(共25张PPT)
圆
24
24.2.2.3
切线长定理及三角形的内切圆
课时目标
1.理解切线的判定定理，切线的性质定理，
并解决一些实际问题。
2.理解切线长定理；了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用。
3.经历探索切线的判定定理，切线的性质定理，切线长定理的过程，体会三角形内切圆作图，从而提炼相关的数学知识，渗透数形结合的思想。
探究新知
1、如下左图，点A在⊙O上，P是⊙O
外一点，∠OAP
是直角，PA是⊙O
的切线吗？为什么？
2、如何过⊙O
外一点P
作⊙O
的切线，这样的切线能作几条？
探究新知
如右图所示
切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点
之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
切线是直线，切线长是线段的长.
探究新知
在下图中，PA,PB是⊙O
的两条切线，切点分别是A,B，沿直线OP
将图形对折，你发现了什么？
1、图形是______对称图形，
该图形关于_________
对称；
2、PA=
________
，_______=∠BPO.
轴
直线OP
PB
∠APO
你能从理论上说明你的结论吗?请你尝试证明一下好吗？
探究新知
证明：连接OA、OB.
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴PA⊥OA,PB⊥OB,
即△POA、△POB
是直角三角形.
又∵OA=OB、OP=OP,
∴△POA
≌△POB,
∴PA=PB、∠APO=∠BPO.
已知如图，P
是⊙O外一点，连接PO,PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B.求证PA=PB,∠APO=∠BPO.
探究新知
如右图所示
切线长定理：从圆外一点引圆的两条
切线，它们的切线长相等，
这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切⊙O
于A、B
PA
=
PB
∠1=∠2
符号表示为
1
2
巩固练习
如图，PA、PB是⊙O
的两条切线，切点分别是A、B，
直线OP
交⊙O
于点D、E，交AB
于点C.
（1）AD
与BD是否相等？为什么？
（2）OP
与AB有怎样的关系？为什么？
⌒
⌒
（2）∵PA、PB是⊙O的切线，
A、B为切点,∴PA=PB.
又∵∠APO=∠BPO,
∴OP⊥AB，AC=BC,
即OP垂直平分线段AB.
解：（1）
AD
=
BD,
∵PA、PB是⊙O
的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°
,∠APO=∠BPO,
∴∠AOD=∠BOD,
∴AD
=
BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
巩固练习
广东省怀集县梁村镇中心初级中学
周恒
例2
如图，四边形ABCD
的边AB、BC、CD、DA
，和
圆⊙O分别相切于点L、M、N、P
.求证：AD+BC=AB+CD.
D
L
M
N
A
B
C
O
P
证明：由切线长定理得
∴AL=AP，LB=MB,
NC=MC，DN=DP,
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP.
即
AB+CD=AD+BC
.
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
巩固练习
探究新知
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
A
P
O
。
B
E
C
D
∵PA、PB分别切⊙O于A、B,
∴PA
=
PB
,∠OPA=∠OPB,
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
圆的外切四边形的两组对边的和相等
探究新知
P
B
C
O
M
（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=
°
.
60
（4）OP交⊙O于M，则
，ＡＢ
ＯＰ.
ＡＭ＝ＢＭ
⌒
⌒
⊥
（3）若∠P=70°，则∠AOB=
°
.
110
（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA.
OA=3
巩固练习
。
P
B
A
O
反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。
（3）连结圆心和圆外一点
（2）连结两切点
（1）分别连结圆心和切点
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据.必须掌握并能灵活应用.
巩固练习
练习1：已知：P
为⊙O
外一点，
PA、PB为⊙O
的切线
A、B
为切点，BC
是直径.
求证：AC∥OP.
P
C
A
O
B
D
巩固练习
练习2.（口答）如图所示PA、PB分别切
圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于
C、D，已知PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2)
如果∠P=46°,求∠COD的度数.
C
·
O
P
B
D
A
E
巩固练习
如图，AB是⊙O的弦，BD切⊙O于点B，
OD⊥OA，与AB相交于点C，求证：BD=CD。
∴∠OBA+∠3=90°
∵OB=OA
∴∠OBA=∠A
∴∠3+∠A=90°
解：连接OB，则OB⊥BD
又∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴BD=CD
又∵OD⊥OA
∴∠1+∠A=90°
∴∠1=∠3
知识回顾
O
1.由定理可知：
经过三角形三个顶点可以作一个圆.
2.经过三角形各顶点的圆叫做
三角形的外接圆.
3.三角形外接圆的圆心叫做
三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
A
B
C
三角形与圆的位置关系（回顾）
巩固练习
从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?
A
B
C
A
B
C
┓
┗
┗
┓
I●
●
●
●
●
┓
┗
┗
┓
┗
┗
┓
┗
┗
I●
┓
●
上右图就是三角形的内切圆作法：
D
（1）作∠ABC、∠ACB的平分线BM
和CN，交点为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I，
⊙I即为所求.
M
N
巩固练习
这样的圆可以作出几个呢?为什么?
∵直线BE和CF
只有一个交点I,并且点I
到△ABC
三边的距离相等(为什么?),
∴和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.
A
B
C
I●
┓
●
E
F
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.
巩固练习
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?
提示:先确定圆心和半径,尺规作图要保留作图痕迹.
A
B
C
A
B
C
●
●
●
C
A
B
┐
例2
如图，△ABC
的内切圆⊙O
与BC,CA,AB
分别相切于点D,E,F，且AB=9，BC=14,CA=13,求AF、BD、CE
的长？
巩固练习
?
解：设AF=x，则AE=___
，
CD=CE=AC-AE=______，
同理
BD=BF=AB-AF=______，
由BD+CD=BC得
______+______=______
解得x=______.
∴AF=______，BD=______，CE=______.
?
x
13-x
9-x
（13-x）
（9-x）
14
4
9
4
5
巩固练习
如图，在△ABC
中，点O是内心.
（1）若∠ABC=50°，
∠ACB=70°，则∠BOC的度数为————.
A
B
C
O
（2）若∠A=80°，则∠BOC=————.
（3）若∠BOC=110°，则∠A=————.
130°
40°
120°
巩固练习
广东省怀集县大岗镇中心初级中学
梁克繁
△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l
，求△ABC的面积.
（提示：设内心为O，连接OA，OB，OC
）.
解：如图：过圆心O
分别连接
OD,OE,OF,
并且连接OA,OB,OC，
则有
S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
=
×
AB
×
r+
×
BC
×
r+
×
AC
×
r
=
×(AB+BC+AC)
×
r
=
lr.
巩固练习
思考：如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米.请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
A
C
B
古镇区
镇商业区
镇工业区
.M
E
D
F
课堂小结
切线的判定定理：经过__________
并且_________________
直线是圆的切线.定理必须满足两个条件：
①__________________，
②__________________．
2.切线的性质定理：
圆的切线_____经过切点的_____.
半径的外端
垂直于这条半径的
直线经过半径外端
直线垂直这条半径
垂直
半径(共29张PPT)
圆
24
24.2.2.1
直线和圆的位置关系
课时目标
1.掌握直线和圆的三种位置关系的定义及其判定方法和性质。
2.通过直线和圆的位置关系的探究，渗透类比，分类，数形结合思想，培养观察、分析和发现问题的能力。
探究新知
点到圆心的距离为d，
圆的半径为r，则：
点在圆外
点在圆上
点在圆内
A
B
C
位置关系
数量关系
d>r;
d=r；
d点和圆的位置关系有几种？
探究新知
●O
●O
把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,注意观察直线与圆的公共点的个数.
a(地平线)
a(地平线)
●O
●O
●O
这个自然现象反映出直线和圆的公共点个数有
种情况.
●
●
●
●
三
探究新知
请同学们利用手中的工具再现海上日出的整个情景.在再现过程中，你认为直线与圆的位置关系可以分为哪几类？
你分类的依据是什么？
探究新知
1.
如图（1），直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线，公共点叫做直线与圆的交点;
2.
如图（2），直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点;
3.
如图（3），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
探究新知
直线与圆有_____种位置关系，是用直线与圆的________的个数来定义的.这也是判断直线与圆的位置关系的重要方法.
三
公共点
(1)相交
两个公共点
(2)相切
一个公共点
(3)相离
没有公共点
探究新知
相交
相切
相离
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？
探究新知
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.
a
.A
D
探究新知
直线和圆相交
d<
r
直线和圆相切
d=
r
直线和圆相离
d>
r
r
d
∟
r
d
∟
r
d
位置关系
数量关系
探究新知
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点的个数
圆心d到直线的距离与半径r的大小关系
公共点的名称
直线名称
2
1
0
d
<
r
d
=
r
d
>
r
交点
切点
无
割线
切线
无
巩固练习
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?
a(地平线)
巩固练习
1.
已知圆的直径为13
cm，设直线和圆心的距离为d
：
(3)若d
=
8
cm
,则直线与圆______,
直线与圆有____个公共点.
(2)若d
=6.5
cm
,则直线与圆______,
直线与圆有____个公共点.
(1)若d
=4.5
cm
,则直线与圆 ,
直线与圆有____个公共点.
相交
相切
相离
2
1
0
巩固练习
2.
已知⊙O
的半径为5
cm,
圆心O与直线AB
的距离为d,
根据条件填写d
的范围:
(1)若AB和⊙O相离,
则
;
(2)若AB和⊙O相切,
则
;
(3)若AB和⊙O相交,则
.
d
>
5
cm
d
=
5
cm
d
<
5
cm
0
cm≤
巩固练习
例
在Rt△ABC
中，∠C
=
90°，AC=3
cm，BC
=
4
cm，以C
为圆心，r
为半径的圆与A
B
有怎样的位置关系？为什么？
(1)r
=2
cm；(2)r
=2.4
cm
(3)r
=3
cm．
B
C
A
4
3
D
d
点拔
在判定直线和圆的位置关系时，关键是先确定圆心到直线的距离d
和圆的半径r
两个量，然后再进行d
与r
的大小比较。
巩固练习
解：过C
作CD⊥AB，垂足为D
在△ABC中，
AB=
5
根据三角形的面积公式有
∴
即圆心C到AB的距离d=2.4cm
所以
(1)当r=2cm时,有d>r,因此⊙C和AB相离.
B
C
A
4
3
D
d
巩固练习
（2）当r=2.4cm时,有d=r,
因此⊙C
和AB
相切.
（3）当r
=3cm时，有d因此,⊙C
和AB相交.
B
C
A
4
3
D
B
C
A
4
3
D
d
d
巩固练习
1.已知：圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为以下值时，直线和圆有几个公共点？为什么？
(1)
4.5
cm
A.0
个
B.1个
C.2个
答案:C
(2)
6.5
cm
答案:B
(3)
8
cm
答案:A
A.0
个
B.1个
C.2个
A.0
个
B.1个
C.2个
巩固练习
2.如图，已知∠BAC=30度，M为AC上一点，且AM=5cm，以M为圆心、r
为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
(1)
R
=2cm
(2)
R
=4cm
(3)
R
=2.5cm
D
Ｍ
A
B
C
●
巩固练习
3.如图，在Rt△ABC
中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，以C为圆心的圆与AB相切，则这个圆的半径是
cm.
4.直线L
和⊙O
有公共点，则直线L与⊙O（
）
A.相离
B.相切
C.相交
D.相切或相交
D
巩固练习
A.(-3,-4)
O
x
y
已知⊙A的直径为6，点A的坐标为
（-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是_____,
y轴与⊙A的位置关系是_____.
B
C
4
3
相离
相切
-1
-1
巩固练习
.(-3,-4)
O
x
y
B
C
4
3
-1
-1
若⊙A要与x
轴相切，则⊙A该向上移动多少个单位？若⊙A要与x
轴相交呢？
巩固练习
已知⊙O
的半径r
=7cm,直线l1
//
l2,且l1与⊙O
相切,圆心O
到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离m.
o
。
l1
l2
A
B
C
l2
巩固练习
D
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，
以C为圆心，r为半径作圆.
①当r满足
时，
直线ＡＢ与⊙Ｃ相离;
②当r满足
时，直线ＡＢ与⊙Ｃ相切;
③当r满足
时，直线ＡＢ与⊙Ｃ相交;
12
B
C
A
13
0﹤r﹤
r=
r﹥
④当r满足
时,
线段ＡＢ与⊙Ｃ只有一个公共点.
或5﹤r
≤12
r=
5
CD=
cm
0
d>r
1
d=r
切点
切线
2
d交点
割线
．Ｏ
l
d
r
┐
┐
．ｏ
l
d
r
．O
l
d
┐
r
.
A
C
B
.
.
相离
相切
相交
归纳总结
（1）相交：
两圆有两个公共点，那么这两圆相交．
归纳总结
两圆只有一个公共点，并且除了公共点外，
一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫两圆内切．
（2）相切：
内切
切点
外切
切点
两圆只有一个公共点，并且除了公共点外，
一个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫两圆外切．
归纳总结
（3）相离：
两圆没有公共点，
一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫两圆内含．
两圆没有公共点，一个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫两圆外离．
内含
外离
归纳总结
归纳总结
d：圆心距
r1、
r2
：半径
圆和圆的位置关系
——
数量特征
r2
r1
外离
外切
相交
内切
内含
d
R
r2
r2
r1
R
r2
R
r2
两圆心之间的距离．(共14张PPT)
圆
24
24.2.2.2
切线的判定和性质
课时目标
1.理解切线的判定定理，切线的性质定理，
并解决一些实际问题。
2.理解切线长定理；了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用。
3.经历探索切线的判定定理，切线的性质定理，切线长定理的过程，体会三角形内切圆作图，从而提炼相关的数学知识，渗透数形结合的思想。
探究新知
设⊙O
的半径为r，圆心O
到直线l
的距离为d，
（1）_______
直线l
和圆O相离；
（2）_______
直线l
和圆O相切；
（3）_______
直线l
和圆O相交．
d>r
d=r
d探究新知
切线的判定定理
在⊙O
中，经过半径OA的外端点A作直线L⊥OA,则圆心O
到直线L
的距离是多少？直线L和⊙O有什么位置关系？
答：圆心O到直线L
的距离是＿＿＿＿＿.
直线L是⊙O的
＿＿＿
.
L
⊙O
的半径
切线
探究新知
切线的判定定理：
经过____________并且_______于这条半径的的直线是圆的切线.
定理的几何语言：如图
∵OA是⊙O的________，
OA＿＿L
，
∴直线是切线．
L
半径的外端
垂直
半径
⊥
探究新知
作法：
1、连接OA;
2、过点A
作直线l
与OA
垂直,
直线l
就是所求作的切线，如图.
1.已知一个圆和圆上的一个点，
如何过这个点画出圆的切线？（用尺规作图）
l
探究新知
２.如图，AB是⊙O
的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB．
求证：AT
是⊙O
的切线．
证明：
∵AT＝AB,
∠ABT＝45°,∴∠ATB=45°,
∴∠TAB=90°,即OA⊥TA.
∵AT经过⊙O
的半径于点A,
∴AT是⊙O
的切线.
探究新知
在⊙O
中，如果直线l
是⊙O
的切线，切点为A，那么半径OA
与
直线l
是不是一定垂直？
切线的性质定理：
圆的切线________经过切点的_____.
定理的几何语言：如图，
∵直线是⊙O
的切线，
点A为____
点，
∴
______．
垂直
半径
切
OA⊥l
探究新知
广东省怀集县梁村镇中心初级中学
周恒
如图，AB
是⊙O
的直径，直线L1,L2是⊙O
的切线，A，B是切点，
L1,L2有怎样的位置关系？证明你的结论.
证明：L1∥L2．
∵AB是⊙O的直径，
直线L1,L2是⊙O的切线，
∴AB⊥L1,AB⊥L2，
∴L1∥L2.
A
o
B
L1
L2
探究新知
切线的性质和判定定理的应用
例1
如图，△ABC为等腰三角形，O
是底边BC
的中点，腰AB与⊙O
相切于点D.
求证：AC是⊙O
的切线
分析：要证AC
是⊙O
的切线，只要证明由点O
向AC
所作的垂线段OE
是
_____________就可以了.而OD是⊙O的半径，则要证OE=OD.
⊙O
的半径
探究新知
证明：
过点O
作OE⊥AC，
垂足为E,连接OD,OA.
∵AB与⊙O
相切于点D,∴
_________.
又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC
的中点，
∴
_____________________________.（
）
∴_________.（
）
即OE
是⊙O
的半径,
∴AC
经过⊙O
的半径OE
的外端E，OE⊥AC，
∴AC
是⊙O的切线(
)．
OD⊥AB
AO是∠BAC
的平分线
三线合一
OE=OD
角平分线性质
切线的判定定理
巩固练习
证明：
∵OA=OB,CA=CB，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠ACO=∠BCO.
∵∠ACO+∠BCO=180o,
∴OC⊥AB.
又∵直线AB经过⊙O上的点C,
∴直线AB是⊙O的切线.
o
A
C
B
课堂小结
证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种方法：
(1)当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”；
(2)
当直线与圆没有公共点时，简说成“作垂直，证半径”
课堂小结
切线的判定定理：经过__________
并且_________________
直线是圆的切线.定理必须满足两个条件：
①__________________，
②__________________．
2.切线的性质定理：
圆的切线_____经过切点的_____.
半径的外端
垂直于这条半径的
直线经过半径外端
直线垂直这条半径
垂直
半径
