江西省南昌市进贤县第一中学2019-2020学年高一下学期第三次月考数学（文）试卷word含答案

文科数学试卷
一、单选题
1．已知数列，1，，，，…，，…，则3是它的(　　)．
A．第22项
B．第23项
C．第24项
D．第28项
2．若数列{an}是等差数列，且a3＋a7＝4，则数列{an}的前9项和S9等于(　　)
A.
B．18
C．27
D．36
3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin
B＝b，则角A等于(　　)
A.
B.
C.
D.
4．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为(　　)．
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
5．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)
A.
B．5C．6
D．7
6．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　)．
A．103
B.
C.
D．108
7．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　)．
A．X＋Z＝2Y
B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XY
D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin
A＋bsin
BC，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．正三角形
9．已知各项均不相等的等比数列成等差数列，设为数列的前n项和，则等于
A．
B．
C．3
D．1
10．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)
A．2n＋n2－1
B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2
D．2n＋n－2
11．若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(　　)．
A．(1，)
B．(，)
C．(，2)
D．(1,2)
12．已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2(n∈N
且n≥2)，则a81＝(　　)
A．638
B．639
C．640
D．641
二、填空题
13．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．
在等比数列{an}中，若a1＝1，且前3项之和等于21，则该数列的公比q＝_______.
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c若8b＝5c，C＝2B，则cos
C＝________.
16．在数列{an}中a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N
)，则S100＝________.
三、解答题
17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos
B＝.
(1)求a，c的值；
(2)求△ABC的面积．
18．（12分）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn且Sn＋1＝Sn＋1(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{}的前n项和为Tn，求Tn的值．
19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos
B＝，△ABC的周长为5，求b的长．
20．（12分）已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(n∈N
)，记数列{bn}的前n项和为Tn，对于任意的n∈N
，不等式Tn<恒成立，求实数m的最小值．
21．已知等差数列的公差，且，成等比数列，若数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
22．已知在中，角的对边分别为,且.
（1）求的值；
（2）若,求的取值范围.
文科数学答案
一、单选题
1．已知数列，1，，，，…，，…，则3是它的(　　)．
A．第22项
B．第23项
C．第24项
D．第28项
解析　3＝＝.
答案　B
2．若数列{an}是等差数列，且a3＋a7＝4，则数列{an}的前9项和S9等于(　　)
A.
B．18
C．27
D．36
解析：a3＋a7＝2a5＝4，∴a5＝2，S9＝9a5＝18，选B.
答案：B
3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin
B＝b，则角A等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：由已知及正弦定理得2sin
Asin
B＝sin
B，因为sin
B>0，所以sin
A＝.又A∈，所以A＝.
答案：D
4．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为(　　)．
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
解析　由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，
∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos
C，
∴cos
C＝－，∴C＝120°.
答案　C
5．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)
A.
B．5C．6
D．7
解析：连接BD，在△BCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，
∴∠CBD＝30°，BD＝2，
S△BCD＝×2×2×sin
120°＝.
在△ABD中，∠ABD＝120°－30°＝90°，
AB＝4，BD＝2，
∴S△ABD＝AB·BD＝×4×2＝4，
∴四边形ABCD的面积是5.
答案：B
6．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　)．
A．103
B.
C.
D．108
解析　根据题意并结合二次函数的性质可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋，
∴n＝7时，an取得最大值，最大项a7的值为108.
答案　D
7．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　)．
A．X＋Z＝2Y
B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XY
D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析　(特例法)取等比数列1,2,4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入验算，选D.
答案　D
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin
A＋bsin
BC，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．正三角形
解析：根据正弦定理＝＝，∴asin
A＋bsin
BC可化为a2＋b2C＝<0，∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故选C.
答案：C
9．已知各项均不相等的等比数列成等差数列，设为数列的前n项和，则等于
A．
B．
C．3
D．1
【详解】设等比数列{an}的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列，
∴2×2a3=3a2+a4，
∴4a2q=3，化为q2﹣4q+3=0，
解得q=1或3．
q=1时，,
q=3时，.
故选A．
10．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)
A．2n＋n2－1
B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2
D．2n＋n－2
解析：Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.
答案：C
11．若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(　　)．
A．(1，)
B．(，)
C．(，2)
D．(1,2)
解析　由正弦定理得：＝，∴a＝2sin
A.
∵C＝60°，∴0°＜A＜120°.
又∵△ABC有两个，∴asin
60°＜＜a，即＜a＜2.
答案　C
12．已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2(n∈N
且n≥2)，则a81＝(　　)
A．638
B．639
C．640
D．641
解析：由已知Sn－Sn－1＝2可得，－＝2，∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故选C.
答案：C
二、填空题
13．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．
解析：如图，∠C＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，＝.
得AC＝.
答案：
在等比数列{an}中，若a1＝1，且前3项之和等于21，则该数列的公比q＝_______.
答案　4或-5
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c若8b＝5c，C＝2B，则cos
C＝________.
解析：由正弦定理＝及8b＝5c，得8sin
B＝5sin
C，
又C＝2B，∴sin
C＝2sin
Bcos
B，
∵cos
C＝cos
2B≠0，∴cos
B＝，
∴sin
C＝2cos2B－1＝2×2－1＝.
答案：
16．在数列{an}中a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N
)，则S100＝________.
解析：an＋2－an＝1＋(－1)n，当n为奇数时，an＋2－an＝0，所以an＝a1＝1，当n为偶数时，an＋2－an＝2，则a2k＝a2＋2(k－1)＝2k，所以an＝n，S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50＋＝2
600.
答案：2
600
三、解答题
17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos
B＝.
(1)求a，c的值；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，
得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos
B)，
又b＝2，a＋c＝6，cos
B＝，
所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.
(2)在△ABC中，sin
B＝＝，
18．（12分）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn且Sn＋1＝Sn＋1(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{}的前n项和为Tn，求Tn的值．
解：(1)由Sn＋1＝Sn＋1，知当n≥2时Sn＝Sn－1＋1，
∴Sn＋1－Sn＝(Sn－Sn－1)，即an＋1＝an，
∴＝，a1＝1，得S2＝a1＋1＝a1＋a2，
∴a2＝，∴＝.
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
∴an＝n－1.
(2)∵数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
∴数列{}是首项为1，公比为的等比数列，
∴Tn＝＝3.
19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos
B＝，△ABC的周长为5，求b的长．
解　(1)由正弦定理，设＝＝＝k，
则＝＝，
所以＝.
即(cos
A－2cos
C)sin
B＝(2sin
C－sin
A)cos
B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，
所以sin
C＝2sin
A，因此＝2.
(2)由＝2得c＝2a.
由余弦定理及cos
B＝得
b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2.
所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.
20．（12分）已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(n∈N
)，记数列{bn}的前n项和为Tn，对于任意的n∈N
，不等式Tn<恒成立，求实数m的最小值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题设d>0，
由a2＋a7＝16得2a1＋7d＝16　　　①
由a3a6＝55得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55　　　②
由①得2a1＝16－7d将其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220，
得d2＝4，又d>0，∴d＝2代入①得a1＝1，
∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1(n∈N
)．
(2)由(1)得an＝2n－1，
∴bn＝＝＝＝－，
∴Tn＝＋＋…＋
＝1－<1，
由Tn<恒成立，则≥1，∴m≥100，
故m的最小值为100.
21．已知等差数列的公差，且，成等比数列，若数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【详解】（1）；（2）
（1）因为，所以由等差数列的性质得，即．
因为成等比数列，
所以，即，
又，所以，
所以．
（2）因为，
所以当时，，所以．
当时，由，
得，
所以，
所以，
，
所以
，
所以．
22．已知在中，角的对边分别为,且.
（1）求的值；
（2）若,求的取值范围.
【解析】（1）（2）
（1）由，
应用余弦定理，可得
化简得则
（2）
即
所以
法一.,
则
=
=
=
又
法二
因为
由余弦定理
得，
又因为，当且仅当时“”成立.
所以
又由三边关系定理可知
综上