(共23张PPT)
二次函数
22
22.1.4.2
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
课时目标
1.经历用根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数解析式的过程，通过分析、对比，掌握待定系数法。
2.培养计算能力以及准确选择二次函数的解析式的能力。
探究新知
【问题1】请说出抛物线
y=
2x?+3，
y=
3(x-1)?，
y=
-(x+2)?-
4
的开口方向、对称轴和顶点坐标。
探究新知
【问题2】你知道抛物线
y=
x?-6x+21的
开口方向，对称轴和顶点坐标吗？
能直接写出对称轴和顶点坐标吗？
探究新知
y=x2
y=ax2(a≠0)
y=ax2+k(a≠0)
y=a(x－h)2(a≠0)
y=a(x－h)2+k(a≠0)
y=ax2+bx+c(a≠0)
目标
几何变换
几何变换
特殊到一般
探究新知
【问题3】你能把二次函数y=
x?-6x+21
化成
y=a(x-h)?+k
的形式吗？
并指出它的图象的对称轴和顶点坐标。
配方
探究新知
【问题4】
用上面方法讨论抛物线
y=-2x?-4x+1
的开口方向，对称轴，顶点坐标.
探究新知
∴抛物线
y=ax?+bx+c
的对称轴是
顶点坐标是
解：∵y=ax?+bx+c
抛物线y=ax?+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？怎么做？
探究新知
探究新知
二次函数y=ax?+bx+c的图像如图所示，则（
）
A.a＞0，b＞0，c＞0
B.a＞0，b＜0，c＜0
C.
a＜0，b＜0，c＜0
D.
a＞0，b＞0，c＜0
D
顶点的纵坐标的正负性决定顶点在x轴的上（或下）方
在一般形式y=ax?+bx+c，抛物线与y轴的交点(0,c)
字母c的正负性决定了抛物线与y轴交于正（负）半轴
探究新知
（2）当a，b，c比较复杂时，可直接用公式来确定：
抛物线y=ax?+bx+c的对称轴为
，顶点坐标
【1】形如y=ax?+bx+c（a≠0）的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：
（1）当二次函数y=ax?+bx+c容易配方时，可采用配方方法来确定顶点坐标及对称轴方程；
探究新知
【2】解决二次函数y=ax?+bx+c的问题时，应先将它转化为y=a（x-h）?+k形式后，进行研究为好。
例如：平移，图象与性质。
探究新知
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）
列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，
就可以写出二次函数的解析式。
探究新知
顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数，a≠0).
若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，
通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k.
特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可设函数的解析式为y=ax2
当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函数的解析式为y=ax2+k.
当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函数的解析式为y=a(x-h)2
探究新知
所以设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1)
[例1]已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
又∵
点M(
0,1
)在抛物线上
∴
a(0+1)(0-1)=1
解得：
a=-1
故所求的抛物线解析式为
y=-
(x＋1)(x-1)
即：y=－x
2+1
解：因为抛物线与x轴的交点为
A(－1，0)，B(1，0)
，
探究新知
交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a≠0）
当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，二次函数y=ax2+bx+c
可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式。
探究新知
交点式y=a(x-x1)(x-x2).
x1和x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，
这两个交点关于抛物线的对称轴对称，
则直线
就是抛物线的对称轴.
1.把二次函数
用配方法化成y=a（x-h）?+k的形式为
巩固练习
巩固练习
根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式：
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1），B（1,0），C（-1,2）；
解析式为：y=2x?-x-1
（2）二次函数的图象顶点为（3，-2），且图象与x轴两个交点间的距离为4；
（3）抛物线的对称轴为直线x=2，且经过点（1,4）和（5,0）；
巩固练习
【3】有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知
抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
可得方程组
评价：通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定函数的解析式．
过程较繁杂，
巩固练习
设抛物线为y=a(x-20)2＋16
解：
根据题意可知∵
点(0，0)在抛物线上，
评价：通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，
方法比较灵活
∴
所求抛物线解析式为
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
巩固练习
设抛物线为y=ax(x-40
）
解：
根据题意可知
∵
点(20，16)在抛物线上，
选用两根式求解，方法灵活巧妙，过程也较简捷
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
1.解决二次函数y=ax?+bx+c的问题时，
应先将它转化为y=a（x-h）?+k形式后，进行研究为好。
2.求函数解析式，应灵活运用一般式或顶点式来求解。
课堂小结(共16张PPT)
二次函数
22
22.1.4.1
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
课时目标
1.经历用描点法画出y=ax2
+bx
+c
的图像过程，通过分析、对比，掌握抛物线y=ax2
+bx
+c的有关性质。
2.能用配方法求二次函数一般式y=ax2
+bx
+c的对称轴及顶点。
探究新知
说出二次函数
图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.
它是由
y
=
-
4x2怎样平移得到的？
探究新知
怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?
配方化成顶点式
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
探究新知
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
29
14
5
2
5
14
29
…
列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
∵a
=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x
=1;顶点坐标:(1,2).
再根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标.
探究新知
x=1
●
(1，2)
通过图象你能看出当x取何值时y随x的增大而减小，当x取何值时，y随x的增大而增大吗？
当x<1时y随x的增大而减小;当x>1时，y随x的增大而增大.
在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上，同学们，你想到了什么？
探究新知
画出y＝
x
2－6x＋21的图象.
配方得：
y=
x2－6x＋21
＝
(x－6)2＋3
由此可知，抛物线
的顶点
是点（6，3），对称轴是直线x＝6.
y＝
x2－6x＋21
探究新知
O
y
x
5
10
5
10
20
15
x＝6
·
(6，3)
·
（8，5）
·
（4，5）
·
（0，21）
·
（12，21）
y＝
(x－6)2＋3
y＝
x2－6x＋21
怎样平移抛物线
y＝
x2得到抛物线
y＝
(x－6)2＋3
怎样画二次函数
y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象？
当_____时y随x的增大而增大
当_____时y随x的增大而减小
x>6
x<6
探究新知
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简
一般地,对于二次函数y=ax?+bx+c,
我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
你能把函数y=ax?+bx+c通过配方法化成顶点式吗？
巩固练习
对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5）
对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1）
对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
巩固练习
请你总结函数y=ax?+bx+c(a≠0)的图象和性质
想一想，函数y=ax?+bx+c和y=ax2的
图象之间的关系是什么？
巩固练习
二次函数y=ax?+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
y=ax?+bx+c(a>0)
y=ax?+bx+c(a<0))
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
巩固练习
【相同点】
(1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最大(或小)值.
(4)a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小,在对称轴右侧，y都随
x的增大而增大.
a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大，在对称轴右侧，y都随
x的增大而减小
.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax?的关系
巩固练习
(1)位置不同
(2)顶点不同:分别是_______________和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是_________________和y轴.
(4)最值不同:分别是_____________和0.
不同点:
巩固练习
【3】联系:
y=a(x-h)?+k(a≠0)
的图象可以看成y=ax?的图象先沿
x轴整体左(右)平移|____|个单位(当___>0时,向右平移;当___
<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|_____|个单位
(当______>0时向上平移;当_____<0时,向下平移)得到的.
课堂小结
1.能熟练求二次函数的最值,
并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性.
2.能根据条件确定二次函数的关系式及顶点坐标、对称轴.
