人教版九年级数学上册 24.1.4 圆周角课件（24张ppt）

(共24张PPT)
圆
24
24.1.4
圆周角
课时目标
1.理解圆周角的概念。
2.掌握圆周角的定理及其推论、圆内接四边形的性质。
3.通过引导，体会以圆周角与圆心角的位置关系的不同，分情况对圆周角和圆心角的关系进行研究，从中体会分类讨论思想和由一般到特殊的思想。
复习回顾
1.什么叫圆心角?
.
O
A
B
顶点在圆心的角叫圆心角
2.
圆心角、弧、弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余三个量都分别相等.
探究新知
.
O
A
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O
相交于点C
?观察得到的∠ACB有什么特征？
C
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角.
B
探究新知
在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC
)有关.
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
●O
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
探究新知
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？
为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
探究新知
圆周角和圆心角的关系
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
（1）
折痕是圆周角的一条边，
（2）
折痕在圆周角的内部，
（3）
折痕在圆周角的外部．
探究新知
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
探究新知
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即∠ABC
=
∠AOC.
探究新知
2.当圆心(O
)在圆周角(∠ABC
)的内部时,
圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
老师提示:能否转化为1的情况?
过点B
作直径BD.由1可得:
●O
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它
所对的圆心角的一半.
A
B
C
D
∠ABD
=
∠AOD,∠CBD
=
∠COD,
●O
A
B
C
∴
∠ABC
=
∠AOC.
圆周角和圆心角的关系
探究新知
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
3.当圆心(O
)在圆周角(∠ABC
)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
老师提示:能否也转化为1的情况?
过点B
作直径BD.由1可得:
●O
∴
∠ABC
=
∠AOC.
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
∠ABD
=
∠AOD,∠CBD
=
∠COD,
A
B
C
●O
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
探究新知
圆心角定理及推广定理：
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、
两条弦中如果有一组量相等，它们所
对应的其余各组量也相等（P84）
即：同圆或等圆中
∠AOB＝∠A′OB′
知
1
得
2
O
α
A
B
A1
B1
α
巩固练习
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即∠ABC
=
∠AOC.
探究新知
如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？
它们有何共同点？∠ADB与∠ACB有什么关系？
同弧
(等弧)
所对的圆周角相等.
都等于这条弧所对的圆心角的一半.
思考:
在同圆或等圆中
相等的圆周角所对的弧相等吗?
圆周角定理
巩固练习
A
B
C
D
在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
则
∠
D=∠A
∴AB∥CD
如图,
若
AC
=
BD
⌒
⌒
巩固练习
1.如图,在⊙O
中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
●O
B
A
C
A
B
O
C
如图,AB是直径,则∠ACB=_____度.
90
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90度的圆周角所对的弦是直径.
解:
∠A
=
∠BOC
=
25°.
巩固练习
·
A
B
C1
O
C2
C3
定
理
在同圆或等圆中，
同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推
论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径．
·
A
B
C
D
E
O
巩固练习
1.圆周角的两个特征：（1）
，
（2）
.
2.在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
.
3.如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，
∠BCD是圆周角，若∠BCD=25°，则∠AOD=
.
两边都与圆相交
一半
130°
顶点在圆上
巩固练习
例2
如图，⊙O
直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB
的平分线交⊙O
于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
·
A
B
C
D
O
解：∵AB是直径，
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
10
6
）
）
8
∴
∠ACD=
∠BCD
巩固练习
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
∠1
=
∠4
∠5
=
∠8
∠2
=
∠7
∠3
=
∠6
方法点拔：由同弧来找相等的圆周角
巩固练习
已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数.
O
A
B
圆心角为60度
圆周角为30度
或
150
度.
圆内接四边形的对角互补
巩固练习
如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
D
A
B
C
O
O
O
·
方法一
方法二
方法三
方法四
A
B
巩固练习
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
·
A
B
C
O
已知：△ABC
，CO为AB边上的中线，
求证：
△ABC
为直角三角形.
证明：
以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
∵AB为直径,
且CO=
AB
∴
△ABC
为直角三角形.
∴
∠ACB=
90°．
且CO=
AB
课堂小结
1、圆周角的定义；
2、圆周角定理及证明；
3、圆周角定理及推论的运用.