人教A版数学必修二第一章测试卷word附解析

第一章测试卷附解析
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．棱锥的侧面和底面可以都是(　　)
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
2．如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(　　)
A．
B．1
C．
D．2
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)
A．18＋36
B．54＋18
C．90
D．81
4．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(　　)
A．
B．
C．
D．
5．如图所示的正方体中，M，N分别是AA1，CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是(　　)
6．如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且h1＝h，若将圆锥形容器倒置，水面高为h2，则h2等于(　　)
A．h
B．h
C．h
D．h
7．若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是(　　)
A．
B．
C．
D．
8．某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)
A．①③
B．②
C．①③④
D．②③④
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)
A．3π
B．4π
C．2π＋4
D．3π＋4
10．如图所示是某几何体的三视图，则这个几何体的体积等于(　　)
A．4
B．6
C．8
D．12
11．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，，，则此三棱锥的外接球的表面积为(　　)
A．3π
B．6π
C．18π
D．24π
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)
A．14斛
B．22斛
C．36斛
D．66斛
二、填空题(本题共4小题，第小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为________．(铁皮厚度忽略不计)
14．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
15．一个体积为12的正三棱柱(底面为正三角形，且侧棱垂直于底面)的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．
16．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________．
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积．
18．(12分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
19．(12分)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为．设这条最短路线与CC1的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
(2)PC和NC的长．
20．(12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
21．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥A′－BC′D，求：
(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥A′－BC′D的体积．
22．(12分)如图所示，四边形ABCD是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
第一章测试卷附解析
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．棱锥的侧面和底面可以都是(　　)
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
解析：选A　三棱锥的侧面和底面均为三角形．
2．如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(　　)
A．
B．1
C．
D．2
解析：选D　∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，
∴直角三角形的直角边长是，
∴直角三角形的面积是××＝1，
∴原平面图形的面积是1×2＝2．故选D．
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)
A．18＋36
B．54＋18
C．90
D．81
解析：选B　由已知中的三视图可得：该几何体是一个以边长为3的正方形为底面的斜四棱柱，
其底面面积为：3×3×2＝18，
前后侧面的面积为：3×6×2＝36，
左右侧面的面积为：3××2＝18，
故棱柱的表面积为：18＋36＋18＝54＋18．故选B．
4．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选A　设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r．
画图可知(图略)，R2＝R2＋r2，∴R2＝r2．
∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝πR2，
则所得截面的面积与球的表面积的比为＝．故选A．
5．如图所示的正方体中，M，N分别是AA1，CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是(　　)
解析：选D　四边形D1MBN在上下底面的正投影为选项A；在前后面上的正投影为选项B；在左右面上的正投影为选项C．故选D．
6．如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且h1＝h，若将圆锥形容器倒置，水面高为h2，则h2等于(　　)
A．h
B．h
C．h
D．h
解析：选D　设圆锥形容器的底面积为S，
则未倒置前液面的面积为S，
∴水的体积V＝Sh－×S(h－h1)＝Sh，
设倒置后液面面积为S′，则＝2，
∴S′＝，
∴水的体积V＝S′h2＝，
∴Sh＝，
解得h2＝，故选D．
7．若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选C　易知V＝1－8×××××＝．
8．某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)
A．①③
B．②
C．①③④
D．②③④
解析：选A　若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求；①③都是能符合要求的几何体，故选A．
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)
A．3π
B．4π
C．2π＋4
D．3π＋4
解析：选D　由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为S＝2×π×12＋×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4．
10．如图所示是某几何体的三视图，则这个几何体的体积等于(　　)
A．4
B．6
C．8
D．12
解析：选A　由三视图得该几何体为四棱锥S－ABCD，如图所示，
其中SA⊥平面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°．
∴V＝SA×(AB＋CD)·AD＝×2××(2＋4)×2＝4，故选A．
11．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，，，则此三棱锥的外接球的表面积为(　　)
A．3π
B．6π
C．18π
D．24π
解析：选B　将三棱锥补成棱长分别为1，，的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R＝，解得R＝，故S＝4πR2＝6π．
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)
A．14斛
B．22斛
C．36斛
D．66斛
解析：选B　米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，
设圆锥底面半径为r，则×2πr＝8，
得r＝，
所以米堆的体积为×πr2×5≈(立方尺)，
÷1．62≈22(斛)．
二、填空题(本题共4小题，第小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为________．(铁皮厚度忽略不计)
解析：如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l等于正方形的边长4，扇形的弧长＝×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝2π，所以r＝1，所以h＝＝，所以圆锥的容积为πr2h＝．
答案：
14．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：该组合体为在一个圆柱内去掉一个半球，其体积V＝π×12×1－π×13×＝．
答案：
15．一个体积为12的正三棱柱(底面为正三角形，且侧棱垂直于底面)的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．
解析：由三视图可知底面正三角形的高为2，则底面边长为4，所以底面面积为4，因此该三棱柱的高为12÷4＝3，故侧视图的面积为2×3＝6．
答案：6
16．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________．
解析：设球的半径为r，则πr3＝π，
得r＝2，柱体的高为2r＝4．
又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，
所以底面正三角形的边长为4，
所以正三棱柱的体积V＝×(4)2×4＝48．
答案：48
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积．
解：由已知得，该几何体为一个棱台，其侧面的高
h′＝
＝．
故S＝S上底＋S下底＋S侧面＝22＋42＋4××(2＋4)×＝20＋12，
所以该几何体的表面积为20＋12，
体积V＝(42＋22＋2×4)×3＝28．
18．(12分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
解：由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V′＝π·2·h＝πh3，
由V＝V′，得h＝r．即容器中水的深度为r．
19．(12分)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为．设这条最短路线与CC1的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
(2)PC和NC的长．
解：(1)该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为9的矩形，所以对角线的长为＝．
(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB1展开，如图所示．
设PC的长为x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2．
因为MP＝，MA＝2，AC＝3，所以x＝2(负值舍去)，即PC的长为2．
又因为NC∥AM，所以＝，即＝，所以NC＝．
20．(12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
解：由题图可知半球的半径为4
cm，
所以V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，V圆锥＝πr2h＝π×42×12＝64π(cm3)．
因为V半球21．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥A′－BC′D，求：
(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥A′－BC′D的体积．
解：(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，
∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，
∴三棱锥A′－BC′D的表面积为4××a××a＝2a2．
而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值为＝．
(2)三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．
故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD＝a3－4××a2·a＝．
22．(12分)如图所示，四边形ABCD是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
解：由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积＋圆台的侧面积＋半球面面积．
因为S半球面＝×4π×22＝8π(cm2)，
S圆台侧＝π(2＋5)＝35π(cm2)，
S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，
所以表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．
又因为V圆台＝×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
V半球＝××23＝(cm3)，
所以该几何体的体积为V圆台－V半球＝(cm3)．