考点综合专题：反比例函数与其他函数的综合
类型一 反比例函数与一次函数的综合
一、判断函数图象
1．(绥化中考)当k＞0时，反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋2的图象大致是( )
2．(杭州中考)设函数y＝(k≠0，x＞0)的图象如图所示，若z＝，则z关于x的函数图象可能为( )
二、求交点坐标或根据交点求取值范围
3．(株洲中考)已知，一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是【方法3③】( )
A．x<2
B．x>5
C．0D．05
第3题图
第4题图
4．如图，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(－1，2)，则另一个交点B的坐标为【方法3①】( )
A．(－2，1)
B．(2，1)
C．(1，－2)
D．(2，－1)
5．(玉林中考)若一次函数y＝mx＋6的图象与反比例函数y＝在第一象限的图象有公共点，则有( )
A．mn≥－9
B．－9≤mn≤0
C．mn≥－4
D．－4≤mn≤0
6．★直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于A、B两点．若A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1y2＋x2y1的值为________．【方法3④】
7．★(随州中考)如图，直线y＝x＋4与双曲线y＝(k≠0)相交于A(－1，a)、B两点，在y轴上找一点P，当PA＋PB的值最小时，点P的坐标为________．
8．(乐山中考)如图，反比例函数y＝与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A(2，2)、B.
(1)求这两个函数解析式；
(2)将一次函数y＝ax＋b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，求m的值．
9．如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在第一象限内，当一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝(k≠0)的值时，写出自变量x的取值范围．【方法3②③】
三、与图形面积相关的计算(含k的几何意义)
10．如图，直线y＝x－b与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(3，m)，连接OA，则△AOB的面积为( )
A．1
B.
C．2
D．3
第10题图
第11题图
11．如图，直线y＝x－2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A，连接OA.若S△AOB∶S△BOC＝1∶2，则k的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
12．(鄂州中考)如图，已知直线y＝k1x＋b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y＝的图象相交于A(－2，m)、B(1，n)两点，连接OA、OB，给出下列结论：①k1k2<0；②m＋n＝0；③S△AOP＝S△BOQ；④不等式k1x＋b>的解集是x<－2或013．一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象相交于A(－1，4)，B(2，n)两点，直线AB交x轴于点D.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S.
类型二 反比例函数与二次函数的综合
14．(威海中考)已知二次函数y＝－(x－a)2－b的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( )
第14题图
15．(襄阳中考)一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为( )
第15题图
16．★(枣庄中考)如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y＝(x＞0)的图象与BC边交于点E.
(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
(2)当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？
参考答案：
1．C 2.D 3.D 4.D
5．A 解析：将y＝mx＋6代入y＝中，得mx＋6＝，整理得mx2＋6x－n＝0.∵二者有交点，∴Δ＝62＋4mn≥0，∴mn≥－9.故选A.
6．－4 解析：由双曲线y＝及y＝kx的中心对称性知x1＝－x2，y1＝－y2，所以x1y2＋x2y1＝－x2y2－x2y2＝－2x2y2＝－2×2＝－4.
7. 解析：把点A坐标代入y＝x＋4中得－1＋4＝a,
a＝3，∴点A的坐标为(－1，3)．把点A坐标代入y＝得k＝－3.联立两函数解析式得解得即点B的坐标为(－3，1)．作出点A关于y轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，使PA＋PB的值最小，则点C的坐标为(1，3)．设直线BC的解析式为y＝ax＋b，把B、C的坐标代入得解得∴函数解析式为y＝x＋，则与y轴的交点为.∴点P的坐标为.
8．解：(1)∵A(2，2)在反比例函数y＝的图象上，∴k＝4.∴反比例函数的解析式为y＝.又∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴n＝4，解得n＝8，∴点B的坐标为.由A(2，2)、B在一次函数y＝ax＋b的图象上，得解得∴一次函数的解析式为y＝－4x＋10；
(2)将直线y＝－4x＋10向下平移m个单位得直线的解析式为y＝－4x＋10－m.∵直线y＝－4x＋10－m与双曲线y＝有且只有一个交点，令－4x＋10－m＝，得4x2＋(m－10)x＋4＝0，∴Δ＝(m－10)2－64＝0，解得m＝2或m＝18.
9．解：(1)∵一次函数y＝－x＋5的图象过点A(1，n)，∴n＝－1＋5＝4，∴点A的坐标为(1，4)．∵反比例函数y＝(k≠0)过点A(1，4)，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；
(2)联立解得或∴点B的坐标为(4，1)．若一次函数y＝－x＋5的值大于反比例函数y＝(k≠0)的值，则自变量x的取值范围是1＜x＜4.
10．A 11.B
12．②③④ 解析：由图象知k1<0，k2<0，∴k1k2>0，故①错误；把A(－2，m)、B(1，n)代入y＝中得－2m＝n，∴m＋n＝0，故②正确；把A(－2，m)、B(1，n)代入y＝k1x＋b得∴∵－2m＝n，∴y＝－mx－m，∴P点的坐标为(－1，0)，Q点的坐标为(0，－m)，∴OP＝1，OQ＝m，∴S△AOP＝×1·m＝，S△BOQ＝·m×1＝，∴S△AOP＝S△BOQ，故③正确；由图象知不等式k1x＋b>的解集是x<－2或013．解：(1)把A(－1，4)代入反比例函数y＝中得m＝－1×4＝－4，∴反比例函数的解析式为y＝－；把B(2，n)代入y＝－得2n＝－4，解得n＝－2，∴B点坐标为(2，－2)．把A(－1，4)和B(2，－2)代入一次函数y＝kx＋b中得解得∴一次函数的解析式为y＝－2x＋2；
(2)∵BC⊥y轴，垂足为C，B点坐标为(2，－2)，∴C点坐标为(0，－2)．设直线AC的解析式为y＝px＋q，将A(－1，4)，C(0，－2)代入得解得∴直线AC的解析式为y＝－6x－2.当y＝0时，－6x－2＝0，解得x＝－，∴E点坐标为.∵直线AB的解析式为y＝－2x＋2，∴直线AB与x轴的交点D的坐标为(1，0)，∴DE＝1－＝，∴△AED的面积S＝××4＝.
14．B 解析：观察二次函数图象，发现：图象的顶点在第四象限，∴a>0，－b<0，∴b>0.∵反比例函数y＝中ab>0，∴反比例函数图象在第一、三象限．∵一次函数y＝ax＋b中，a>0，b>0，∴一次函数y＝ax＋b的图象过第一、二、三象限．故选B.
15．C
16．解：(1)∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，∴B点坐标为(3，2)．∵F为AB的中点，∴F点坐标为(3，1)．∵点F在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴k＝3，∴该函数的解析式为y＝(x＞0)；
(2)由题意知E，F两点坐标分别为E，F，∴S△EFA＝AF·BE＝×k×＝k－k2＝－(k2－6k＋9－9)＝－(k－3)2＋.当k＝3时，S△EFA有最大值，最大值为.
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页代几结合专题：反比例函数与几何图形的综合(选做)
——代几结合，掌握中考风向标
类型一 与三角形的综合
1．(云南中考)位于第一象限的点E在反比例函数y＝的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点．若EO＝EF，△EOF的面积等于2，则k的值为( )
A．4
B．2
C．1
D．－2
2．(菏泽中考)如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC－S△BAD为( )
A．36
B．12
C．6
D．3
3．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于________．
第3题图
第4题图
4．(包头中考)如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过点A，若S△AOB＝，则k的值为________．
5．(宁波中考)如图，点A为函数y＝(x>0)图象上一点，连接OA，交函数y＝(x>0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为________．
第5题图
第6题图
6．★如图，若双曲线y＝(k＞0)与边长为3的等边△AOB(O为坐标原点)的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC＝2BD，则k的值为________．
7．(宁夏中考)如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2，反比例函数y＝(x>0)的图象经过OA的中点C，交AB于点D.
(1)求反比例函数的关系式；
(2)连接CD，求四边形CDBO的面积．
8．(大庆中考)如图，P1、P2是反比例函数y＝(k>0)在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为(4，0)．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)①求P2的坐标；②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y＝的函数值．
类型二 与特殊四边形的综合
9．如图，点A是反比例函数y＝－(x＜0)的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为( )
A．1
B．3
C．6
D．12
第9题图
第10题图
10．(烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为________．
11．(齐齐哈尔中考)如图，已知点P(6，3)，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y＝的图象交PM于点A，交PN于点B，若四边形OAPB的面积为12，则k＝________．
第11题图
第12题图
12．如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y＝(x＞0)的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为________．
13．(资阳中考)如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，双曲线y＝(k≠0，x>0)过点D.
(1)求双曲线的解析式；
(2)作直线AC交y轴于点E，连接DE，求△CDE的面积．
14．(泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx＋b的图象过点D和M，反比例函数y＝的图象经过点D，与BC的交点为N.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．
类型三 动点、规律性问题
15．(长春中考)如图，在平面直角坐标系中，点P(1，4)，Q(m，n)在函数y＝(x>0)的图象上，当m>1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B，过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D.QD交AP于点E，随着x的增大，四边形ACQE的面积( )
A．减小
B．增大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
第15题图
第16题图
16．★在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，有一系列点A1，A2，A3，…，An，An＋1，若A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.现分别过点A1，A2，A3，…，An，An＋1作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则S1＝________，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝________(用含n的代数式表示)．
参考答案：
1．B
2．D 解析：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则点B的坐标为(a＋b，a－b)．∵点B在反比例函数y＝的第一象限图象上，∴(a＋b)×(a－b)＝a2－b2＝6.∴S△OAC－S△BAD＝a2－b2＝(a2－b2)＝×6＝3.
3. 解析：延长BA交y轴于点C.S△OAC＝×5＝，S△OCB＝×8＝4，则S△OAB＝S△OCB－S△OAC＝4－＝.
4．－3
5．6 解析：设点A的坐标为，点B的坐标为.∵点C是x轴上一点，且AO＝AC，∴点C的坐标是(2a，0)．设过点O(0，0)，A的直线的解析式为y＝kx，∴＝k·a，解得k＝.又∵点B在y＝x上，∴＝·b，解得＝3或＝－3(舍去)，∴S△ABC＝S△AOC－S△OBC＝－＝－＝9－3＝6.
6. 解析：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F.设OC＝2x，则BD＝x.在Rt△OCE中，OC＝2x，∠COE＝60°，∴∠OCE＝30°，则OE＝x，CE＝x，则点C的坐标为(x，x)．在Rt△BDF中，BD＝x，∠DBF＝60°，∴∠BDF＝30°，则BF＝x，DF＝x，则点D的坐标为.将点C的坐标代入反比例函数解析式可得k＝x2，将点D的坐标代入反比例函数解析式可得k＝x－x2，则x2＝x－x2，解得x1＝，x2＝0(舍去)，故k＝x2＝.
7．解：(1)∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2，∴OA＝2AB，∴(2AB)2＝AB2＋(2)2，∴AB＝2.作CE⊥OB于E.∵∠ABO＝90°，∴CE∥AB.∵OC＝AC，∴OE＝BE＝OB＝，CE＝AB＝1，∴C点坐标为(，1)．∵反比例函数y＝(x>0)的图象经过OA的中点C，∴1＝，∴k＝，∴反比例函数的关系式为y＝；
(2)∵OB＝2，∴D的横坐标为2，代入y＝得y＝，∴D点坐标为，∴BD＝.∵AB＝2，∴AD＝AB－BD＝，∴S△ACD＝AD·BE＝××＝.∴S四边形CDBO＝S△AOB－S△ACD＝OB·AB－＝×2×2－＝.
8．解：(1)过点P1作P1B⊥x轴，垂足为B.∵点A1的坐标为(4，0)，△P1OA1为等腰直角三角形，∴OB＝2，P1B＝OA1＝2，∴P1的坐标为(2，2)．将P1的坐标代入反比例函数y＝(k>0)，得k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；
(2)①过点P2作P2C⊥x轴，垂足为C，∵△P2A1A2为等腰直角三角形，∴P2C＝A1C.设P2C＝A1C＝a，则P2的坐标为(4＋a，a)．将P2的坐标代入反比例函数的解析式y＝中，得a＝，解得a1＝2－2，a2＝－2－2(舍去)，∴P2的坐标为(2＋2，2－2)；②在第一象限内，当29．C 10.－6
11．6 解析：∵点P的坐标为(6，3)，∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入反比例函数y＝，得点A的纵坐标为，点B的横坐标为，即AM＝，NB＝.∵S四边形OAPB＝12，即S矩形OMPN－S△OAM－S△NBO＝12，∴6×3－×6×－×3×＝12，解得k＝6.
12. 解析：∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC，BC＝OA.∵A、C的坐标分别是(4，0)和(0，2)，∴OA＝4，OC＝2.∵P是矩形对角线的交点，∴P点的坐标是(2，1)．∵反比例函数y＝(x＞0)的图象过对角线的交点P，∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝.∵D，E两点在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴D点的坐标是，E点的坐标是(1，2)，∴S△ODE＝S矩形OABC－S△AOD－S△COE－S△BDE＝4×2－×2－×2－××3＝.
13．解：(1)∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，∴点D的坐标是(1，2)．∵双曲线y＝(k≠0，x>0)过点D，∴2＝，得k＝2，即双曲线的解析式是y＝(x>0)；
(2)∵直线AC交y轴于点E，∴S△CDE＝S△EDA＋S△ADC＝＋＝1＋2＝3，即△CDE的面积是3.
14．解：(1)∵正方形OABC的顶点C的坐标为(0，3)，∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°.∵AD＝2DB，∴AD＝AB＝2，∴D点的坐标为(－3，2)．把D点的坐标代入y＝得m＝－6，∴反比例函数的解析式为y＝－.∵AM＝2MO，∴MO＝OA＝1，∴M点的坐标为(－1，0)．把M点与D点的坐标代入y＝kx＋b中得解得则一次函数的解析式为y＝－x－1；
(2)把y＝3代入y＝－得x＝－2，∴N点坐标为(－2，3)，∴NC＝2.设P点坐标为(x，y)．∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，∴(OM＋NC)·OC＝OM·|y|，即|y|＝9，解得y＝±9.当y＝9时，x＝－10，当y＝－9时，x＝8，则点P的坐标为(－10，9)或(8，－9)．
15．B 解析：由题意得AC＝m－1，CQ＝n，则S四边形ACQE＝AC·CQ＝(m－1)n＝mn－n.∵P(1，4)，Q(m，n)在函数y＝(x>0)的图象上，∴mn＝k＝4(常数)．∴S四边形ACQE＝4－n.∵当m>1时，n随着m的增大而减小，∴S四边形ACQE＝4－n随着m的增大而增大．故选B.
16．5 解析：∵点A1、A2、A3、…、An、An＋1在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，又点A1的横坐标为2，∴点A1的坐标为(2，5)，点A2的坐标为，∴S1＝2×＝5.由题图象知，点An的坐标为，点An＋1的坐标为，∴S2＝2×＝，∴Sn＝2×＝10(n＝1，2，3，…)．∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝10＋10＋…＋10＝10＝.
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