人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径课件（42张ppt）

(共42张PPT)
圆
24
24.1.2
垂直于弦的直径
课时目标
1.经历探索圆的轴对称及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
2.理解并应用垂径定理进行有关计算。
3.通过观察、动手操作，学会发现、解决问题，锻炼逻辑思维能力，体验从特殊到一般的数学思想方法。
探究新知
圆是一种基本的几何图形，圆形物体在生活中随处可见.
圆也是一种和谐、美丽的图形，
无论从哪个角度看，它都具有同一形状.
十五的满月、圆圆的月饼都象征着圆满、团圆、和谐.
古希腊的数学家毕达哥拉斯认为：
“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆”.
探究新知
过已知点A、B
作圆，可以作无数个圆．
圆心在线段AB的垂直平分线上．
各圆心的分布有什么特点?
与线段AB有什么关系？
A
B
探究新知
2.你能找出多少条对称轴？你能用什么方法解决上述问题？
1.圆是轴对称图形吗?
如果是，它的对称轴是什么？
它有无数条对称轴，可用对折方法解决上述问题.
B
探究新知
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
圆有哪些对称轴？
O
探究新知
O
A
B
C
D
E
是轴对称图形
已知：在⊙O
中，CD
是直径，
AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．
左图是轴对称图形吗？
探究新知
证明：连结OA、OB，则OA＝OB．
∵
垂直于弦AB的直径CD所在的直线
既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙
O的对称轴．
∴
当把圆沿着直径CD折叠时，
CD两侧的两个半圆重合，
A点和B点重合，
AE和BE重合，
AC、AD分别和BC、BD重合．
∴
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD.
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⌒
D
O
A
B
E
C
已知：在⊙O
中，CD是直径，AB
是弦，CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．
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⌒
探究新知
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
D
O
A
B
E
C
垂径定理
探究新知
AE＝BE
AC＝BC
AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
CD是直径，
AB是弦，
CD⊥AB
①直径过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
D
O
A
B
E
C
将题设与结论调换过来，还成立吗？
这五条进行排列组合，会出现多少个命题？
探究新知
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
D
O
A
B
E
C
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB.
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC.
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⌒
探究新知
一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．
O
A
B
N
C
D
为什么强调这里的弦不是直径？
探究新知
（1）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，
并且平分弦所对的另一条弧．
已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC
求证：CD平分AB，CD
⊥AB，AD＝BD
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⌒
D
O
A
B
E
C
①
直径过圆心
④
平分弦所对优弧
③
平分弦
②
垂直于弦
⑤
平分弦所对的劣弧
探究新知
①
直径过圆心
⑤
平分弦所对的劣弧
③
平分弦
④
平分弦所对优弧
②
垂直于弦
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，
并且平分弦所对的另一条弧．
已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
求证：CD平分AB，CD
⊥AB，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
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D
O
A
B
E
C
探究新知
②
垂直于弦
③
平分弦
①
直径过圆心
④
平分弦所对优弧
⑤
平分弦所对的劣弧
（3）弦的垂直平分线
经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
已知：AB是弦，CD平分AB，CD
⊥AB，
求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC
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D
O
A
B
E
C
探究新知
②
垂直于弦
④
平分弦所对优弧
①
直径过圆心
③
平分弦
⑤
平分弦所对的劣弧
②
垂直于弦
⑤
平分弦所对的劣弧
①
直径过圆心
③
平分弦
④
平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，
并且平分弦和所对的另一条弧．
③
平分弦
④
平分弦所对优弧
①
直径过圆心
②
垂直于弦
⑤
平分弦所对的劣弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，
垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧
．
③
平分弦
⑤
平分弦所对的劣弧
①
直径过圆心
②
垂直于弦
④
平分弦所对优弧
探究新知
④
平分弦所对优弧
⑤
平分弦所对的劣弧
①
直径过圆心
②
垂直于弦
③
平分弦
（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦．
探究新知
探究新知
∴AM＝BM，
CM＝DM
⌒
⌒
⌒
⌒
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
O
A
B
N
C
D
证明：作直径MN
垂直于弦AB
∵
AB∥CD
∴
直径MN也垂直于弦CD
∴AM－CM
＝BM－DM
⌒
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⌒
⌒
⌒
即
AC＝BD
探究新知
A
B
C
D
两条弦在圆心的同侧
两条弦在圆心的两侧
垂径定理的推论2有这两种情况：
O
O
A
B
C
D
C
D
A
B
E
已知：AB．
求作：AB
的中点．
⌒
⌒
点E就是所求AB的中点．
⌒
作法：
1．
连结AB．
2．
作AB的垂直平分线
CD，交AB于点E．
⌒
探究新知
探究新知
A
B
C
D
E
已知：AB．
求作：AB的四等分点．
⌒
⌒
作法：
1．
连结AB．
3．
连结AC．
2．
作AB的垂直平分线
，交AB于点E．
⌒
4．
作AC
的垂直平分线
，交AC于点F．
⌒
5．
点G
同理．
点D、C、E就是AB的四等分点．
⌒
探究新知
A
B
C
作AC的垂直平分线
作BC的垂直平分线
等分弧时一定要作
弧所夹弦的垂直平分线．
×
这样做对吗？
探究新知
C
A
B
O
你能确定AB的圆心吗？
⌒
作法：
1．
连结AB．
2．
作AB的垂直平分线
，交AB于点C．
⌒
3．
作AC、BC的垂直平分线．
4．
三条垂直平分线交于一点O．
点O就是AB的圆心．
⌒
探究新知
探究新知
A
B
C
m
n
O
作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．
作法：
依据：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
探究新知
垂径定理三角形
d
+
h
=
r
d
h
a
r
有哪些等量关系？
在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其他两个量．
探究新知
你知道赵州桥吗?它是1
400多年前我国隋代建造的石拱桥，
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37
m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23
m．
垂径定理的应用
巩固练习
37m
7.23
m
用
弧AB表示主桥拱，
设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．
巩固练习
A
B
O
C
D
R
18.7
R-7.2
经过圆心O
作OC⊥AB
于D，
OC
交AB
于点D，连接AO
AB=37，CD=7.23，
AD=
AB
=
×37=18.5,
OD=OC－CD=R－7.23
∵∠ADO=90
即
R
2=18.52+（R－7.23）2
∴OA
2=AD
2+OD
2
解得：R≈27.3
归纳总结
圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线
都是它的对称轴．
O
归纳总结
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理
D
O
A
B
E
C
归纳总结
条件
结论
命题
①③
②④⑤
①④
②③⑤
①⑤
②③④
②③
①④⑤
②④
①③⑤
②⑤
①③④
③④
①②⑤
③⑤
①②④
④⑤
①②③
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
垂
径
定
理
的
推
论
归纳总结
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，
连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．
解决有关弦的问题
巩固练习
1．
判断
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧（
）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧（
）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦．
（
）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（
）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（
）
√
?
?
?
√
巩固练习
2．
在⊙O
中，弦AB的长为8cm，
圆心O
到AB
的距离为3cm，求⊙O
的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm．
在直角三角形AOE中，
巩固练习
3.在⊙O
中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，
OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB
∴
AE=AD
∴
四边形ADOE为正方形．
巩固练习
4．在直径是20cm的⊙O中，
的度数是60°，
那么弦AB的弦心距是________．
cm
巩固练习
5．弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为________．　　　　　　
cm
巩固练习
6．
已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，那么过P点的最短的弦等于____________．
cm
巩固练习
7.在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
E
．
A
C
D
B
O
课堂小结
这节课你有什么收获？