ABC为钝角三角形?a2+b2【习练·破】
在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos
Bcos
C,试判断△ABC的形状.
【解析】【法一 化角为边】将已知等式变形为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos
Bcos
C.
由余弦定理并整理,得b2+c2-b2-
c2
=2bc××,
所以b2+c2===a2.
所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.
【法二 化边为角】由正弦定理,已知条件可化为sin2Csin2B+sin2Csin2B=2sin
Bsin
Ccos
Bcos
C.
又sin
Bsin
C≠0,
所以sin
Bsin
C=cos
Bcos
C,即cos(B+C)=0.
又因为0°所以△ABC是直角三角形.
【加练·固】
在△ABC中,acos
A+bcos
B=ccos
C,试判断△ABC的形状.
【解析】由余弦定理知cos
A=,
cos
B=,cos
C=,
代入已知条件得a·+b·+c·=0,
通分得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,展开整理得(a2-b2)2=c4.所以a2-b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形.
类型三 正弦定理、余弦定理的综合应用
角度1 综合利用正弦定理、余弦定理解三角形
【典例】(2020·潍坊高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cos
B+bcos
A=0.
(1)求B.
(2)若b=3,△ABC的周长为3+2,求△ABC的面积.
世纪
【思维·引】(1)先利用正弦定理把条件式中的边转化为角,进行三角恒等变换求角,(2)利用余弦定理并结合已知周长求出ac的值.
【解析】(1)由已知及正弦定理得(sin
A+2sin
C)cos
B+sin
Bcos
A=0,
(sin
Acos
B+sin
Bcos
A)+2sin
Ccos
B=0,
sin(A+B)+2sin
Ccos
B=0,
又sin(A+B)=sin
C,且C∈(0,π),sin
C≠0,
所以cos
B=-,因为0(2)由余弦定理得9=a2+c2-2accos
B.
所以a2+c2+ac=9,则(a+c)2-ac=9.
因为a+b+c=3+2,b=3,所以a+c=2,
所以ac=3,所以S△ABC=acsin
B=×3×=.
角度2 正、余弦定理与三角函数和平面向量的综合运用
【典例】在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
(1)求C的大小.
(2)如果a+b=6,·=4,求c的值.
世纪
【思维·引】(1)利用正弦定理后弦化切求解.
(2)根据平面向量的数量积运算求得ab,结合题目条件和余弦定理求c的值.
【解析】(1)因为=,=,
所以sin
C=cos
C.所以tan
C=.
又因为C∈(0,π),所以C=.
(2)因为·=||·||cos
C=ab,
又因为·=4,所以ab=8.又因为a+b=6,
由余弦定理知c2=a2+b2-2abcos
C
=(a+b)2-3ab=12,所以c=2.
【类题·通】
正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具,这类题目往往结合基本的三角恒等变换,同时注意三角形中的一些重要性质,如内角和为180°、大边对大角等.
【习练·破】
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b2+c2-a2=bc,·>0,
a=,则b+c的取值范围是________(用区间表示).?
【解析】由b2+c2-a2=bc得,cos
A==,因为00知,B为钝角,又因为=1,则b=sin
B,c=sin
C,b+c=sin
B+sin
C=sin
B+
sin=sin
B+cos
B=sin,
因为所以答案:
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=.
(1)求的值.
(2)若cos
B=,△ABC的周长为5,求b的长.
【解析】(1)由正弦定理可设===k,
则==,
所以=,
即(cos
A-2cos
C)sin
B=(2sin
C-sin
A)cos
B,
化简可得sin(A+B)=2sin(B+C).
又A+B+C=π,所以sin
C=2sin
A,因此=2.
(2)由=2及正弦定理,得c=2a.
由余弦定理及cos
B=,
得b2=a2+c2-2accos
B=a2+4a2-4a2×=4a2,
所以b=2a.又a+b+c=5,所以a=1,因此b=2.
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