柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积（共4课时）

课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）
学习目标
1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式；
2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P43~ P45，找出疑惑之处）
复习：斜二测画法画的直观图中，轴与轴的夹角为____，在原图中平行于轴或轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于轴的线段长度保持_____，平行于轴的线段长度____________.
引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积
问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？
结论： 正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.
新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.
试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？
探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？
新知2：
（1）设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即.
（2）设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即.
试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？
新知3：
设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即
.
反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？
※ 典型例题
例1 已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积.
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20,盆底直径为15,底部渗水圆孔直径为,盆壁长15.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14,结果精确到1毫升)
※ 动手试试
练1. 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为，求它的表面积.
练2. 粉碎机的上料斗是正四棱台形状，它的上、下底面边长分别为80、440，高(上下底面的距离)是200, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积
计算公式；
2. 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.
※ 知识拓展
当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时，它们的展开图是一些规则的平面图形，表面积比较好求；当它们不是特殊的几何体，比如斜棱柱、不规则的四面体时，要注意分析各个面的形状、特点，看清楚题目所给的条件，想办法求出各个面的面积，最后相加.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 正方体的表面积是64,则它对角线的长为（ ）.
A. B. C. D.
2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）.
A. B. C. D.
3. 一个正四棱台的两底面边长分别为,,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为（ ）.
A. B. C. D.
4. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________.
5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为︰4︰4,母线长为10,则圆台的侧面积为___________.
课后作业
1. 圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为，求证：（度）.
2. 如图，在长方体中，，，，且，求沿着长方体表面到的最短路线长.
课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积（2）
学习目标
1. 了解柱、锥、台的体积计算公式；
2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P45~ P47，找出疑惑之处）
复习1：多面体的表面积就是___________________
加上___________.
复习2：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_____、______、_______；若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是，圆台下底面的半径是，母线长都为,则_______________________,
___________，__________________.
引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式（为底面面积，为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？
二、新课导学
※ 探索新知
新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)
柱体体积公式为：，（为底面积，为高）
锥体体积公式为：，（为底面积，为高）
台体体积公式为：
（，分别为上、下底面面积，为高）
补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.
反思：思考下列问题
⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？
⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？
※ 典型例题
例1 如图(1)所示，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且分别是面的垂线，又，，求三棱锥的体积.
变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥的体积.
小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我们的计算带来方便.
例2 高12的圆台，它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225,体积为，求截得它的圆锥的体积.
变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的的正六棱锥的体积.
小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过轴截面中对应边的关系，用相似三角形的知识来解.
※ 动手试试
练1. 在△中,°,若将△绕直线旋转一周，求所形成的旋转体的体积.
练2. 直三棱柱高为6,底面三角形的边长分别为3，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握；
2. 求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.
※ 知识拓展
祖暅及祖暅原理
祖暅，祖冲之（求圆周率的人）之子，河北人，南北朝时代的伟大科学家. 柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来.
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（ ）.
A.6倍 B.9倍 C.12倍 D.16倍
2. 已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为,,，则它的体积为（ ）.
A. B. C. D.4
3. 各棱长均为的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（ ）.
A. B. C. D.
4. 一个斜棱柱的的体积是30，和它等底等高的棱锥的体积为________.
5. 已知圆台两底面的半径分别为,则圆台和截得它的圆锥的体积比为___________.
课后作业
1. 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六边形，边长为12，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14).
2. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则﹕﹕=
课题： 球的体积和表面积
学习目标
1. 了解球的表面积和体积计算公式；
2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P47~ P48，找出疑惑之处）
复习：柱体包括_____和_____,它的体积公式为___________；锥体包括_______和_______,它的体积公式为_____________；台体包括_____和______,
它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为____________________________.
二、新课导学
※ 探索新知
新知：球的体积和表面积
球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明：
球的体积公式
球的表面积公式
其中，为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径有关.
※ 典型例题
例1 木星的表面积约是地球的120倍，则体积约是地球的多少倍
变式：若三个球的表面积之比为﹕﹕，则它们的体积之比为多少
例2 一种空心钢球的质量是142，外径是5.0，求它的内径. （钢密度7.9）
例3 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证
（1）球的体积等于圆柱体积的；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
变式：半径为的球内有一内接正方体，设正方体的内切球半径为，则为多少
小结：两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上；两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.解决几何体相切或相接问题，要利用截面来展现这两个几何体之间的相互关系，从而把空间问题转化为平面问题来解决.
※ 动手试试
练1.长方体的一个顶点上的三条棱长为3、、，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积.
练2. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 球的表面积及体积公式的应用；
2. 空间问题转化为平面问题的思想.
※ 知识拓展
极限的思想推导球的表面积公式过程：
如图,将球的表面分成个小球面，每个小球面的顶点与球心连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这个小棱锥的体积和，表面积是这个小球面的面积和.当越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越接近球的半径，于是当趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球的表面积公式.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 如果球的半径扩大倍，则球的表面积扩大（ ）.
A.倍 B.倍 C.倍 D.8倍
2. 有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为，球直径为，正方体的棱长为，则（ ）.
A. B.
C. D.
3. 记与正方体各个面相切的球为，与各条棱相切的球为，过正方体各顶点的球为则这3个球的体积之比为（ ）.
A.1:2:3 B.1:: C.1:: D.1:4:9
4. 已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为__________.
5. 把一个半径为的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的倍，则这个圆锥的高应为_______.
课后作业
1. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.
2. 半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体表面积之比是多少
课题：空间几何体的表面积与体积（练习）
学习目标
1. 会求空间几何体、简单组合体的面积和体积；
2. 能解决与空间几何体表面积、体积有关的综合问题；
3. 进一步体会把空间问题转化为平面问题的思想.
学习过程
一、课前准备
（复习教材P43~ P48，找出疑惑之处）
复习1：柱体、锥体、台体的表面积是如何求出来的？它们的体积公式有何联系？球的表面积和体积只和什么变量有关？
复习2：简单组合体的表面积和体积怎么求？
二、新课导学
※ 典型例题
例1 设圆台的上、下底面半径分别为,，母线长是，圆台侧面展开后所得的扇环的圆心角是，求证：（度）
小结：有关几何体侧面的问题，通常是把侧面展开为平面图形，然后在平面图形中寻求解决途径.
变式：在长方体中,已知,
,从点出发,沿着表面运动到,则最短路线长是多少
小结：求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型.解决这类问题的关键是把图形展开(有时全部展开，有时部分展开)为平面图形，找出表示最短距离的线段(通常利用两点之间直线最短).
例2 若是三棱柱的侧棱和
上的点，且=，三棱柱的体积为,求四棱锥的体积.
变式：正三棱台中，，则三棱锥,,的体积比为多少
小结：当直接求体积有困难时，可利用转化思想，分割几何体，借助体积公式和图形的性质转化为其它等体积(等底等高或同底同高)的几何体，从而起到化难为易的作用.
※ 动手试试
练1. 圆锥的底面半径为，母线长，为的中点，一个动点自底面圆周上的点沿圆锥侧面移动到，求这点移动的最短距离.
(在中,边分别为,所对角为,则有
)
练2. 直三棱柱各侧棱和底面边长均为，点是
上任意一点，连结、、、，则三棱锥—的体积为多少？ （ ）
三、总结提升
※ 学习小结
1. 空间问题可以转化为平面问题解决；
2. 最短距离的求法；
3. 求体积困难时可采用分割的思想，化为底（面积）高相同的规则几何体求解.
※ 知识拓展
空间问题向平面的转化包括：圆锥、圆台中元素的关系问题，用轴截面来解决；空间几何体表面上两点线路最短问题，用侧面展开图来解决；球的组合体中的切、接问题，用过球心的截面来解决.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在棱长为的正方体上，分别用过顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去个三棱锥后，剩下多面体的体积为（ ）.
A. B. C. D.
2. 已知球面上过三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且，则球的表面积为（ ）.
A. B. C. D.
3. 正方体的8个顶点中有4个恰为正四面体的顶点,则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为（ ）.
A. B. C. D.
4. 正四棱锥底面积为，过两对侧棱的截面面积为
，则棱锥的体积为___________.
5. 已知圆锥的全面积是底面积的倍，那么该圆锥的侧面展开图的圆心角______度.
课后作业
1. 一个圆台上下底面半径分别为5、10，母线=
20.一只蚂蚁从的中点绕圆台侧面转到下底面圆周上的点，求蚂蚁爬过的最短距离.
2. 已知一个圆锥的底面半径为,高为,在其中有个高为的内接圆柱.
求圆柱的侧面积；
为何值时，圆柱的侧面积最大？
正四棱锥
正四棱台
正六棱柱
图(1)
图(2)
B
C
A
D
4
5
2