(共28张PPT)
圆
24
24.4.2
圆锥的侧面积和全面积
课时目标
1.了解圆锥的特征，及圆锥的侧面、底面、高、母线等概念。
2.了解圆锥的侧面展开图示扇形，会计算圆锥的侧面积和全面积。
3.通过圆锥侧面展开图的教学，使感受化曲面为平面，化立体图形为平面图形的转化思想。
探究新知
基础知识讲解
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形.
探究新知
基础知识讲解
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段.
圆锥有无数条母线.
母线
母线
高
圆周
半径
l
h
r
探究新知
基础知识讲解
圆锥的表面是由哪些面构成的？
圆面
曲面
圆锥的曲面展开图是什么形状？
如何计算圆锥的侧面积？
如果计算圆锥的全面积？
探究新知
1.圆锥
(1)圆锥的组成:圆锥是由一个底面和一个_____围成的.
(2)圆锥的母线:连接圆锥_____和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
2.圆锥面积
(1)圆锥的侧面积:S侧=____.
(2)圆锥的全面积:S全=_________.
侧面
顶点
πrl
πrl+πr2
基础知识讲解
探究新知
【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.同一个圆锥的母线都相等.(
)
2.圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长.(
)
3.圆锥的母线不一定是其侧面展开图扇形的半径.(
)
4.已知一个圆锥的高为6cm,底面半径为8cm,则这个圆锥的母线长为10cm.(
)
√
√
×
√
基础知识讲解
探究新知
圆锥的有关概念和侧面展开图
圆锥的曲面（侧面）展开是扇形
l
h
r
探究新知
圆锥的有关概念和侧面展开图
圆锥的侧面积S侧
=
扇形的面积S扇
=
=
扇形的弧长是2πr（圆周）
这个扇形的半径是l（母线长）
l
h
r
探究新知
圆锥的有关概念和侧面展开图
【示范题1】如图,如果圆锥的底面圆的半径是8,母线长是15,求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数.
探究新知
圆锥的有关概念和侧面展开图
【解题探究】(1)要求扇形的圆心角,在已知扇形的半径的前提下,可以考虑哪些公式?
提示:可以考虑扇形的面积公式或弧长公式.
(2)已知圆锥的底面半径,可以求出其展开图的哪个量?
提示:可以求出扇形的弧长.
探究新知
圆锥的有关概念和侧面展开图
【尝试解答】设扇形的圆心角为n°,由弧长公式得,
=16π,解得n=192,即圆心角为192°.
探究新知
圆锥的有关概念和侧面展开图
【想一想】
圆锥的侧面积中的l,r与弧长公式中的l,r相同吗?
提示:不同.
理由:圆锥的侧面积中的l指的是母线长,是展开图中扇形的半径,r指的是圆锥的底面半径;弧长公式中的l是指弧长,r是指弧所在的圆的半径.
探究新知
圆锥的有关概念和侧面展开图
【备选例题】如图,扇形的半径为30,圆心角
为120°,用它做一个圆锥模型的侧面,求这
个圆锥的底面半径和高.
【解析】由题意知，圆锥底面周长=
圆锥底面的半径为：20π÷2π=10.故圆锥的高为：
探究新知
圆锥的有关概念和侧面展开图
【方法一点通】圆锥和侧面展开图之间转换的“两个对应”
1.圆锥的母线与展开后扇形的半径的对应.
2.展开后扇形的弧长与圆锥底面周长的对应，根据这两个对应关系列方程求解是解决这两者转换问题的主要方法.
探究新知
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的全面积S全
=
侧面（扇形）的面积
+
底面圆周的面积
=
+
=
+
=
探究新知
圆锥的侧面积和全面积
知识点二
圆锥的侧面积和全面积
【示范题2】一个圆锥的高为3
cm,侧面展开图是半圆,
求:(1)圆锥母线与底面半径的比值.
(2)圆锥的全面积.
探究新知
圆锥的侧面积和全面积
【思路点拨】圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径,底面周长是展开图中扇形的弧长,知道圆锥母线和底面半径,就可由扇形面积公式求侧面积,底面积加侧面积就得圆锥的全面积.
【自主解答】如图，AO为圆锥的高，经过
AO的截面是等腰△ABC，则AB为圆锥母线l，
BO为底面半径r.
(1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr
=πl，则
=2.
(2)因圆锥的母线l，高h和底面半径r构成直角三角形，所以
l2=h2＋r2；
又l=2r，h=3
cm，则r=3
cm，l=6
cm.
所以S全=S侧＋S底=πrl＋πr2=3×6π＋32π=27π(cm2).
探究新知
圆锥的侧面积和全面积
探究新知
圆锥的侧面积和全面积
【想一想】
圆锥的轴截面是什么图形?
提示:圆锥的轴截面是等腰三角形.
探究新知
圆锥的侧面积和全面积
【备选例题】圣诞节将近,某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽.已知纸帽的底面周长为58cm,高为20cm,要制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸?(结果精确到0.1cm2)
【解析】设纸帽的底面半径为r
cm，母线长为l
cm，则r＝
l＝
≈22.03(cm)，S圆锥侧＝πrl≈
×58×22.03
＝638.87(cm2).
638.87×20＝12
777.4(cm2).所以，至少需要12
777.4
cm2的纸.
探究新知
圆锥的侧面积和全面积
【方法一点通】圆锥面积计算的“三个关键点”
1.分析清楚几何体表面的构成.
2.弄清圆锥与其侧面展开图扇形各元素之间的对应关系.
3.圆锥的母线长l,底面圆的半径r和圆锥的高h的关系为:l2=r2+h2.
探究新知
圆锥的侧面积和全面积
注意:(1)圆锥的侧面展开图是扇形,它的轴截面是等腰三角形.
圆柱的侧面展开图是矩形,它的轴截面是矩形.
(2)不要把圆锥侧面展开图的半径同底面圆的半径相混淆.
巩固练习
【例】蒙古包可以近似地看成有圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡塔建20个底面积为12
m2
，高为3.2
m，外围高为1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡
（
取3.142，结果取整数）？
巩固练习
解：如图，是一个蒙古包示意图.根据题意，得：
下部圆柱的底面积为12m2
，高为1.8m；上部圆锥的高
=
=
（m)
即：r=
∴圆柱的底面半径为r=
≈1.954m.
=
≈22.10（m2
).
探究新知
∵圆锥的母线长
=
≈2.404（m)，圆锥侧面积展开扇形的弧长为2
×
≈
（m)
=
__
≈
__
（m2)
∴
∴搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡
20×（
+
)≈
（m2).
=
课堂小结
1.连接圆锥
________
和底面圆周上
________
的线段叫做圆锥的母线.
2.圆锥侧面积：
.
3.圆锥的全面积
顶点
任意一点
课堂小结
1.圆锥的母线与展开后扇形的半径的对应.
2.展开后扇形的弧长与圆锥底面周长的对应，
根据这两个对应关系列方程求解是解决这两者转换问题的主要方法.
3.分析清楚几何体表面的构成.
弄清圆锥与其侧面展开图扇形各元素之间的对应关系.
3.圆锥的母线长l,底面圆的半径r和圆锥的高h的关系为:l2=r2+h2.(共34张PPT)
圆
24
24.4.1
弧长和扇形面积
课时目标
1.了解弧形、扇形的概念。
2.理解弧长公式中n的意义，并会运用弧长公式进行有关计算。
3.理解并掌握扇形面积的两个公式，会计算一些组合图形的面积。
探究新知
在田径二百米比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？
探究新知
制造弯形管道时，怎样才能精确用料？
700
mm
700
mm
100°°
R=900
mm
C
A
B
●
●
O
D
●
●
探究新知
O
A
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
B
半圆
弧一般是圆的一部分，那么你会求弧的长度吗？
探究新知
圆的周长：
O
A
B
C
=
2πR
圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
360°
1°圆心角所对弧长：
l
=
2πR
360
πR
180
=
R
n°圆心角所对的弧长：
n°
nπR
180
l
=
探究新知
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．
n°
O
探究新知
1.弧长公式
半径为R,圆心角为n°的弧的弧长l为______.
2.扇形
由组成圆心角的_________和该圆心角_________围成的图形叫做扇形.
两条半径
所对的弧
探究新知
3.扇形的面积公式
(1)S扇形=_____(n为扇形的圆心角的度数,R为扇形的半径).
(2)S扇形=____(l为扇形的弧长,R为扇形的半径).
进行计算时,要注意公式中n的意义,n表示1°
圆心角的倍数,它是不带单位的；
探究新知
【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.弧长公式是l=
.(
)
2.扇形的面积公式S=
.(
)
3.半径是6cm,圆心角为30°的弧长为
cm.(
)
4.半径为3cm,弧长为8
cm的扇形面积为12
cm2.(
)
×
×
×
√
探究新知
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，
试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度
L=2X700+500π≈2970
L=
=
=500π
nπr
180
100x900xπ
180
探究新知
在半径为
R
的圆中，n°的圆心角所对的弧长（arclength
）的计算公式为：
弧长公式
.
n°
R
【示范题1】如图,一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚,那么B点从开始至结束(B′)所走过的路径长度是多少?
弧长公式及应用
探究新知
探究新知
【解题探究】(1)找到等边△ABC每一次翻转的中心,画出点B所走的路径.
(2)等边△ABC每一次旋转的角度是多少?旋转的半径是多少?
提示:等边△ABC每一次旋转的角度是120°,旋转的半径是1.
弧长公式及应用
【示范题1】如图,一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚,那么B点从开始至结束(B′)所走过的路径长度是多少?
探究新知
【想一想】
1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？
提示：圆周长为2πR，可看作是360°的圆心角所对的弧长；
1°的圆心角所对的弧长为
；圆心角为n°的弧长
是圆心角为1°的弧长的n倍,∴n°的圆心角所对的弧长为
弧长公式及应用
探究新知
弧长公式及应用
【备选例题】矩形ABCD的边AB=8,AD=6,现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动翻滚,当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时(如图所示),求顶点A所经过的路线长.
弧长公式及应用
【解析】点A
经过的路线长由三部分组成:以B
为圆、AB
为半径旋转90°的弧长;以C
为圆心、AC
为半径旋转90°的弧长;以D为圆心、AD
为半径旋转90°的弧长,利用弧长公式可得
探究新知
弧长公式及应用
【方法一点通】求与弧长相关计算的两个步骤
（1）弧长公式涉及三个量，
弧长、圆心角的度数、
弧所在的半径，知道其中两个量，就可以求第三个量
（2）当问题涉及多个未知量时，可考虑用列方程组来求解.
探究新知
探究新知
针对性练习
某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？
（2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
（3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
探究新知
针对性练习
解：
（1）转动轮转一周，传送带上的物品A被送
；
（2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送
；
（3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送
.
.
探究新知
扇形的面积公式及应用
圆的面积：
O
A
B
S
=
πR2
圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？
360°
1°圆心角所对扇形面积：
S
扇形
=
πR
2
360
R
n°圆心角所对扇形面积：
n°
n
πR
2
360
S扇形
=
探究新知
扇形的面积公式及应用
在半径为
R
的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为：
扇形面积公式
.
n°
R
注意:
（1）公式中n
的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
探究新知
扇形的面积公式及应用
知识点二
扇形的面积公式及应用
【示范题2】CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为F,
AO⊥BC,垂足为点E,AO=1.
(1)求∠C的大小.
(2)求阴影部分的面积.
探究新知
扇形的面积公式及应用
【思路点拨】(1)由垂径定理得，
再由圆周角和圆心
角的关系，求出∠C=
∠AOD，由直角三角形的两锐角互余，求出∠C.
(2)不难得出∠AOB=120°，由直角三角形中30°的性质和勾股定理求出OF
,AF，扇形OAB的面积减去△AOB的面积为阴影部分的面积.
探究新知
扇形的面积公式及应用
【自主解答】(1)∵CD为⊙O
的直径,
CD⊥AB,
∴
,∴∠C=
∠AOD.∵∠AOD=∠COE,
∴∠C=
∠COE.∵AO⊥BC,∴∠C=30°.
(2)连接OB.由(1)
知∠C=30°,
∴∠AOD=60°,
∴∠AOB=120°.在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°,
探究新知
扇形的面积公式及应用
【想一想】扇形和弓形有什么区别?
提示:弓形是由弦及其所对的弧组成的图形,扇形是由两条半径和圆心角所对的弧围成的图形.
探究新知
扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？
探究新知
扇形的面积公式及应用
【微点拨】扇形的面积公式有两个：
(1)已知扇形的半径和圆心角度数求面积时选用
(2)已知半径和弧长求面积时选用
例题讲解
例题精讲
水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m。求截面上有水部分的面积？（精确到0.01m2)
巩固练习
解：连接OA、OB，作OC⊥
AB
于D，交弧AB
于点C.
∵OC=0.6，DC=0.3,
在Rt△OAD
中，OA=0.6，利用勾股定理可得：
∴OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3.
∴∠OBD=30°，
∴∠AOB=120°
在Rt△
OAD
中，∵OD=0.5OA,
∴∠OAD=30°.
有水部分的面积为=
∵OA=OB，
∵
OC⊥
AB
，
∴AD=BD,
∴AB=
.
巩固练习
0.6
0.3
0
B
A
C
D
120
π
×
0.6
?
1
360
2
－
－
AB
－
OD
=
探究新知
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
0
A
B
D
C
E
弓形的面积
=
S扇+
S△
变式练习
探究新知
0
0
弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差
规律提升
课堂小结
对弧长和扇形面积计算公式的灵活运用.
算一算积的计算，培养分析解决问题的能力.
弧长和扇形面积计算公式的推导.
