第二节 函数的单调性与最值
1.下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－
D．f(x)＝－|x|
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1，2]
B．[－1，0]
C．[0，2]
D．[2，＋∞)
3．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，
则实数a的取值范围是( )
A.
B．[－6，－4]
C．[－3，－2]
D．[－4，－3]
4．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，
则满足f(2x－1)
A.
B.
C.
D.
5．定义新运算“?”：当a≥b时，a?b＝a；当a则函数f(x)＝(1?x)x－(2?x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )
A．－1
B．1
C．6
D．12
6．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x)≤0的解集是______．
7．已知函数f(x)＝x3＋(a>0)的最小值为8，则实数a＝________．
8．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
9.已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)
上一定( )A．有最小值B．有最大值C．是减函数
D．是增函数
10．已知函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，3]
B．(－∞，3)C．(3，＋∞)
D．[1，3)
11．设函数f(x)＝的图象过点(1，1)，函数g(x)是二次函数，若函数f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是________．
12．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
13．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．
第二节 函数的单调性与最值
1.下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x
B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－
D．f(x)＝－|x|
解析：选C 对于A，当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；对于B，当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
对于C，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
对于D，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1，2]
B．[－1，0]
C．[0，2]
D．[2，＋∞)
解析：选A 由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1，2]．
3．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( )
A.
B．[－6，－4]
C．[－3，－2]
D．[－4，－3]
解析：选B 易知函数f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－∈[2，3]，即a∈[－6，－4]．
4．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)A.
B.
C.
D.
解析：选D 因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)所以0≤2x－1<，解得≤x<.
5．定义新运算“?”：当a≥b时，a?b＝a；当aA．－1
B．1
C．6
D．12
解析：选C 由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；
当1因为f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数，所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
6．(2020届西藏日喀则市三校月考)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x)≤0的解集是________．
解析：因为f(x)是R上的偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减；又因为f(1)＝f(－1)＝0，所以f(x)≤0可转化为f(|x|)≤f(1)，所以|x|≤1，所以x∈[－1，1]．
答案：[－1，1]
7．已知函数f(x)＝x3＋(a>0)的最小值为8，则实数a＝________．
解析：由x－a≥0，得x≥a，故函数的定义域为[a，＋∞)．易知函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝a3＝8，解得a＝2.
答案：2
8．(2019届唐山模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
解析：由题意知g(x)＝函数图象如图所示，由图象知其递减区间是[0，1)．
答案：[0，1)
9.已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定( )
A．有最小值
B．有最大值
C．是减函数
D．是增函数
解析：选D 由题意知a<1，则g(x)＝＝x＋－2a，若a≤0，则g(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递增，即在(1，＋∞)上单调递增；若0＜a＜1，则g(x)在(，＋∞)上单调递增，即在(1，＋∞)上单调递增．综上，g(x)在(1，＋∞)上单调递增．故选D.
10．已知函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3]
B．(－∞，3)
C．(3，＋∞)
D．[1，3)
解析：选D 由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0，得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，所以函数f(x)在R上单调递减，所以解得1≤a<3.故选D.
11．设函数f(x)＝的图象过点(1，1)，函数g(x)是二次函数，若函数f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，则函数g(x)的值域是________．
解析：
因为函数f(x)＝的图象过点(1，1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，所以f(x)＝画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f(x)的值域为(－1，＋∞)，f[g(x)]的值域为[0，＋∞)，
因为g(x)是二次函数，
所以g(x)的值域是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
12．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：设x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)设1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为a>0，x2－x1>0，所以要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1.
综上所述，013．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝
当x∈[0，2]时，－1≤f(x)≤0，当x∈[2，3]时，0≤f(x)≤7，所以f(x)在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.
(2)因为f(x)＝
又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，
所以当x>2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4；
当－1即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，
故a的取值范围为[－4，－2].
14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．
(1)求F(x)的表达式；
(2)当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．
解：(1)因为f(－1)＝0，所以－a＋b－1＝0，
所以b＝a＋1，所以f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.
因为对任意实数x均有f(x)≥0恒成立，
所以所以
所以a＝1，从而b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋1，
所以F(x)＝
(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.
因为g(x)在[－2，2]上是单调函数，
所以≤－2或≥2，解得k≤－2或k≥6.
故k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． 指数和指数函数
1、若x,y,z为正实数,且3x=4y=12z,∈(n,n+1),n∈N,则n的值是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
2、设a=log2
018,b=log2
019,c=2
01,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.c>b>a
3、函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的图象恒过点A,则下列函数中图象不经过点A的是( )
A.y=
B.y=|x-2|
C.y=2x-1
D.y=log2(2x)
4、设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,
则M=(a-1)0.2与N=的大小关系是( )
A.M=N
B.M≤N
C.MD.M>N
5、若2x+5y≤2-y+5-x,则有( )
A.x+y≥0
B.x+y≤0
C.x-y≤0
D.x-y≥0
6、已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )
A.aB.aC.cD.b7、已知函数f(x)满足:
f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.( )
A.若f(a)≤|b|,则a≤b
B.若f(a)≤2b,则a≤b
C.若f(a)≥|b|,则a≥b
D.若f(a)≥2b,则a≥b
8、已知实数x,y满足axA.x3>y3
B.sin
x>sin
y
C.ln(x2+1)>ln(y2+1)
D.>
9、已知0A.ba
B.aa
C.ab
D.bb
10、设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A,B,若在函数y=2x的图象上存在点C,使得△ABC为等边三角形,则这样的直线l?( )
A.至少有一条 ?
B.至多有一条
C.有且只有一条 ????D.有无数条
11、已知函数f(x)=(a∈R)的图象关于点对称,则a的值为（
）
A.2
B.3
C.1
D.
A.a>b>c ????B.b>c>a???C.c>a>b????D.c>b>a
13、设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求k的值;
(2)若f(1)<0,试说明函数f(x)的单调性,并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立时t的取值范围.
15、已知函数f(x)=1-(a>0,且a≠1)且f(0)=0.
(1)求a的值;
(2)若函数g(x)=(2x+1)·f(x)+k有零点,求实数k的取值范围;
(3)当x∈(0,1)时,
f(x)>m·2x-2恒成立,求实数m的取值范围.
指数和指数函数
1、若x,y,z为正实数,且3x=4y=12z,∈(n,n+1),n∈N,则n的值是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案 C
2、设a=log2
018,b=log2
019,c=2
01,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.c>b>a
答案 C
3、函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1)的图象恒过点A,则下列函数中图象不经过点A的是( )
A.y=
B.y=|x-2|
C.y=2x-1
D.y=log2(2x)
答案 A
4、设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,
则M=(a-1)0.2与N=的大小关系是( )
A.M=N
B.M≤N
C.MD.M>N
答案 D
5、若2x+5y≤2-y+5-x,则有( )
A.x+y≥0
B.x+y≤0
C.x-y≤0
D.x-y≥0
答案 B
6、已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )
A.aB.aC.cD.b答案 B
7、已知函数f(x)满足:
f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.( )
A.若f(a)≤|b|,则a≤b
B.若f(a)≤2b,则a≤b
C.若f(a)≥|b|,则a≥b
D.若f(a)≥2b,则a≥b
答案 B
8、已知实数x,y满足axA.x3>y3
B.sin
x>sin
y
C.ln(x2+1)>ln(y2+1)
D.>
答案 A
9、已知0A.ba
B.aa
C.ab
D.bb
答案 C
10、设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A,B,若在函数y=2x的图象上存在点C,使得△ABC为等边三角形,则这样的直线l?( )
A.至少有一条 ?
B.至多有一条
C.有且只有一条 ????D.有无数条
选C
11、已知函数f(x)=(a∈R)的图象关于点对称,则a的值为（
）
A.2
B.3
C.1
D.
答案 C
A.a>b>c ????B.b>c>a???C.c>a>b????D.c>b>a
答案 D
13、设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求k的值;
(2)若f(1)<0,试说明函数f(x)的单调性,并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立时t的取值范围.
答案 (1)由题意知,对任意x∈R,有f(-x)=-f(x),即a-x-(k-1)ax=-ax+(k-1)a-x,
即(k-1)(ax+a-x)-(ax+a-x)=0,也即(k-2)(ax+a-x)=0,
因为x为任意实数,所以ax>0,a-x>0,所以k-2=0,所以k=2.(4分)
(2)由(1)知f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),由f(1)<0,得a-<0,解得0当0所以f(x)=ax-a-x是减函数.
由f(x2+tx)+f(4-x)<0得f(x2+tx)<-f(4-x),
又因为f(x)是奇函数,所以f(x2+tx)因为f(x)是R上的减函数,所以x2+tx>x-4,即x2+(t-1)x+4>0对任意x∈R成立,
所以Δ=(t-1)2-16<0,解得-3所以t的取值范围是(-3,5).(12分)
14、已知函数f(x)=1-(a>0,且a≠1)且f(0)=0.
(1)求a的值;
(2)若函数g(x)=(2x+1)·f(x)+k有零点,求实数k的取值范围;
(3)当x∈(0,1)时,
f(x)>m·2x-2恒成立,求实数m的取值范围.
答案 (1)对于函数f(x)=1-(a>0,a≠1),由f(0)=1-=0,得a=2.
(2)由(1)得f(x)=1-=1-.
若函数g(x)=(2x+1)·f(x)+k=2x+1-2+k=2x-1+k
有零点,
则函数y=2x的图象和直线y=1-k有交点,
∴1-k>0,解得k<1.
∴k的取值范围是(-∞,1).
(3)当x∈(0,1)时,
f(x)>m·2x-2恒成立,即1->m·2x-2恒成立.
令t=2x,则t∈(1,2),∴m<-==+.
∵y=+在t∈(1,2)上单调递减,
∴+>+=,∴m≤.
∴m的取值范围是.第三节 函数的奇偶性与周期性
1.下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝x3＋1
B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝xsin
x
2．函数f(x)＝的图象( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝x对称
3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝2x2，则f(2
019)等于( )
A．－2
B．2
C．－98
D．98
4．(2019届福建龙岩模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)．若f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
5．(2019届山东济南模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[－3，1]
B．[－4，2]
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
6.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e－x
B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex)
D.(ex－e－x)
7．(2019届山东滨州模拟)设奇函数f(x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1，0)∪(0，1)
8．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)＝________．
9．若函数f(x)＝xln(x＋
)为偶函数，则a＝________.
10．若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(2)＝________．
11．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________．
12．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
13．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
(1)证明：y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．
14．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
第三节 函数的奇偶性与周期性
1.下列函数为奇函数的是( )
A．f(x)＝x3＋1
B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝xsin
x
解析：选B 对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin
x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.
2．函数f(x)＝的图象( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝x对称
解析：选B 因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．
3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝2x2，则f(2
019)等于( )
A．－2
B．2
C．－98
D．98
解析：选B 由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，
所以f(2
019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．
由－1∈(－2，0)，得f(－1)＝2，∴f(2
019)＝2.
4．(2019届福建龙岩模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)．若f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：选A 由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)>1，所以f(1)<－1，所以a2－2a－4<－1，解得－15．(2019届山东济南模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[－3，1]
B．[－4，2]
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
解析：选A 因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．由f(m＋2)≥f(x－1)且f(x)在[1，＋∞)上单调递减，得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|对任意的x∈[－1，0]恒成立，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.
6.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝( )
A．ex－e－x
B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex)
D.(ex－e－x)
解析：选D 因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．
7．(2019届山东滨州模拟)设奇函数f(x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1，0)∪(0，1)
解析：选D ∵奇函数f(x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，∴函数f(x)的图象关于原点对称，且过点(1，0)和(－1，0)，且f(x)在(－∞，0)上也是增函数，∴函数f(x)的大致图象如图所示．∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式<0可化为<0，即xf(x)<0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围，据图象可知x∈(－1，0)∪(0，1)．
8．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)＝________．
解析：∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是奇函数，
∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，
f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，
∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.
答案：2
9．若函数f(x)＝xln(x＋
)为偶函数，则a＝________.
解析：由于f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋)为奇函数，所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，
则ln(a＋x2－x2)＝0，所以a＝1.
答案：1
10．若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(2)＝________．
解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又f(x)在R上的周期为2，∴f(2)＝f(0)＝0.
又f＝f＝－f＝－4＝－2，
∴f＋f(2)＝－2.
答案：－2
11．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________．
解析：由f(x)＝ln(1＋|x|)－，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|)．
当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由f(|x|)＞f(|2x－1|)，得|x|＞|2x－1|，两边平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1.
答案：
12．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝
x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1，3]．
13．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
(1)证明：y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值；
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值．
解：(1)证明：由f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，得－f＝f＝f，可得f(3＋x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，
又T＝3是y＝f(x)的一个周期，
所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，
且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数，故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，所以a＝0.
14．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2等价于f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴0<|x－1|<16，解得－15∴x的取值范围是{x|－151.函数y＝
的定义域是( )
A．[1，2]
B．[1，2)
C.
D.
2．已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(0，1)
C.
D．(3，＋∞)
3．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜b＜a
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度
满足m2－m1＝lg
，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等
是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1
B．10.1
C．lg
10.1
D．10－10.1
5．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则( )
A．(a－1)(b－1)＜0
B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0
D．(b－1)(b－a)＞0
6．函数f(x)＝的图象大致是( )
7．计算：lg
0.001＋ln＋2－1＋log23＝________．
8．已知函数y＝loga(x－1)(a＞0，a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b
的图象上，则f(log23)＝________．
9．若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的
值为________．
10．关于函数f(x)＝lg
(x≠0，x∈R)有下列命题：
①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；
③函数f(x)的最小值为lg
2；
④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数．
其中是真命题的序号为________．
11．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值．
12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)＞－2.
13．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性．
第六节 对数与对数函数
1.(2019届平顶山模拟)函数y＝
的定义域是( )
A．[1，2]
B．[1，2)
C.
D.
解析：选C 由题意得解得x≥.
2．已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B．(0，1)
C.
D．(3，＋∞)
解析：选D 由于a＞0，且a≠1，
所以u＝ax－3为增函数，
所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，所以a＞1.
又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，
所以a－3＞0，即a＞3.
3．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜b＜a
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
解析：选A 因为a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2，b＝log38＞1，c＝0.30.2＜1，所以c＜b＜a.故选A.
4．(2019年北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg
，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1
B．10.1
C．lg
10.1
D．10－10.1
解析：选A 依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，
所以lg
＝－1.45－(－26.7)＝25.25，
所以lg
＝25.25×＝10.1，所以＝1010.1.故选A.
5．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则( )
A．(a－1)(b－1)＜0
B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0
D．(b－1)(b－a)＞0
解析：选D 由a，b＞0且a≠1，b≠1，及logab＞1＝logaa可得，当a＞1时，b＞a＞1；当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1，
代入验证只有D满足题意．
6.(2020届惠州市高三调研)函数f(x)＝的图象大致是( )
解析：选B 解法一：函数f(x)的定义域为x∈(0，1)∪(1，＋∞)，故排除A；f(100)＝>0，排除C；f＝>0，排除D.故选B.
解法二：设g(x)＝x－ln
x－1，则g(1)＝0，g′(x)＝1－，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．所以当x∈(0，1)∪(1，＋∞)时，g(x)>g(1)＝0.所以f(x)＝的定义域为x∈(0，1)∪(1，＋∞)，且f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f(x)>0，故选B.
解法三：f(x)＝的定义域为x∈(0，1)∪(1，＋∞)，故排除A；当x→0时，(x－ln
x－1)→＋∞，f(x)→0，排除D；当x→＋∞时，x－ln
x－1>0，所以f(x)＝>0，排除C.故选B.
7．计算：lg
0.001＋ln＋2－1＋log23＝________．
解析：原式＝lg
10－3＋＝－3＋＋＝－1.
答案：－1
8．已知函数y＝loga(x－1)(a＞0，a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(log23)＝________．
解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，所以f(x)＝2x－4，从而f(log23)＝3－4＝－1.
答案：－1
9．若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________．
解析：因为0＜a＜1，所以函数f(x)是定义域上的减函数，所以f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga(2a)，所以1＝3loga2a?a＝(2a)3，所以8a2＝1，所以a＝.
答案：
10．关于函数f(x)＝lg
(x≠0，x∈R)有下列命题：
①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②在区间(－∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；
③函数f(x)的最小值为lg
2；
④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是增函数．
其中是真命题的序号为________．
解析：∵函数f(x)＝lg(x≠0，x∈R)，显然f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；当x＞0时，f(x)＝lg＝lg＝lg，令t(x)＝x＋，x＞0，则t′(x)＝1－，可知当x∈(0，1)时，t′(x)＜0，t(x)单调递减，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，t′(x)＞0，t(x)单调递增，f(x)单调递增，即f(x)在x＝1处取得最小值lg
2.由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.
答案：①③④
11．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数．
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)＞－2.
解：(1)当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝log(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以当x＜0时，f(x)＝log
(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)＞－2可化为f(|x2－1|)＞f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以0＜|x2－1|＜4，解得－＜x＜且x≠±1，
而x2－1＝0时，f(0)＝0＞－2，
所以－＜x＜.
13．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的单调性．
解：(1)由ax－1＞0，得ax＞1，当a＞1时，x＞0；
当0＜a＜1时，x＜0.
所以当a＞1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0＜a＜1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．
(2)当a＞1时，设0＜x1＜x2，则1＜ax1＜ax2，
故0＜ax1－1＜ax2－1，
所以loga(ax1－1)＜loga(ax2－1)．所以f(x1)＜f(x2)．
故当a＞1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
类似地，当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
综上，函数f(x)在定义域上单调递增．