高一数学（人教A版）8.6空间直线、平面的垂直习题课-PPT课件（68张）

(共68张PPT)
高一年级
数学
空间直线、平面的垂直习题课
一、知识回顾
1.异面直线所成角
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线
∥a，
∥b，我们把直线
与
所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
2.线面所成角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
3.二面角及二面角的平面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
4.空间中三种垂直
线线垂直
线面垂直
面面垂直
5.点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
6.直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
7.平行平面间的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
8.直线与平面垂直的定义
定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．
线线垂直
线面垂直
定义
9.直线与平面垂直的判定定理
定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
线面垂直
线线垂直
判定
10.直线与平面垂直的性质定理
定理
垂直于同一个平面的两条直线平行．
线线平行
线面垂直
性质
11.平面与平面垂直的判定定理
定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
面面垂直
线面垂直
判定
12.平面与平面垂直的性质定理
定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
线面垂直
面面垂直
性质
线线垂直
线面垂直
面面垂直
判定
定义
判定
性质
线线平行
性质
垂直定义
空间垂直关系转化结构图
直二面角
二、例题精讲
例
题　选择题
（1）若空间中四条不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，
l2⊥l3，l3⊥l4，则下面结论正确的是（
）．
（A）l1⊥
l4
（B）l1∥
l4
（C）l1，l4既不垂直也不平行
（D）l1，l4的位置关系不确定
D
异面直线垂直定义
线线垂直
线面垂直
定义
l4可以是平面CC1D1D内的任意一条直线
本题小结
通过此题的分析，我们可以深切地体会到，高中所学习的立体几何知识，可以拓宽我们的视野，增加我们对几何认知的维度，提升我们空间想象能力．
（2）已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（
）．
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
B
线面垂直
面面垂直
判定
性质
本题小结
通过这个题目，我们可以感受到定理之间密切的联系，所以对于解决此类空间垂直问题，充分理解并掌握定理是至关重要的．
分析：
思路一：异面直线所成角
例
题　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q分别为棱AD，CC1的中点．求证
A1P⊥BQ．
线线垂直
线面垂直
定义
A1P垂直BQ所在平面？
BQ垂直A1P所在平面？
思路二：
解析答案
证明：如图，设E为BC的中点，连接
B1E，易证A1P∥B1E，又知在正方形
BCC1B1中B1E⊥BQ．所以A1P⊥BQ．
（提示：Rt△B1BE≌Rt△BCQ）
本题小结
本题考查我们对证明空间中两直线垂直方法的理解与掌握．可供我们选择的方法有两种，一种是异面直线所成角的定义，一种是线面垂直的性质定理，我们要选择一个适合题目的方法进行解答，这也要求我们不但要熟练掌握这些定理与方法，同时还要正确且迅速的做出选择．
线线垂直
线面垂直
判定
分析：
思路一：异面直线所成角
思路二：
例
题　如图，在三棱锥P-ABC中，CD⊥AB，垂足为D，PO⊥底面ABC，垂足为O，且O在CD上，求证AB⊥PC．
定义
PO⊥底面ABC
PO
平面PCD
要证
需证
CD⊥AB
需证
线线垂直
线面垂直
判定
定义
AB⊥PC
AB垂直PC所在平面
AB⊥平面PCD
PC垂直AB所在平面
PO⊥AB
解析答案
证明：∵　PO⊥平面ABC，AB
平面ABC，
∴　PO⊥AB．
又　CD⊥AB，PO∩CD=O，
PO
平面PDC，CD
平面PDC，
∴　AB⊥平面PDC．
又　PC
平面PDC，
∴
AB⊥PC．
本题小结
本题虽然和上一道例题都是证明线线垂直的问题，但是方法上有所不同，相比较异面直线所成角的方法，通过线线垂直与线面垂直之间的联系解决本题更为恰当，我们采取了从问题出发的方式，也就是分析法，分析法对于证明题的分析非常地有针对性．在我们以后解决问题时，也可以多多使用．
　　在整个分析过程中，我们发现有一些条件是直接能给我们一些启发的，方便进行方法上的选择，有一些条件则需要我们进一步挖掘它所产生的结论，给我们的证明过程提供充足的条件，所以我们在解题时，一定要果断决策，多看条件，逐步分析，串联过程．
本题小结
例
题　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
（1）B1D⊥平面A1BC1；
（2）B1D与平面A1BC1的交点H
是△A1BC1的重心．
例
题　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
（1）B1D⊥平面A1BC1；
线线垂直
线面垂直
判定
定义
面面垂直
判定
性质
B1D⊥平面A1BC1
要证
需证
B1D⊥A1C1？
B1D⊥A1B？
B1D⊥BC1？
需证
A1C1垂直B1D所在的平面
分析：
异面直线所成角垂直
需证
解析答案
证明：（1）方法一：
连接B1D1，则B1D1⊥A1C1，
又　DD1⊥平面A1B1C1D1，
∴　DD1⊥A1C1．
∴
A1C1⊥平面D1DB1．
∴　A1C1⊥B1D．
解析答案
同理可证B1D⊥A1B，
∴　B1D⊥平面A1BC1．
证明：
（1）方法二：连接B1D1交A1C1于点O，
取DD1中点E，连接EO，EC1，设正方
体棱长为a．
∵　点O、点E分别是线段B1D1、线段
DD1的中点，
∴　OE是△
B1D
D1的中位线，
解析答案
∴　OE∥B1D，
∴　∠EOC1为B1D与A1C1所成角．
∵
正方体棱长为a，
∴　OE=
，OC1=
，EC1=
．
∴　OE2+OC12=EC12．
∴　EO⊥OC1．
解析答案
解析答案
故　A1C1⊥B1D．
同理可证B1D⊥A1B，
∴　B1D⊥平面A1BC1．
例
题　
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
（2）B1D与平面A1BC1的交点H是
△A1BC1的重心．
△A1BC1为等边三角形
重心、垂心、
、内心
正方体ABCD-A1B1C1D1
B1-A1BC1为正三棱锥
外心
分析：
证明：（2）连接A1H，BH，C1H．
∵　A1B1=BB1=C1B1，
∴　A1H=BH=C1H．
∴　点H为△A1BC1的外心．
又　△A1BC1为正三角形，
∴　H是△A1BC1的重心．
解析答案
本题小结
本题考查我们对于空间垂直定理的理解与掌握，以及利用立体几何解决平面几何问题的能力，本题在分析求解的过程中，利用分析法，从问题出发，需要不断地结合已知条件将所求问题进行转化求解，提升了我们的转化思维．第（1）问，线面垂直问题是连接线线垂直与面面垂直的重要桥梁，需要我们转化为线线垂直与面面垂直问题．
本题小结
　　第（2）问结合已知条件把重心转化为外心，使问题得到解决，所以对于很多题目，转化思维是必不可少的，我们一定要细致地分析，并进行经验总结，之后遇到类似的问题也就能迎刃而解了．
例题　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）求侧面PBC与底面ABCD所成
二面角的余弦值．
例题　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
线线垂直
线面垂直
面面垂直
判定
定义
判定
性质
侧面PAD⊥底面ABCD
AM⊥PD
底面ABCD为正方形
CD⊥平面PAD
AM⊥CD
分析：
解析答案
证明：（1）∵　底面ABCD为正方形，
∴　CD⊥AD．
∵　平面PAD⊥平面ABCD，
　　平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴　CD⊥平面PAD．
∵　AM
平面PAD，
∴　CD⊥AM．
∵　侧面PAD是正三角形，且M是PD
　　的中点，
∴　AM⊥PD．
∵　CD
平面PCD，
PD　平面PCD，CD∩PD=D，
∴　AM⊥平面PCD．
解析答案
例
题　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．
（2）求侧面PBC与底面ABCD所成
二面角的余弦值．
分析：欲求二面角，重点是转化为二面角的平面角．
Rt△PAB≌Rt△PDC
PB=PC
取BC中点N
取AD中点O
∠PNO
∠PNO
侧面PAD⊥底面ABCD
取AD中点O
PO⊥底面ABCD
BC⊥PO
取BC中点N
ON⊥BC
BC⊥平面PON
BC⊥PN
思路一：
思路二：
解析答案
解：（2）设AB=a，取AD中点O，BC
　　中点N，连接PN，NO，OP．
∵　底面ABCD为正方形，点O，N分
　　别为AD，BC的中点，
∴　ON⊥AD，ON⊥BC
　　且ON=AB=CD=a．
∵　侧面PAD是正三角形，
∴　PO⊥AD．
∵　平面PAD⊥平面ABCD，
　　平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴　PO⊥平面ABCD．
又
　BC
平面ABCD，ON
平面ABCD，
∴　PO⊥BC，PO⊥ON．
解析答案
∵
PO
平面PON，ON
平面PON，
PO∩ON=O，ON⊥BC，
PO⊥BC，
∴　BC⊥平面PON．
又　PN
平面PON，
∴　BC⊥PN．
故　∠PNO是所求二面角的平面角．
∵
PO⊥ON，
解析答案
解析答案
∴
△PON为直角三角形．
∵　PO=　　，ON=a，
PO
2+ON
2=PN
2．
∴
PN=
．
∴　cos∠PNO=
．
解析答案
故　侧面PBC与底面ABCD所成二面角
　　的余弦值为　　．
本题小结
对于立体几何的综合题目，切勿“埋头苦做”，多多“抬头看题”，解题思路也许有很多种，但我们还是要看看哪些条件在我们抉择时能给我们一定的启发，帮助我们选择最适合的方法．在垂直这部分知识中，线线垂直、线面垂直、面面垂直相互关联，我们要尽可能的去挖掘题目中的垂直条件，帮助我们利用这些定理来转化问题，解决问题．
例题　如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，
PA⊥底面ABC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AC=BC=PA，M是PB的中
点，求AM与平面PBC所成角的正
切值．
例题　如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，
PA⊥底面ABC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
分析：
PA⊥底面ABC
线线垂直
线面垂直
面面垂直
判定
定义
判定
性质
BC⊥AC
BC⊥PA
BC⊥平面PAC
解析答案
（1）证明：
∵　PA⊥平面ABC，BC　平面ABC，
∴　PA⊥BC．
∵　∠ACB=90°，
∴　BC⊥AC．
又　AC∩PA=A，AC
平面PAC，
PA
平面PAC，
∴　BC⊥平面PAC．
∵　BC
平面PBC，
∴　平面PAC⊥平面PBC．
解析答案
例
题　如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，
PA⊥底面ABC．
（2）若AC=BC=PA，M是PB的中点，
求AM与平面PBC所成角的正切值．
分析：要想作出线面所成角，需要具备哪些元素？
垂线与射影
平面PBC的垂线
，AC=PA
取PC中点D，连接AD，DM
线面垂直
面面垂直
判定
性质
∠AMD
平面PAC⊥平面PBC　
解析答案
（2）解：设AC=BC=PA=2a，取PC中点D，连接AD，DM．
∵　PA=AC，D为PC中点，
∴　AD⊥PC．
由（1）知，平面PAC⊥平面PBC，
且平面PAC∩平面PBC=PC，
∴　AD⊥平面PBC．
故
∠AMD是AM与平面PBC所成的角．
∵　PA⊥平面ABC，AC
平面ABC，
∴　PA⊥AC．
∵　AC=PA=2a，
∴　AD=
a．
∵　点D，M分别是PC，PB的中点，
∴　DM是△PBC的中位线．
∴　DM=
BC=a.
解析答案
∵　AD⊥平面PBC
，MD
平面PBC，
∴　AD⊥MD．
∴
△ADM为直角三角形．
∴　tan∠AMD=
　
．
故
　AM与平面PBC所成角的正切值为　．
解析答案
本题小结
本题考查了证明面面垂直以及求解线面所成角的问题．这样的题目虽然很综合，但我们在思考中，还是要回归本源，回归到定义，定理以及性质上，再结合题目的已知条件，“顺藤摸瓜”，明确题目的解题思路，准确、快速解决问题．
本节小结
本节课我们学习了如何解决空间直线、平面垂直关系问题，请大家思考以下几个问题：
（1）在解决空间直线、平面垂直关系问题中，运用了哪些知识？
（2）在解决空间直线、平面垂直关系问题中，怎样寻找并确定解题思路？
本节小结
（3）在本节课中，通过我们对空间垂直关系问题的分析，目的是要培养同学们逻辑推理以及直观想象核心素养．你能谈谈你的收获吗？
本节小结
在解决空间直线、平面垂直关系问题中，我们运用了异面直线所成角、线面所成角、二面角、以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的定义、判定定理和性质定理，更多的是运用这些定理之间的密切联系，结合题目中的已知条件，去寻找解题的思路和方法．切不可“盲目”，也不可“埋头苦做”，更不要轻言放弃．
本节小结
　　相信同学们通过这节课的学习，会对空间中直线、平面的垂直问题有新的体会与认识，在今后的学习过程中，通过不断地实践和总结，可以使得空间中的垂直问题迎刃而解．
三、作业
作业
1.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，l
α，l
β，则（
）．
（A）α∥β，l∥α
（B）α与β相交，且交线平行于l
（C）α⊥β，l⊥β
（D）α与β相交，且交线垂直于l
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=4，A1在底面ABC的射影为
BC的中点，D为B1C1的中点．
（1）求证：A1D⊥平面A1BC；
（2）求直线A1B与平面BCC1B1
所成角的正弦值．
作业