沪科版数学九上期末复习——难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)（含答案）

难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)
——代几结合，突破面积及点的存在性问题
　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　抛物线与三角形的综合
一、求最值
1．(龙东中考)如图，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题
2．(凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【易错6】
3．★(南宁中考)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，与直线y＝x－2交于B，C两点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)求证：△ABC是直角三角形；
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
三、与面积相关的问题
4．(2016·台湾中考)如图，坐标平面上，二次函数y＝－x2＋4x－k的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1∶4，则k的值为(　　)
A．1
B.
C.
D.
5．(日照中考)如图，抛物线y＝－[(x－2)2＋n]与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋3，0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求m，n的值；
(2)点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN，BN.求△NBC面积的最大值．
类型二　抛物线与特殊四边形的综合
6．(盐田区二模)抛物线y＝－x2＋6x－9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是(　　)
A．(－6，0)
B．(6，0)
C．(－9，0)
D．(9，0)
7．如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别为4，2，则过A，B，C三点的拋物线的函数关系式是________________．
第7题图
　　　第8题图
8．(余干县三模)如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2(a＜0)的图象上，则a的值为________．
9．(2016·百色中考)正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．
(1)建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出O，P，A三点坐标；
②求抛物线l的解析式；
(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．
参考答案：
1．解：(1)由题意得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；
(2)存在．∵点A与点C关于直线x＝2对称，∴连接BC与直线x＝2交于点P，则点P即为所求．根据抛物线的对称性可知点C的坐标为(3，0)．∵y＝x2－4x＋3，∴点B的坐标为(0，3)．设直线BC的解析式为y＝mx＋n，则解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴直线BC与直线x＝2的交点坐标为(2，1)，即点P的坐标为(2，1)．
2．解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得解得∴抛物线的函数关系式为y＝x2－2x－3；
(2)当点P在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时x＝－＝1，故点P的坐标为(1，0)；
(3)点M的坐标为(1，－1)，(1，)，(1，－)，(1，0)．　解析：抛物线的对称轴为直线x＝－＝1.设点M的坐标为(1，m)．已知A(－1，0)，C(0，－3)，则
MA2＝m2＋4，MC2＝(m＋3)2＋1＝m2＋6m＋10，AC2＝12＋32＝10.①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2＋6m＋10，解得m＝－1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，解得m＝±；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2＋6m＋10＝10，解得m1＝0，m2＝－6，当m＝－6时，M，A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上所述，符合条件的点M的坐标为(1，－1),
(1，)，(1，－)，(1，0)．
3．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋1.又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x.联立抛物线和直线解析式可得解得或∴点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(－1，－3)；
(2)证明：分别过A，C两点作x轴的垂线，交x轴于点D，E两点，则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3，CE＝3，∴BE＝CE，∴∠ABO＝∠CBO＝45°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝90°，∴△ABC是直角三角形；
(3)解：假设存在满足条件的点N，设点N的坐标为(x，0)，则点M的坐标为(x，－x2＋2x)，∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|.由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB＝，BC＝3.∵MN⊥x轴，∴∠MNO＝∠ABC＝90°，∴当△ABC和△MNO相似时，有＝或＝.①当＝时，则有＝，即|x||－x＋2|＝|x|.∵当x＝0时，M，O，N不能构成三角形，∴x≠0，∴|－x＋2|＝，即－x＋2＝±，解得x＝或x＝，此时点N的坐标为或(，0)；②当＝时，则有＝，即|x||－x＋2|＝3|x|，∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3，解得x＝5或x＝－1，此时点N的坐标为(－1，0)或(5，0)．综上所述，存在满足条件的N点，其坐标为或或(－1，0)或(5，0)．
4．D　解析：∵y＝－x2＋4x－k＝－(x－2)2＋4－k，∴顶点D的坐标为(2，4－k)，点C的坐标为(0，－k)，∴OC＝k.∵△ABC的面积为AB·OC＝AB·k，△ABD的面积为AB·(4－k)，△ABC与△ABD的面积比为1∶4，∴k＝(4－k)，解得k＝.故选D.
5．解：(1)∵抛物线的解析式为y＝－[(x－2)2＋n]＝－(x－2)2－n，∴抛物线的对称轴为直线x＝2.∵点A和点B关于直线x＝2对称，∴＝2，解得m＝1，∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(5，0)．把A(－1，0)代入y＝－[(x－2)2＋n]得9＋n＝0，解得n＝－9；
(2)过点N作ND∥y轴交BC于D.由(1)可得抛物线的解析式为y＝－[(x－2)2－9]＝－x2＋x＋3，当x＝0时，y＝3，则点C的坐标为(0，3)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，把B(5，0)，C(0，3)代入得解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点N的坐标为，则点D的坐标为，∴ND＝－x2＋x＋3－＝－x2＋3x，∴S△NBC＝S△NDC＋S△NDB＝·5·ND＝＝－x2＋x＝－＋，当x＝时，△NBC面积最大，最大值为.
6．D　解析：令x＝0，得y＝－9，∴点B的坐标为(0，－9)．∵y＝－x2＋6x－9＝－(x－3)2，∴点A的坐标为(3，0)，对称轴为直线x＝3.∵点C在抛物线上，且四边形ABCD是平行四边形，∴点C的坐标为(6，－9)，∴BC＝6，∴AD＝6，∴点D的坐标为(9，0)．故选D.
7．y＝－x2－x＋　解析：依题意得A点的坐标为(－4，2)，B点的坐标为(－2，6)，C点的坐标为(2，4)．设抛物线的函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，则解得∴抛物线的函数关系式为y＝－x2－x＋.
8．－　解析：连接OB.∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴∠BOC＝45°，OB＝1×＝.过点B作BD⊥x轴于点D.∵OC与x轴正半轴的夹角为15°，∴∠BOD＝45°－15°＝30°，∴BD＝OB＝，∴OD＝＝＝，∴点B的坐标为.∵点B在抛物线y＝ax2(a＜0)的图象上，∴a＝－，解得a＝－.
9．解：(1)以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．
①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，∴点O的坐标为(0，0)，点A的坐标为(4，0)，点P的坐标为(2，2)；
②设抛物线l的解析式为y＝ax2＋bx＋c.由抛物线l经过O，P，A三点，得解得∴抛物线l的解析式为y＝－x2＋2x；
(2)∵点E是正方形内的抛物线l上的动点，∴设点E的坐标为(0＜m＜4)，∴S△OAE＋S△OCE＝OA·yE＋OC·xE＝×4×＋×4m＝－m2＋4m＋2m＝－(m－3)2＋9，∴当m＝3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9.
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