高考复习专题——数列不等式与函数不等式 放缩法大全 （PPT91张）

(共91张PPT)
数列不等式与函数不等式
——如何放缩才能一步到位
数列不等式为高中数学的重点和难点，常
出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和
技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行
合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类
问题的重要原则。
熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见
的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到
的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、
对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、
等比放缩、切线放缩等等。
一、积分放缩
积分法即利用积分的几何意义进行放缩。
基本结论：
n
n-1
n
n+1
例1、求证：
证：
同理证右。
练习：
1、求证：
二、函数放缩
函数法即构造函数，利用函数单调性进行
放缩。
基本结论：
例2、求证：
证1：
证2：
练习：
解：
例3、求证：
证1：
证2：令
再证：
所以：
由
取n=2,3,…,n累加
再证：
构造函数：
例4、求证：
证：
例5、求证：
证：两个字母的不等式，可以将其中一个
字母看成变量，另一个看成常数构造函数。
例6、已知函数
（1）证明：
在
上恒成立；
（2）证明：
解（1）：
证（2）：在（1）中
练习：
1、求证：
证1：
证2：令
再证
再取n=2,3,..,n累加得证。
2、求证：
证：
3、求证：
证：
此题思想重要！
三、对偶放缩
基本结论：糖水不等式
例1、求证：
证：
例2、求证：
证：
练习：
1、求证：
证：略。
证1：先通项放缩，再考虑求和。
2、求证：
考虑右端裂成n份为
只需
分析法可证。
证2：先考虑求和，再考虑裂项放缩。
四、裂项放缩
裂项放缩是最广泛、最重要的放缩技巧。常见
于积式、分式，根式，二次等结构，基本思想是
转化成差形结构f(n)-f(n-1)累加求和解决问题。
一般思路是配积取倒凑差。
基本结论：
的列项思路：
……
往往
，加强就可以证明。
基本结论：
(一)分母整式型裂项
（1）
（2）
（3）
（4）
例1、求证：
(1)
(2)
(3)
例1、求证：
证(3)：
证(3)：
例2、求证：
证：通项分析，裂项放缩。
证：通项分析，裂项放缩。
例3、求证：
证：
左
练习：
证：
1、设
为正数列，求证：
证：
2、
求证：
(二)分母根式型裂项
（1）
（2）
（3）
即
，同理
基本结论：
例1、求证：
(1)
(2)
证（2）：
例2、求证：
证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。
为需证结构
累加得证。
例3、求证：
证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。
为需证结构
累加得证。
例4、求证：
证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。
累加得证。
练习：
证：
1、设
，求证：
例1、数列
满足：
求
的整数部分。
解：
(三)其他结构裂项
例2、
求证：
证：
累加得证。
分母出现积式是裂项的条件，分子配凑分母的差进行
调整。所以配积取倒凑差是裂项的基本思想方法。
例3、(2015重庆22)：
背景：递归数列，数列不等式。
策略：递归公式变形，迭代或裂项后累加，构造新数列，数列单调性(有界性)，放缩法。
解析(1)
解析(2)
解析(2)
例4、(2015浙江20)：
背景：递归数列，数列不等式。
策略：递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形，裂项求和，放缩法。
背景：递归数列，数列不等式。
策略：递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形，裂项求和，放缩法。
解析(1)
解析(2)
练习：
证：
1、设
求证：
证：
2、设
，求证：
证：
3、设
求证：
解(1)：
4、设
证(2)：
五、等比放缩
等比放缩适用于指数结构，当后前项不是纯
等比关系。可以考虑将后前项的比值放缩成一
个常数，转化为等比数列求和处理。
基本结论：
例1、求证：
左
（注：从第3项开始放大，否则会放得太大达不到目的）
证：
例2、求证：
所以
所以左=
（注：从第3项开始放大，否则会放得太大达不到目的）
证法1：
例2、求证：
其余同法1
证法2：
例3、
求证：
所以左
证：
例4、
求证：
证：
例5、
求证：
证法1：
证法2：
练习：
证：
1、设
，求证：
解：
2、设
六、二项式定理放缩
二项式定理将n的指数形式和幂形式结合起来，
只取展开式的有限项就建立了不等关系。
基本结论：
例1、求证：
证：
例2、
解：
例3、证明贝努利不等式
证法1：函数法
证法2：二项式定理法
但不能说明x在[-1,0]的情况。
证法3：数学归纳法
例4、求证：
证：
综上得证。
练习：
证：
1、设
求证：
证1：
2、求证：
证2：
证：即证
3、求证：
综上得证。
4、
解(1)：
证(2)：
5、(2013湖北)设n是正整数，r是正有理数
解(1)：
证(2)：