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第十一章 立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
1.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x′轴和y′轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°).
(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段,且长度不变.
平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半.
(3)连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
【思考】
(1)用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的关键是什么?
提示:关键是分别作出平面图形中与x轴和y轴平行(或重合)的线段.
(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,哪些关系不变?哪些关系有可能发生变化?
提示:不变的关系:
①一般情况下,直线的平行关系不变;
②点的共线性不变,线的共点性不变.
有可能发生变化的关系:
①长度相等的线段,在直观图中长度不一定相等;
②角的大小关系有变化,特别是垂直关系有变化.
2.用斜二测画法作立体图形直观图的步骤
(1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴).
(2)在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴.过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴,且z′轴垂直于x′轴.图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段,且长度不变.连接有关线段.
(3)擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除).
【思考】
(1)立体几何中的直观图都是用斜二测画法作出吗?
提示:不都是.只是经常用斜二测画法,如水平放置的圆,则用正等测画法(教材P58提到).
(2)画空间几何体直观图时,为了体现立体感,最重要的措施是什么?
提示:被遮挡的部分改为虚线,通过实线虚线的变化,展示前后层次,体现立体感.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在实物图中取坐标系不同,所得的直观图有可能不同.
( )
(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标
轴.
( )
(3)水平放置的三角形的直观图一定是三角形.
( )
(4)水平放置的菱形的直观图一定是菱形.
( )
提示:(1)√.实物图中的直观图与取坐标系的方法有关.
(2)√.根据斜二测画法的规则可知此说法正确.
(3)√.水平放置的n边形的直观图仍是n边形.
(4)×.利用斜二测画法画菱形的直观图时,相邻两边不一定再相等,故不一定是菱形.
2.水平放置的梯形的直观图是
( )
A.梯形
B.矩形
C.三角形
D.任意四边形
【解析】选A.斜二测画法的规则中平行性保持不变.
3.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法错误的是
( )
A.原来相交的仍相交
B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行
D.原来共点的仍共点
【解析】选B.根据斜二测画法,原来垂直的未必垂直.11.1.1
空间几何体与斜二测画法
课堂检测·素养达标
1.关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是
( )
A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x′轴,长度不变
B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y′轴,长度变为原来的
C.原图形中平行于z轴的线段,其对应线段平行于z轴,长度不变
D.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时,∠x′O′y′必须是45°
【解析】选D.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时,∠x′O′y′可以是45°,也可以是135°.
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于
( )
A.45°
B.135°
C.90°
D.45°或135°
【解析】选D.因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴,
所以∠A=90°.
在直观图中,由斜二测画法知∠x′O′y′=45°或135°,
即∠A′=45°或135°.
3.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、高分别为20
m、5
m、10
m,四棱锥的高为8
m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为
( )
A.4
cm,1
cm,2
cm,1.6
cm
B.4
cm,0.5
cm,2
cm,0.8
cm
C.4
cm,0.5
cm,2
cm,1.6
cm
D.2
cm,0.5
cm,1
cm,0.8
cm
【解析】选C.由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4
cm,1
cm,
2
cm和1.6
cm,再结合斜二测画法,可知直观图的相应尺寸应分别为4
cm,
0.5
cm,2
cm,1.6
cm.
4.已知菱形ABCD的直观图如图所示,则原菱形边长为________,面积为________.?
【解析】由斜二测画法可知原菱形的两条对角线AC=8,BD=8.所以原菱形ABCD应为正方形,其边长为4,面积S=(4)2=32.
答案:4 32
5.如图所示,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD=AO=1,△AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试画出梯形ABCD水平放置的直观图,并求直观图的面积.
【解析】在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD和下底AB的长度都不变.如图所示,
在直观图中,O′D′=OD,梯形的高D′E′=,于是,梯形A′B′C′D′的面积S=×(1+2)×=.
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空间几何体与斜二测画法
关键能力·素养形成
类型一 水平放置的平面图形的直观图的画法
【典例】画一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图.
【思维·引】依据用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤直接画.
【解析】(1)在?ABCD中,以直线AB为x轴,过D垂直于AB的直线OD为y轴,建立直角坐标系xOy,如图1.再建立斜坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°,如图2.
(2)在x′轴上取O′A′=OA,取O′B′=OB,在y′轴上取O′D′=OD,过D′作D′C′∥x′轴,且D′C′=DC,如图2.
(3)连线:连接B′C′,A′D′,如图2.擦去作图过程中的辅助线,最后得到的四边形A′B′C′D′即为一个锐角是45°的平行四边形ABCD的直观图.
【内化·悟】
1.在?ABCD中,建立直角坐标系xOy时,原点可以选在B点吗?选在AB的中点可以吗?
提示:可以选在B点,也可以选在AB的中点.
2.在斜二测画法中建立直角坐标系xOy的原则是什么?
提示:建立直角坐标系xOy的原则是使得平面图形中尽可能多的顶点在坐标轴上,便于画点.
【类题·通】
画平面图形的直观图的关键点及对策
(1)关键点:画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.
(2)对策:首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
【习练·破】
画如图所示水平放置的直角梯形的直观图.
【解析】(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.作出相应的x′轴和y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图①②所示.
(2)在x′轴上截取O′B′=OB,在y′轴上截取O′D′=OD,过点D′作x′轴的平行线l,在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′=DC.连接B′C′,如图②.
(3)擦去作图过程中的辅助线,所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图.如图③.
类型二 立体图形直观图的画法
【典例】用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2
cm,3
cm,高为2
cm.
世纪
【思维·引】先作四棱台的下底面,再依据四棱台的高确定上底面的位置,并画出其直观图,最后连线成图.
【解析】画法:(1)画轴.画x′轴、y′轴、z′轴,三轴相交于点O,使∠x′Oy′=45°,∠x′Oz′=90°.
(2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3
cm;在y′轴上取线段PQ,使PQ=1.5
cm.分别过点M和点N作y′轴的平行线,过点P和Q作x′轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD即为四棱台的下底面.
(3)画上底面.在z′轴上取一点O′,使OO′=2
cm,以O′为原点画直线a和直线b,使直线a∥x′轴,直线b∥y′轴,在平面aO′b内以O′为中心画水平放置的边长为2
cm的正方形的直观图A′B′C′D′.
(4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图②).
【内化·悟】
1.棱台的上底面中心与下底面中心的连线与棱台的高有何关系?
提示:棱台的上底面中心与下底面中心的连线就是棱台的高.
2.在画棱台的直观图时,棱台上底面用哪个轴确定?
提示:画棱台的直观图时,棱台上底面用z轴来确定.
【类题·通】
简单几何体直观图的画法
(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面.
(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.
【习练·破】
画棱长为2
cm的正方体的直观图.
【解析】(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD,使∠BAD=45°,AB=2
cm,AD=
1
cm.
(2)过点A作z′轴,使∠BAz′=90°,
分别过点A,B,C,D,
沿z′轴的正方向取AA1=BB1=CC1=DD1=2
cm.
(3)连接A1B1,B1C1,C1D1,D1A1如图①,
擦去辅助线,把被遮住的线改为虚线,得到的图形如图②就是所求的正方体的直观图.
【加练·固】
一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的底面重合,圆柱的底面直径为3
cm,高(两底面圆心连线的长度)为4
cm,圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3
cm,画出此几何体的直观图.
【解析】(1)画轴.如图①所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.
(2)画圆柱的下底面.在x轴上取A,B两点,使AB=3
cm,且OA=OB,选择椭圆模板中适当的椭圆,使它为圆柱的下底面,并过A,B两点.
(3)在Oz上取点O′,使OO′=4
cm,过点O′作平行于Ox的O′x′,类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面.
(4)画圆锥的顶点.在Oz上取点P,使PO′=3
cm.
(5)成图.连线A′A,B′B,PA′,PB′,整理(去掉辅助线,将被遮挡部分改为虚线)得到此几何体的直观图,如图②所示.
类型三 直观图的还原与计算问题
角度1 直观图的还原问题
【典例】利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图,得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图),则原图形的形状是
世纪( )
【思维·引】先考虑坐标轴之间的关系,再考虑长度之间的关系.
【解析】选A.因为直观图中正方形的对角线为,所以在平面图形中平行四边形的高为2,只有A项满足条件.
角度2 与直观图有关的计算问题
【典例】1.已知正三角形ABC的边长为2,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________.?
2.如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图,则△AOB的面积是__________.?
【思维·引】1.依据斜二测画法,看一看底与高谁变了,谁没变.
2.先确定△AOB的底边OB的长,再确定底边OB的高线长,进而求出面积.
【解析】1.如图,图①,图②所示的分别是实际图形和直观图.从图②可知,A′B′=AB=2,
O′C′=OC=,C′D′=O′C′sin
45°=×=.
所以S△A′B′C′=A′B′·C′D′=×2×=.
答案:
2.由题干图易知△AOB中,底边OB=4,底边OB的高线长为8,所以面积S=×4×8=16.
答案:16
【类题·通】
1.直观图的还原问题的关键
直观图的还原问题的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形,其依据就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x轴的线段的长度不变,而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍.
2.求直观图的面积的关键
求直观图的面积的关键是依据斜二测画法,求出相应的直观图的底边和高.在原来实际图形中的高线,在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段,以此为依据求出直观图中的高线即可.
【习练·破】
1.已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2
cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3
cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为
( )
A.2
cm
B.3
cm
C.2.5
cm
D.5
cm
【解析】选D.因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直,现在距离为5
cm,而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变,仍为5
cm.
2.如图,平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图,若O′P′=3,
O′R′=1,则原四边形OPQR中OR的长为________,原四边形OPQR的周长为________.?
【解析】由斜二测画法知,原四边形OPQR是矩形,且OP=O′P′=3,OR=2O′R′=2.
所以,原四边形OPQR的周长为2×(3+2)=10.
答案:2 10
【加练·固】
1.如图,△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图,B′在x′轴上,A′O′和x′轴垂直,且A′O′=2,则△AOB的边OB上的高为________.?
【解析】由直观图与原图形中与x轴平行或重合的线段长度不变,且S原=
2S直观,
设OB上的高为h,则OB·h=2××2O′B′.
因为OB=O′B′,所以h=4.
答案:4
2.如图所示,水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′,已知A′C′=6,B′C′=4,则AB边的实际长度是________.?
【解析】在原图中AC=6,BC=4×2=8,∠ACB=90°,
所以AB==10.
答案:10
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