人教版2020年春数学八年级上册13．3．2 等边三角形（2）（共27张PPT）

(共27张PPT)
13.3.2
等边三角形
直角三角形的性质
人教版数学八年级上册
1.探索含30°角的直角三角形的性质．
2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.
学习目标
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
如图，显然，△ADC与△ABC关于AC成轴对称图形，
因此AB=AD,
∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD=
AB.
你还能用其他方法证明吗？
含30°角的直角三角形的性质
探究新知
证明：延长BC
到D，使BD
=AB，连接AD.
在△ABC
中，∵　∠C
=90°，∠A
=30°,
∴　∠B
=60°．∴△ABD
是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
已知：如图，在Rt△ABC
中，∠C
=90°，∠A
=30°.
求证：BC
=
AB．
A
B
C
D
证明方法：倍长法
∴BC
=
AB．　　
∴BC
=
BD．　　
方法一：
倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……
倍长法
方法点拨
E
A
B
C
证明：
在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵
∠B=
60°
，BE=BC.
∴
△BCE是等边三角形，
∴
∠BEC=
60°，BE=EC.
∵
∠A=
30°，
∴
∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30°
=
30°.
∴
AE=EC，
∴
AE=BE=BC，
∴
AB=AE+BE=2BC.
∴　BC
=
AB．　　
证明方法：截半法
方法二：
探究新知
在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.
截半法
方法点拨
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
∵　在Rt△ABC
中，∠C
=90°，∠A
=30°，
应用格式：
∴　BC
=
AB．　　
A
B
C
归纳新知
例1
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.
考点探究1
利用含30°角的直角三角形的性质求线段的值
A
B
C
D
探究新知
1.
△ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA
⊥BA于A，BD=9.6cm，则AD=
.
B
C
D
4.8cm
B
C
D
A
A
2.如图∠C=90°，D是CA的延长线上的一点，∠BDC=15°，且AD=AB，则BC=
AD.
巩固练习
例2
如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A．3
B．2
C.1.5
D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.
又∵PC＝3，
∴PE＝1.5.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝1.5.
E
C
探究新知
含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
归纳新知
3.如图，在△ABC
中，∠ACB
=90°，CD
是高，∠A
=30°，AB
=4．则BD
=
.
1
A
B
C
D
?
巩固练习
4.已知:等腰三角形的底角为15
°,腰长为20.求腰上的高.
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15°
(已知),
∴∠DAC=
∠B+
∠ACB=
15°+15°=30°，
A
C
B
D
15
°
15
°
20
)
)
∴CD=
AC=
×20=10.
例3
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：
∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，
探究新知
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝
∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴CD＝
AD＝
BD，即CD＝
DB.
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
归纳新知
5.Rt△ABC
中，∠C
=90°，∠B
=2∠A，∠B
和∠A
各是多少度？边AB
与BC
之间有什么关系？　　　
证明：∵∠B+∠A
=180°–
∠C=90°，
∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°.
∴
AB=2BC.
巩固练习
例4　如图是屋架设计图的一部分，点D
是斜梁AB
的中点，立柱BC，DE
垂直于横梁AC，AB
=7.4
cm，∠A
=30°，立柱BC、DE
有多长？
A
B
C
D
E
考点探究2
利用直角三角形的性质解决实际问题
图中BC、DE
分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
探究新知
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC,BC
⊥AC,
∠A=30
°，
∴BC=
AB,
DE=
AD.
∴BC=
AB=
×7.4=3.7(m).
又AD=
AB,
∴DE=
AD=
×3.7=1.85
(m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=　．
解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH=EC=1，∠AOB=30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，
∴OF=EF=2．
2
H
连接中考
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(
)
A．6米
B．9米
C．12米
D．15米
2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(
)
A．300a元
B．150a元
C．450a元
D．225a元
B
B
课堂检测
基础题
3.在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:2:3,若AB=10,则BC
=
.
5
4.如图，Rt△ABC中，∠A=
30°，
AB+BC=12cm，则AB=______cm.
8
A
C
B
第4题图
1.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC=
AE=
BE=2.5．
提升题
2.在
△ABC中
，AB=AC，∠BAC=120°
，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵
D是BC的中点，∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.
如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,
求证:BP=2PQ.
∴△ADC≌△BEA.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴
AC=BC=AB
,∠C=∠BAC=60°，
∵CD=AE，
拓展题
∴∠CAD=∠ABE.
∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
又∵
BQ⊥AD，
∴BP=2PQ.
∴∠PBQ=30°，
∴∠BQP=90°，