人教A版数学必修二第四章测试卷附解析
文档属性
| 名称 | 人教A版数学必修二第四章测试卷附解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 64.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-06-17 10:52:39 | ||
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文档简介
第四章测试卷附解析
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4
B．6或2
C．3或－4
D．6或－2
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围为( )
A．m＜
B．m＜0
C．m＞
D．m≤
3．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(1，－2)，5
B．(1，－2)，
C．(－1,2)，5
D．(－1,2)，
4．直线l：y＝k与圆C：x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交或相切
B．相交或相离
C．相切
D．相交
5．直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为( )
A．
B．
C．2
D．
6．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0
D．x－y＋2＝0
7．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1或
B．1或3
C．－2或6
D．0或4
8．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A．－或
B．
C．－或
D．
9．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6
B．4
C．3
D．2
10．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－
B．1
C．2
D．
11．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0
D．4x＋y－3＝0
12．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2，则c的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．(－2，2)
C．[－2,2]
D．(－2,2)
二、填空题(本题共4小题，第小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．
14．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________．
15．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使|AB|最小，则直线l的方程是____________．
16．由直线y＝x＋1上一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知圆C的圆心坐标为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
18．(12分)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度；
(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．
19．(12分)设半径为3的圆C被直线l：x＋y－4＝0截得的弦AB的中点为P(3,1)，且弦长|AB|＝2，求圆C的方程．
20．(12分)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
21．(12分)已知点(0,1)，(3＋2，0)，(3－2，0)在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
22．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O．
(1)求圆C的方程；
(2)试求圆C上是否存在异于原点的Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第四章测试卷附解析
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4
B．6或2
C．3或－4
D．6或－2
解析：选D 由空间两点间的距离公式得
＝2，解得x＝6或x＝－2．
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围为( )
A．m＜
B．m＜0
C．m＞
D．m≤
解析：选A (－1)2＋12－4m＞0，∴m＜，故选A．
3．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(1，－2)，5
B．(1，－2)，
C．(－1,2)，5
D．(－1,2)，
解析：选D 圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心是(－1,2)，半径为．
4．直线l：y＝k与圆C：x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交或相切
B．相交或相离
C．相切
D．相交
解析：选D 解法一：圆C的圆心(0,0)到直线y＝k(x＋)的距离d＝，
∵d2＝＜＜1，∴所判断的位置关系为相交．
解法二：直线l：y＝k过定点，而点在圆C：x2＋y2＝1内部，故直线l与圆C相交．
5．直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为( )
A．
B．
C．2
D．
解析：选D 圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(2，－3)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝＝，弦长为2＝4，原点到直线的距离为＝，所以S＝×4×＝．
6．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0
D．x－y＋2＝0
解析：选D ∵点(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，
∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．设切线的斜率为k，
又∵圆心为(2,0)，∴·k＝－1，解得k＝，∴切线方程为x－y＋2＝0．
7．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1或
B．1或3
C．－2或6
D．0或4
解析：选D 由半径、半弦长、圆心到直线的距离d所形成的直角三角形，可得d＝，故＝，解得a＝4或a＝0．
8．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A．－或
B．
C．－或
D．
解析：选A 解法一：∵|PQ|＝2×1×sin
60°＝，圆心到直线的距离d＝＝，
∴＝，解得k＝±．
解法二：利用数形结合．如图所示，
∵直线y＝kx＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x2＋y2＝1上，故不妨设P(0,1)，在等腰三角形POQ中，∠POQ＝120°，∴∠QPO＝30°，故∠PAO＝60°，∴k＝，即直线PA的斜率为．同理可求得直线PB的斜率为－．
9．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6
B．4
C．3
D．2
解析：选B |PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4．
10．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－
B．1
C．2
D．
解析：选C 易知点P(2,2)在圆上，由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2．
11．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0
D．4x＋y－3＝0
解析：选A 根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2．
12．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2，则c的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．(－2，2)
C．[－2,2]
D．(－2,2)
解析：选C 圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0整理为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心坐标为C(2,2)，半径长为3，要使圆上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2，如图可知圆心到直线l的距离应小于等于，∴d＝＝≤，解得|c|≤2，即－2≤c≤2．
二、填空题(本题共4小题，第小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．
解析：设点P(0，b,0)，
则＝
，解得b＝－．
答案：
14．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________．
解析：由(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2－4)＝0得两圆公共弦方程为ay－1＝0，又因公共弦长为2，所以圆心(0,0)到该公共弦的距离为1，即＝1．又a＞0，所以a＝1．
答案：1
15．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使|AB|最小，则直线l的方程是____________．
解析：∵(－1)2＋22－2×2－3＝－2<0，
∴点P在圆内，∴当AB⊥CP时，|AB|最小．
∵kCP＝－1，∴kl＝1，则y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0．
答案：x－y＋3＝0
16．由直线y＝x＋1上一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
解析：当直线上的点到圆心的距离最小时切线长最短，直线y＝x＋1上的点到(3,0)的最短距离为＝2，此时切线长为＝．
答案：
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知圆C的圆心坐标为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
解：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4．
18．(12分)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度；
(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．
解：(1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)．
(2)|MD|＝＝，
|MN|＝＝．
(3)∵点P在xOy平面上，∴设点P的坐标为(x，y,0)，∵P在DN上运动，
∴＝＝2，∴x＝2y，∴点P的坐标为(2y，y,0)，
∴|MP|＝
＝＝
，
∵y∈[0,1]，且0＜＜1，
∴当y＝时，|MP|取得最小值，即．
∴|MP|的最小值为．
19．(12分)设半径为3的圆C被直线l：x＋y－4＝0截得的弦AB的中点为P(3,1)，且弦长|AB|＝2，求圆C的方程．
解：由题意，设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝9，圆心到直线的距离为d＝＝，则＝．
又因为弦AB所在直线的斜率为－1，所以＝1．
联立解得或
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9或(x－2)2＋y2＝9．
20．(12分)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
解：(1)证明：∵圆C过原点O，且|OC|2＝t2＋．∴圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，∴OC垂直平分线段MN．∵kMN＝－2，∴kOC＝．
∴＝t，解得t＝2或t＝－2．
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点；
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>．
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
21．(12分)已知点(0,1)，(3＋2，0)，(3－2，0)在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
解：(1)由题意可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1．
则圆C的圆心为(3,1)，半径长为＝3．
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9．
(2)由消去y，
得2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，此时判别式Δ＝56－16a－4a2．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0，②
由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1．
22．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O．
(1)求圆C的方程；
(2)试求圆C上是否存在异于原点的Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心为C(a，b)，由OC与直线y＝x垂直，知斜率kOC＝＝－1，故b＝－a．
又|OC|＝2，即
＝2，
可解得a＝－2，b＝2或a＝2，b＝－2，
结合点C(a，b)位于第二象限知a＝－2，b＝2．
故圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8．
(2)假设存在Q(m，n)符合题意，
则(m－4)2＋n2＝16，m2＋n2≠0，(m＋2)2＋(n－2)2＝8，
解得m＝，n＝，
故圆C上存在异于原点的点Q符合题意．
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4
B．6或2
C．3或－4
D．6或－2
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围为( )
A．m＜
B．m＜0
C．m＞
D．m≤
3．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(1，－2)，5
B．(1，－2)，
C．(－1,2)，5
D．(－1,2)，
4．直线l：y＝k与圆C：x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交或相切
B．相交或相离
C．相切
D．相交
5．直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为( )
A．
B．
C．2
D．
6．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0
D．x－y＋2＝0
7．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1或
B．1或3
C．－2或6
D．0或4
8．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A．－或
B．
C．－或
D．
9．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6
B．4
C．3
D．2
10．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－
B．1
C．2
D．
11．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0
D．4x＋y－3＝0
12．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2，则c的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．(－2，2)
C．[－2,2]
D．(－2,2)
二、填空题(本题共4小题，第小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．
14．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________．
15．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使|AB|最小，则直线l的方程是____________．
16．由直线y＝x＋1上一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知圆C的圆心坐标为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
18．(12分)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度；
(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．
19．(12分)设半径为3的圆C被直线l：x＋y－4＝0截得的弦AB的中点为P(3,1)，且弦长|AB|＝2，求圆C的方程．
20．(12分)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
21．(12分)已知点(0,1)，(3＋2，0)，(3－2，0)在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
22．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O．
(1)求圆C的方程；
(2)试求圆C上是否存在异于原点的Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第四章测试卷附解析
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4
B．6或2
C．3或－4
D．6或－2
解析：选D 由空间两点间的距离公式得
＝2，解得x＝6或x＝－2．
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围为( )
A．m＜
B．m＜0
C．m＞
D．m≤
解析：选A (－1)2＋12－4m＞0，∴m＜，故选A．
3．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(1，－2)，5
B．(1，－2)，
C．(－1,2)，5
D．(－1,2)，
解析：选D 圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心是(－1,2)，半径为．
4．直线l：y＝k与圆C：x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交或相切
B．相交或相离
C．相切
D．相交
解析：选D 解法一：圆C的圆心(0,0)到直线y＝k(x＋)的距离d＝，
∵d2＝＜＜1，∴所判断的位置关系为相交．
解法二：直线l：y＝k过定点，而点在圆C：x2＋y2＝1内部，故直线l与圆C相交．
5．直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为( )
A．
B．
C．2
D．
解析：选D 圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(2，－3)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝＝，弦长为2＝4，原点到直线的距离为＝，所以S＝×4×＝．
6．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0
D．x－y＋2＝0
解析：选D ∵点(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，
∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．设切线的斜率为k，
又∵圆心为(2,0)，∴·k＝－1，解得k＝，∴切线方程为x－y＋2＝0．
7．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1或
B．1或3
C．－2或6
D．0或4
解析：选D 由半径、半弦长、圆心到直线的距离d所形成的直角三角形，可得d＝，故＝，解得a＝4或a＝0．
8．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A．－或
B．
C．－或
D．
解析：选A 解法一：∵|PQ|＝2×1×sin
60°＝，圆心到直线的距离d＝＝，
∴＝，解得k＝±．
解法二：利用数形结合．如图所示，
∵直线y＝kx＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x2＋y2＝1上，故不妨设P(0,1)，在等腰三角形POQ中，∠POQ＝120°，∴∠QPO＝30°，故∠PAO＝60°，∴k＝，即直线PA的斜率为．同理可求得直线PB的斜率为－．
9．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6
B．4
C．3
D．2
解析：选B |PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4．
10．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．－
B．1
C．2
D．
解析：选C 易知点P(2,2)在圆上，由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2．
11．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0
D．4x＋y－3＝0
解析：选A 根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2．
12．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2，则c的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．(－2，2)
C．[－2,2]
D．(－2,2)
解析：选C 圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0整理为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心坐标为C(2,2)，半径长为3，要使圆上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2，如图可知圆心到直线l的距离应小于等于，∴d＝＝≤，解得|c|≤2，即－2≤c≤2．
二、填空题(本题共4小题，第小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．
解析：设点P(0，b,0)，
则＝
，解得b＝－．
答案：
14．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________．
解析：由(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2－4)＝0得两圆公共弦方程为ay－1＝0，又因公共弦长为2，所以圆心(0,0)到该公共弦的距离为1，即＝1．又a＞0，所以a＝1．
答案：1
15．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使|AB|最小，则直线l的方程是____________．
解析：∵(－1)2＋22－2×2－3＝－2<0，
∴点P在圆内，∴当AB⊥CP时，|AB|最小．
∵kCP＝－1，∴kl＝1，则y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0．
答案：x－y＋3＝0
16．由直线y＝x＋1上一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
解析：当直线上的点到圆心的距离最小时切线长最短，直线y＝x＋1上的点到(3,0)的最短距离为＝2，此时切线长为＝．
答案：
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知圆C的圆心坐标为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
解：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4．
18．(12分)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度；
(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．
解：(1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)．
(2)|MD|＝＝，
|MN|＝＝．
(3)∵点P在xOy平面上，∴设点P的坐标为(x，y,0)，∵P在DN上运动，
∴＝＝2，∴x＝2y，∴点P的坐标为(2y，y,0)，
∴|MP|＝
＝＝
，
∵y∈[0,1]，且0＜＜1，
∴当y＝时，|MP|取得最小值，即．
∴|MP|的最小值为．
19．(12分)设半径为3的圆C被直线l：x＋y－4＝0截得的弦AB的中点为P(3,1)，且弦长|AB|＝2，求圆C的方程．
解：由题意，设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝9，圆心到直线的距离为d＝＝，则＝．
又因为弦AB所在直线的斜率为－1，所以＝1．
联立解得或
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9或(x－2)2＋y2＝9．
20．(12分)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
解：(1)证明：∵圆C过原点O，且|OC|2＝t2＋．∴圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，∴OC垂直平分线段MN．∵kMN＝－2，∴kOC＝．
∴＝t，解得t＝2或t＝－2．
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点；
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>．
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
21．(12分)已知点(0,1)，(3＋2，0)，(3－2，0)在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
解：(1)由题意可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1．
则圆C的圆心为(3,1)，半径长为＝3．
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9．
(2)由消去y，
得2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，此时判别式Δ＝56－16a－4a2．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0，②
由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1．
22．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O．
(1)求圆C的方程；
(2)试求圆C上是否存在异于原点的Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心为C(a，b)，由OC与直线y＝x垂直，知斜率kOC＝＝－1，故b＝－a．
又|OC|＝2，即
＝2，
可解得a＝－2，b＝2或a＝2，b＝－2，
结合点C(a，b)位于第二象限知a＝－2，b＝2．
故圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8．
(2)假设存在Q(m，n)符合题意，
则(m－4)2＋n2＝16，m2＋n2≠0，(m＋2)2＋(n－2)2＝8，
解得m＝，n＝，
故圆C上存在异于原点的点Q符合题意．