人教A版数学必修二 第二章测试卷（含解析）

第二章测试卷附解析
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题：
①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l?α；
②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；
③若l?α，A∈l，则A?α；
④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合．
则上述命题中，正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则(　　)
A．b⊥α
B．b?α
C．b∥α
D．b∥α或b?α
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是(　　)
A．DD1
B．A1D1
C．C1D1
D．A1D
5．已知PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)
A．PB⊥BC
B．PD⊥CD
C．PD⊥BD
D．PA⊥BD
6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若m?β，α⊥β，则m⊥α
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
D．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
7．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“若α∥β，且α⊥γ，则β⊥γ”是真命题．若把α，β，γ中的任意两个平面换成直线，另一个保持不变，则在所得到的所有新命题中，真命题的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥m
B．AC⊥m
C．AB∥β
D．AC⊥β
10．如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为(　　)
①DF∥平面PBC；
②AB⊥平面PDC；
③平面PEF⊥平面ABC；
④平面PAE⊥平面PBC．
A．3
B．2
C．1
D．0
11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是(　　)
①EF与BB1垂直；
②EF⊥平面BCC1B1；
③EF与C1D所成的角为45°；
④EF∥平面A1B1C1D1．
A．②③
B．①④
C．③
D．①②④
12．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为(　　)
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β．当满足条件________时，有m⊥β．
14．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是________．
15．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________．
16．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥平面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
18．(12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°．
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明：CD⊥平面ABF．
19．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)是否存在点E使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．
20．(12分)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
(1)求证：AE⊥BE；
(2)求三棱锥D－AEC的体积．
21．(12分)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE．
(1)求证：AD′⊥BE；
(2)求四棱锥D′－ABCE的体积；
(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
22．(12分)如图所示，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB＝2EF，∠EAB＝90°，平面ABFE⊥平面ABCD．
(1)若G点是DC的中点，求证：FG∥平面AED；
(2)求证：平面DAF⊥平面BAF；
(3)若AE＝AD＝1，AB＝2，求三棱锥D－AFC的体积．
第二章测试卷附解析
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题：
①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l?α；
②α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；
③若l?α，A∈l，则A?α；
④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合．
则上述命题中，正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C　根据公理1可知①正确；根据公理3可知②正确；根据公理2可知④正确；当点A为直线l与平面α的交点时，可知③错误．
2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：选C　如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，
则AC∥A1C1∥DE，
则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．
由条件可知BD＝DE＝EB＝，
所以∠BDE＝60°．
3．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则(　　)
A．b⊥α
B．b?α
C．b∥α
D．b∥α或b?α
解析：选D　当b?α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b⊥α时，a⊥α，则a∥b．所以直线a⊥b，且a⊥α时，b∥α或b?α，故选D．
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是(　　)
A．DD1
B．A1D1
C．C1D1
D．A1D
解析：选D　∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵A1D?平面AB1C，B1C?平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，故选D．
5．已知PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)
A．PB⊥BC
B．PD⊥CD
C．PD⊥BD
D．PA⊥BD
解析：选C　如图所示，由于PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD，D正确；BC⊥PA，BC⊥BA，而PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，A正确；同理PD⊥CD，B正确D与BD不垂直，C不正确．
6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若m?β，α⊥β，则m⊥α
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
D．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
解析：选B　若m?β，α⊥β，则m与α的关系不确定，故A错误；若m∥α，则存在直线n?α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，进而由面面垂直的判定定理得到α⊥β，故B正确；若α⊥β，α⊥γ，则β与γ关系不确定，故C错误；若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α与β可能平行，也可能相交(此时交线与m，n均平行)，故D错误．故选B．
7．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“若α∥β，且α⊥γ，则β⊥γ”是真命题．若把α，β，γ中的任意两个平面换成直线，另一个保持不变，则在所得到的所有新命题中，真命题的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选C　若α，β换为直线a，b，则命题化为“若a∥b，且a⊥γ”，则b⊥γ，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“若a∥β，且a⊥b，则b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“若a∥α，且b⊥α，则a⊥b”，此命题为真命题．故真命题有2个．
8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
解析：选C　由已知AC＝AB，E为BC的中点，得AE⊥BC．
又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确．
9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥m
B．AC⊥m
C．AB∥β
D．AC⊥β
解析：选D　∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l．
∵AB∥l，∴AB∥m．故A一定成立；
∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m．故B一定成立；
∵A∈α，AB∥l，l?α，∴B∈α．
∴AB?β，l?β，∴AB∥β．故C一定成立；
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，
当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．
故D不一定成立．
10．如图所示，空间四边形PABC的各边都相等，D，E，F，G分别是AB，BC，CA，AP的中点，下列四个结论中正确的个数为(　　)
①DF∥平面PBC；
②AB⊥平面PDC；
③平面PEF⊥平面ABC；
④平面PAE⊥平面PBC．
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：选A　∵BC∥DF，DF?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DF∥平面PBC，故①正确；
∵PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD＝D，
∴AB⊥平面PDC，故②正确；
∵PE⊥BC，AE⊥BC，PE∩AE＝E，
∴BC⊥平面PAE，
∵BC?平面PBC，
∴平面PAE⊥平面PBC，故④正确；
只有③错误，故选A．
11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是(　　)
①EF与BB1垂直；
②EF⊥平面BCC1B1；
③EF与C1D所成的角为45°；
④EF∥平面A1B1C1D1．
A．②③
B．①④
C．③
D．①②④
解析：选B　显然①④正确，②③错误．
12．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为(　　)
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
解析：选C　当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β．当满足条件________时，有m⊥β．
答案：②④
14．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是________．
解析：∵PA＝PB＝PC，
∴P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上．又外心在BC上，设为O，则PO⊥平面ABC．
又PO?平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABC．
答案：垂直
15．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________．
解析：A?α，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD．
因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG，
所以＝．又＝，所以＝．于是EG＝＝＝．
答案：
16．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
解析：由题意知：PA⊥DE，
又PE⊥DE，PA∩PE＝P，
∴DE⊥平面PAE，又AE?平面PAE，
∴DE⊥AE．
易证△ABE∽△ECD．
设BE＝x，则＝，即＝．
∴x2－ax＋9＝0，由Δ>0，a>0，
解得a>6．
答案：(6，＋∞)
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥平面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
证明：(1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F．
又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，
∴平面AB1F1∥平面C1BF．
(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1．
又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
18．(12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°．
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明：CD⊥平面ABF．
解：(1)因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED，
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD．
在Rt△CDE中，因为CD＝1，ED＝2，
所以CE＝＝3，
所以cos
∠CED＝＝．
故异面直线CE与AF所成角的余弦值为．
(2)证明：如图，过点B作BG∥CD交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°．
由∠BAD＝45°可得BG⊥AB，从而CD⊥AB．
又因为CD⊥FA，FA∩AB＝A，FA，AB?平面ABF，
所以CD⊥平面ABF．
19．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)是否存在点E使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．
解：(1)证明：∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．
又∵AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，∴BC⊥平面PAC．
(2)存在，理由如下，
∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角．
20．(12分)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
(1)求证：AE⊥BE；
(2)求三棱锥D－AEC的体积．
解：(1)证明：由题意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE．∵AE?平面ABE，∴AE⊥BC．
∵BF⊥平面ACE，且AE?平面ABE，
∴BF⊥AE，又BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE，
又∵BE?平面BCE，∴AE⊥BE．
(2)在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H．
∵AD⊥平面ABE，且AD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABE，又∵平面ACD∩平面ABE＝AB，EH?平面ABE，∴EH⊥平面ACD．
由已知及(1)得EH＝AB＝，S△ADC＝2．
故VD－AEC＝VE－ADC＝×2×＝．
21．(12分)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE．
(1)求证：AD′⊥BE；
(2)求四棱锥D′－ABCE的体积；
(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，
∴∠DEA＝∠CEB＝45°，
∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE．
∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE?平面ABCE，
∴BE⊥平面D′AE，∵AD′?平面D′AE，∴AD′⊥BE．
(2)取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE．
∵平面D′AE⊥平面ABCE，
且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，D′F?平面D′AE，
∴D′F⊥平面ABCE，
∴VD′－ABCE＝S四边形ABCE·D′F＝××(1＋2)×1×＝．
(3)如图所示，连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B∥平面PAC，连接PQ．
∵D′B?平面D′BE，
平面D′BE∩平面PAC＝PQ，∴D′B∥PQ，
∴在△EBD′中，＝．
∵在梯形ABCE中，＝＝，
∴＝＝，即EP＝ED′，
∴在棱ED′上存在一点P，且EP＝ED′，使得D′B∥平面PAC．
22．(12分)如图所示，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB＝2EF，∠EAB＝90°，平面ABFE⊥平面ABCD．
(1)若G点是DC的中点，求证：FG∥平面AED；
(2)求证：平面DAF⊥平面BAF；
(3)若AE＝AD＝1，AB＝2，求三棱锥D－AFC的体积．
解：(1)证明：∵点G是DC的中点，AB＝CD＝2EF，
AB∥EF，四边形ABCD是矩形，
∴EF∥DG且EF＝DG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴FG∥DE，又FG?平面AED，ED?平面AED，
∴FG∥平面AED．
(2)证明：∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面BAF．
又AD?平面DAF，∴平面DAF⊥平面BAF．
(3)∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，∠EAB＝90°，EA?平面ABFE，
∴EA⊥平面ABCD．
∵EF∥AB，EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，
∴F到平面ABCD的距离为E到平面ABCD的距离EA，
∴VD－AFC＝VF－ADC＝·S△ADC·EA＝××1×2×1＝．