(共18张PPT)
二次函数
22
22.3.2
二次函数与利润等代数问题
课时目标
1.经历根据具体问题的数量关系，探索建立二次函数的模型，求解抛物线型的建筑物的解析式的过程，培养利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
2.经历用待定系数法求二次函数的解析式的过程，进一步培养观察、分析、概括和转化的能力以及准确而迅速的运算能力。
探究新知
1、函数S=x
（30
+x
）中，当x
=_____时，
S有最大值是
。
2、（1）小王以每件120元的价格进回20件衣服，又以
每件160元的价格全部卖出，则这次销售活动小王盈利
元。
（2）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？
探究新知
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
探究新知
想一想
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？
哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
探究新知
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖
件，实际卖出
件,每件利润为
元，因此，所得利润为 元.
10x
(300-10x)
(60+x-40)
（60+x-40）(300-10x)
y=(60+x-40)(300-10x)
(0≤X≤30)
即y=-10（x-5）?+6250
∴当x=5时，y最大值=6250
怎样确定x的取值范围
探究新知
可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
也可以这样求极值
探究新知
在降价的情况下，最大利润是多少？
请你参考（1）的过程得出答案。
解：设降价a元时利润最大，则每星期可多卖20a件，
实际卖出（300+20a)件，每件利润为（60-40-a）元，
因此，得利润b=(300+20a)(60-40-a)
=-20(a?-5a+6.25)+6150
/
=-20（a-2.5）?+6150
∴a=2.5时，b极大值=6150
（0＜a＜20）
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,
你知道应该如何定价能使利润最大了吗?
探究新知
（1）依据变量之间的关系列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用顶点公式或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
1.某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个.
(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，
这种篮球每月的销售量是
个(用x的代数式表示)
(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?
如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,
此时篮球的售价应定为多少元?
x+10
500?10x
8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元.
巩固练习
巩固练习
(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?
如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,
此时篮球的售价应定为多少元?
8000元不是每月最大利润，
大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元.
巩固练习
【2】某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.
（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）
巩固练习
解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）,
y=－100x2+600x+5500
（0＜x≤11
）
（2）y=－100x2+600x+5500
（0＜x≤11
）
配方得y=－100（x－3）2+6400
当x=3时，y的最大值是6400元.
即降价为3元时，利润最大.
所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
答：销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
巩固练习
【3】春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：
（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？
巩固练习
（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且
能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之
间的函数关系式？（当天收入=日销售额-日捕捞成本）
试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天
y取得最大值，最大值是多少？
巩固练习
解：（1）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少10kg；
（2）由题意，得
y∷20（950）·10x）··(5
·
)(950··10x)F
2x?∶40x∶14250
x
5
巩固练习
（3）∵-2＜0，y=-2x2+40
x+14250=
-2（x-10）2
+
14450，
又∵1
≤
x
≤
20且
x
为整数，
∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；
当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；
当x=10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450．
课堂小结
①解决实际问题需注意什么？
②利用二次函数还可以解决哪些实际问题，
请大家注意收集、分类，看它们各自有何特点。
你学到了哪些知识？
你学到了哪些方法？
你还有哪些困惑？
如何利用二次函数最大（小）值来解决实际问题。
思想方法是建立函数关系，
用函数的观点、思想去分析实际问题。(共13张PPT)
二次函数
22
22.3.1
二次函数与最大面积问题
课时目标
1.经历探索并建立二次函数的模型的过程，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
2.探究并学会求二次函数在实际问题中的最大值或最小值。
3.体会二次函数是最优化问题的重要数学模型，感受教学的应用价值。
探究新知
1.
二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是
，顶点坐标是
。当x=
时，函数有最
值，是
。
2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是
，顶点坐标是
.当x=
时，函数有最
值，是
。
x=-4
(-4
，-1)
-4
大
-1
x=2
(2
，1)
2
小
1
探究新知
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度
h（单位：m）与小球的运动时间
t（单位：s）之间的关系式是h=
30t
-
5t
2
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
创设情境，引出问题
小球运动的时间是
3
s
时，小球最高．小球运动中的最大高度是
45
m．
探究新知
由于抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的顶点是最低（高）点，
当
时，二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
有最小（大）
值。
如何求出二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的最小（大）值？
探究新知
整理后得
用总长为
60
m
的篱笆围成矩形场地，矩形面积
S
随矩形一边长
l
的变化而变化．当
l
是多少米时，场地的面积
S
最大？
解：
∴ 当
时，
S
有最大值为
．
当
l
是
15
m
时，场地的面积
S
最大．
（0＜l＜30）．
（ ）
（
）
探究新知
已知直角三角形的两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
解：设其中一条直角边的长为x，另一条直角边为（8-x）
则直角三角形的面积:
对称轴：x=4，
顶点坐标：（4,8）
当两直角边长都为：4m时，
面积最大：225m?.
=
探究新知
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长
25
m）的空地上修建一个矩形绿化带
ABCD，绿化带一边靠墙，
另三边用总长为
40
m
的栅栏围住
（如下图）．设绿化带的
BC
边长为
x
m，绿化带的面积为ym2．
（1）求
y
与
x
之间的函数关系式，
并写出自变量
x
的取值范围.
（2）当
x
为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
D
C
B
A
25
m
探究新知
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，
围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，
设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
探究新知
解:
(1)
∵
AB为x米、篱笆长为24米
＝－4x2＋24
x
（0A
B
C
D
∴
花圃宽为（24－x）米
∴
S＝
x（24－4x）
探究新知
(3)
∵墙的可用长度为8米
∴当x＝4cm时，S最大值＝32
平方米
∴
0<24－4x
≤8
4≤x<6
A
B
C
D
(2)当x＝
时，S最大值＝
＝36（平方米）
（1）
如何求二次函数的最小（大）值，
并利用其解决实际问题？
（2）
在解决问题的过程中应注意哪些问题？
你学到了哪些思考问题的方法？
课堂小结
课堂小结
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，所以当
时，
二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值
同时要考虑自变量x的取值范围.(共14张PPT)
二次函数
22
22.3.3
用二次函数解决实际问题
课时目标
1.经历根据具体问题的数量关系，探索建立二次函数的模型，求解抛物线型的建筑物的解析式的过程，培养利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
2.经历用待定系数法求二次函数的解析式的过程，进一步培养观察、分析、概括和转化的能力以及准确而迅速的运算能力。
探究新知
图中是抛物线形拱桥，当水面在l
时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
4
2
l
探究新知
可设这条抛物线表示的二次函数为y
=ax2
-2
-1
2
1
-1
-2
-3
1
这条抛物线表示的二次函数为
如图建立如下直角坐标系
由抛物线经过点（2，－2），可得
探究新知
当水面下降1m时，
水面的纵坐标为y
=
－3.
请你根据上面的函数表达
式求出这时的水面宽度．
水面下降1cm，
水面宽度增加____________m.
解：
水面的宽度
m
探究新知
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，
宽是2m，抛物线可以用
表示.
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
x
y
－1
－3
－1
－3
1
3
1
3
O
探究新知
（1）卡车可以通过.
提示：当x=±1时，y
=3.75,
3.75＋2>4.
（2）卡车可以通过.
提示：当x=±2时，y
=3,
3＋2>4.
x
y
－1
－3
－1
－3
1
3
1
3
O
探究新知
建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
1.根据题意建立适当的
直角坐标系；
2.把已知条件转化为点的坐标；
3.合理设出函数解析式；
4.利用待定系数法求出函数解析式；
5.根据函数解析式进一步分析，判断并进行有关的计算；
探究新知
（1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；
（2）设正常水位时桥下的水深为
2
m，为保证过往船只顺利航行，
桥下水面的宽度不得小于
18
m．求水深超过多少
m
时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
O
A
C
D
B
y
x
20
m
h
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20m，
拱顶距离水面
4m．
探究新知
【例2】如图，悬挂桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可以近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接．若两端主塔之间水平距离为900m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.
（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，求这条抛物线的函数解析式；
（2）计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长．
探究新知
（1）若以桥面所在直线为x轴，
抛物线的对称轴为y轴，求这条抛物线的函数解析式；
（2）计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长．
巩固练习
巩固练习
巩固练习
某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4
m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5
m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(
)
A.50
m
B.100
m
C.160
m
D.200
m
C
