人教A版数学必修二第三章测试卷附解析

第三章测试卷附解析
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每上题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若直线过点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是(　　)
A．30°　
B．45°
C．60°
D．90°
2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为(　　)
A．－3
B．－6
C．－
D．
3．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l1，l2的位置关系是(　　)
A．平行或重合
B．平行
C．垂直
D．重合
4．已知直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点(　　)
A．
B．
C．
D．
5．若直线l经过点A(1,2)，在y轴上的截距的取值范围是(－2,3)，则其斜率的取值范围是(　　)
A．
B．∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
D．(－1,4)
6．已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0，l2的方程是bx－y－a＝0(ab≠0，a≠b)，则下列各示意图中，正确的是(　　)
7．已知?ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为(　　)
A．(3,4)
B．(4,3)
C．(3,1)
D．(3,8)
8．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于(　　)
A．－1
B．1
C．
D．－
9．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且两者之间的距离是，则m＋n等于(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
10．若点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0,3x－4y＋5＝0之间，则整数b的值为(　　)
A．5
B．－5
C．4
D．－4
11．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)
A．－4
B．20
C．0
D．24
12．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2
B．6
C．3
D．2
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．过点(－2，－3)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为____________________．
14．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________．
15．若光线由点P(2,3)射到x轴上，反射后过点Q(1,1)，则反射光线所在直线方程是____________．
16．已知点A(1，－1)，点B(3,5)，点P是直线y＝x上的动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标是________．
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知点M是直线l：x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得到的直线l′的方程．
18．(12分)已知直线l被两直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得线段的中点为P(0,0)，求直线l的方程．
19．(12分)已知不交于同一点的三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：x－my－4＝0．
(1)当这三条直线不能围成三角形时，求实数m的值；
(2)当l3与l1，l2都垂直时，求两垂足间的距离．
20．(12分)在平面直角坐标系内，已知A(1，a)，B(－5，－3)，C(4,0)．
(1)当a∈(，3)时，求直线AC的倾斜角α的取值范围；
(2)当a＝2时，求△ABC的BC边上的高AH所在直线l的方程．
21．(12分)是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求出直线l的方程(化成直线方程的一般式)；若不存在，说明理由．
22．
(12分)已知直线l：y＝4x和点P(6,4)，点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴的正半轴于点B．
(1)当OP⊥AB时，求AB所在直线的方程；
(2)求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标．
第三章测试卷附解析
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每上题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若直线过点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是(　　)
A．30°　
B．45°
C．60°
D．90°
解析：选A　利用斜率公式k＝＝＝tan
θ，又0°≤θ＜180°，可得倾斜角为30°．
2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为(　　)
A．－3
B．－6
C．－
D．
解析：选B　当两直线平行时有＝≠，可求得a＝－6．
3．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l1，l2的位置关系是(　　)
A．平行或重合
B．平行
C．垂直
D．重合
解析：选A　由题意可知直线l1的斜率k1＝tan
60°＝，直线l2的斜率k2＝＝，故k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合．
4．已知直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选D　∵(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，
∴2x＋1＝0且y＋3＝0，∴x＝－，y＝－3，
∴定点为．
5．若直线l经过点A(1,2)，在y轴上的截距的取值范围是(－2,3)，则其斜率的取值范围是(　　)
A．
B．∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
D．(－1,4)
解析：选D　直线l的斜率存在，
设直线方程为y－2＝k(x－1)，
令x＝0，可得y＝2－k，
∵直线l在y轴上的截距的取值范围是(－2,3)，
∴－2<2－k<3，∴－16．已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0，l2的方程是bx－y－a＝0(ab≠0，a≠b)，则下列各示意图中，正确的是(　　)
解析：选D　l1的方程即y＝ax＋b，斜率等于a，在y轴上的截距为b．l2的方程即y＝bx－a，斜率等于b，在y轴上的截距为－a．假定l1的位置，从而确定l2的位置，故选D．
7．已知?ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为(　　)
A．(3,4)
B．(4,3)
C．(3,1)
D．(3,8)
解析：选A　设D(m，n)，由题意得AB∥DC，AD∥BC，
则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，
∴解得
∴点D的坐标为(3,4)．
8．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于(　　)
A．－1
B．1
C．
D．－
解析：选B　由两直线垂直，得×＝－1，解得m＝1．
9．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且两者之间的距离是，则m＋n等于(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选B　由题意知，所给两条直线平行，∴n＝－2．
由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，∴m＋n＝0．
10．若点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0,3x－4y＋5＝0之间，则整数b的值为(　　)
A．5
B．－5
C．4
D．－4
解析：选C　将x＝5代入6x－8y＋1＝0，得y＝；代入3x－4y＋5＝0，得y＝5．由题意知11．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)
A．－4
B．20
C．0
D．24
解析：选A　∵l1⊥l2，
故－·＝－1，
∴a＝10．∴l1：10x＋4y－2＝0．
将(1，c)代入，得c＝－2；
将(1，－2)代入l2：得b＝－12．
则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4．
12．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2
B．6
C．3
D．2
解析：选A　由题意可求得点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程的长为|PM|＋|MN|＋|NP|＝|CD|＝2．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．过点(－2，－3)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为____________________．
解析：当直线过原点时，所求直线的方程为3x－2y＝0；当直线不过原点时，所求直线的方程为x＋y＋5＝0．
答案：x＋y＋5＝0或3x－2y＝0
14．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________．
解析：设M(x，y)，
则|y|＝＝10．
解得或
答案：(2,10)或(－10,10)
15．若光线由点P(2,3)射到x轴上，反射后过点Q(1,1)，则反射光线所在直线方程是____________．
解析：点P(2,3)关于x轴的对称点为P′(2，－3)，则直线P′Q的方程为＝，即反射光线所在直线方程为4x＋y－5＝0．
答案：4x＋y－5＝0
16．已知点A(1，－1)，点B(3,5)，点P是直线y＝x上的动点，当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标是________．
解析：易知当点P为直线AB与直线y＝x的交点时，
|PA|＋|PB|的值最小，直线AB的方程为
y－5＝(x－3)，即3x－y－4＝0．
解方程组得
所以当|PA|＋|PB|的值最小时，点P的坐标为(2,2)．
答案：(2,2)
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知点M是直线l：x－y＋3＝0与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，求所得到的直线l′的方程．
解：在x－y＋3＝0中，令y＝0，得x＝－，
即M(－，0)．
∵直线l的斜率k＝，
∴其倾斜角θ＝60°．若直线l绕点M逆时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，
故其方程为x＝－；
若直线l绕点M顺时针方向旋转30°，则直线l′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan
30°＝，
故其方程为y＝(x＋)，即x－y＋＝0．
综上所述，所求直线方程为x＋＝0或x－y＋＝0．
18．(12分)已知直线l被两直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得线段的中点为P(0,0)，求直线l的方程．
解：设所求直线l与两直线l1，l2分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝0，且y1＋y2＝0．
又因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1，l2上，
则
即
解得∴A．
∴kAP＝－，∴直线AP的方程为y＝－x，即x＋6y＝0，即为所求直线l的方程．
19．(12分)已知不交于同一点的三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：x－my－4＝0．
(1)当这三条直线不能围成三角形时，求实数m的值；
(2)当l3与l1，l2都垂直时，求两垂足间的距离．
解：(1)三条直线不能围成三角形时，至少有两直线平行，
当直线l1和l2平行时，4－m＝0，解得m＝4；
当直线l2和l3平行时，－m2－1＝0，无解；
当直线l1和l3平行时，－4m－1＝0，解得m＝－．
综上可得m＝4或m＝－．
(2)当l3与l1，l2都垂直时，m＝4，
两垂足间的距离即为平行线l1：4x＋y－4＝0和l2：4x＋y＝0的距离，
∴d＝＝．
20．(12分)在平面直角坐标系内，已知A(1，a)，B(－5，－3)，C(4,0)．
(1)当a∈(，3)时，求直线AC的倾斜角α的取值范围；
(2)当a＝2时，求△ABC的BC边上的高AH所在直线l的方程．
解：(1)kAC＝＝－，
a∈(，3)，则kAC∈，
又∵k＝tan
α，0°≤α＜180°，
∴135°＜α＜150°，故直线AC的倾斜角α的取值范围为(135°，150°)．
(2)kBC＝＝，
∵AH为高，∴AH⊥BC，
∴kAH·kBC＝－1，
∴kAH＝－3．
又∵l过点A(1,2)，
∴l：y－2＝－3(x－1)，
即3x＋y－5＝0．
21．(12分)是否存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求出直线l的方程(化成直线方程的一般式)；若不存在，说明理由．
解：假设存在过点(－5，－4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5，
设直线l的方程为＋＝1，
则＋＝1，即4a＋5b＋ab＝0．
S＝|ab|＝5，化为|ab|＝10．
联立
解得或
故存在直线l，其方程为＋＝1或＋＝1，即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0．
22．
(12分)已知直线l：y＝4x和点P(6,4)，点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴的正半轴于点B．
(1)当OP⊥AB时，求AB所在直线的方程；
(2)求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标．
解：(1)∵点P(6,4)，∴kOP＝．
又∵OP⊥AB，∴kAB＝－．
∵AB过点P(6,4)，
∴直线AB的方程为y－4＝－(x－6)，化为一般式可得3x＋2y－26＝0．
(2)设点A(a,4a)，a>0，点B的坐标为(b,0)，b>0，当直线AB的斜率不存在时，a＝b＝6，此时△OAB的面积S＝×6×24＝72；
当直线AB的斜率存在时，
有＝，解得b＝，
故点B的坐标为，故△OAB的面积S＝··4a＝，即10a2－Sa＋S＝0．①
由题意可得方程10a2－Sa＋S＝0有解，
故判别式Δ＝S2－40S≥0，∴S≥40，
故S的最小值为40，此时①为a2－4a＋4＝0，解得a＝2．
综上可得，△OAB面积的最小值为40，
当△OAB面积取最小值时，点B的坐标为(10,0)．