人教版九年级数学下册 27.2.1相似三角形的判定——三边成比例或两边成比例且夹角相等的两个三角形相似课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
27.2.1
相似三角形的判定
第2课时
三边成比例或两边成比例
且尖角相等的两个三角形相似
27
相
似
学习目标
教学分析
1.经历探究两个三角形相似的过程，获得探究数学结论的体验，进一步发展探究、分析、归纳与归纳能力.
2.掌握两个三角形相似的判定条件：相似三角形的定义和相似三角形的预备定理（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
3.会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题.
导入新课
学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应角和对应边都要一一验证呢？
不需要
导入新课
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个
三角形相似呢？
能
合作探究
探究点一
三边之比相等与
三角形相似
合作探究
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k
倍，
合作探究
度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
这两个三角形是相似的.
在△ABC
和△A'B'C'
中，
求证：
△ABC∽△A'B'C'
合作探究
证明：
在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D＝AB，过点D
作DE∥B'C'，交A'C'于点E，根据前面的结论可得△A'DE∽△A'B'C'.
A'
B'
C'
D
E
A
B
C
合作探究
同理DE＝BC
∴
△A'DE
≌
△ABC
∴
△ABC
∽△A'B'C'
∴
∴
要证明△ABC∽△A'B'C'，可以先作一个与△ABC
全等的三角形，证明它与△A'B'C'
相似，这里所作的三角形是证明的中介，把△ABC
与△A'B'C'
联系起来.
合作探究
由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法：
A'
B'
C'
A
B
C
△ABC
∽
△A'B'C'
合作探究
如果两个三角形的三组对应边的比
相等，那么这两个三角形相似．
合作探究
小组讨论
1
在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻找对应边？
合作探究
反思小结
利用三边的比判定两个三角形相似时，
应先将两个三角形的三边按大小顺序排列，
然后分别计算它们对应边的比，
最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．
合作探究
1.
如图，若
＝
＝
则△______∽△______.
ADE
ABC
针对训练
1
合作探究
2.
若一个三角形的三边长分别为6cm，9cm，7.5cm，
另一个三角形的三边长分别为12cm，18cm，
________时，这两个三角形相似．
15cm
合作探究
3.
（1）根据下面条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，
A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝
21cm．
（2）若（1）中两三角形不相似，那么要使它俩相似，
不改变AC的长，A′C′的长应当改为多少？
答：△ABC与△A′B′C′的三组对应边的比不等，它们不相似;
答：当A′C′＝24cm时，两个三角形相似．
合作探究
探究点二
两边之比及夹角对应
与三角形相似
合作探究
2.改变∠A
或K
值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
利用刻度尺和量角器画△ABC
和△A'B'C'，使∠A＝∠A'，
和
都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC
和B'C'
的长，
1.它们的比等于k
吗？另外两组对应角∠B
与∠B
'，∠C
与∠C
'是否相等？
答：等于k
∠B
=∠B
'
∠C
=∠C
'
答：改变k
的值具有相同的结论.
合作探究
实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法：
A'
B'
C'
A
B
C
∠A＝∠A'
△ABC
∽
△A'B'C'
合作探究
如图，
△A'B'C'
和
△ABC
中，
∠A
'
=∠A，
A'B'：AB＝A'C'：AC
已知：
求证：
△A'B'C'
∽
△ABC
A'
B'
C'
A
B
C
D
E
合作探究
证明：
在△ABC
的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，
连结DE，因∠A
'
=∠A，
这样△A'B'C'
≌
△ADE
.
∴
DE//BC
∴
△ADE
∽
△ABC
∴
△A'B'C'
∽
△ABC
合作探究
如果两个三角形的两组对应边的比相等，
并且相应的夹角相等，
那么这两个三角形相似．
(
类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，
请你自己证明这个结论．)
合作探究
思考：
对于△ABC
和△A'B'C'，
如果
,∠B＝∠B
'，
这两个三角形一定相似吗？试着画画看．
不一定相似
合作探究
小组讨论
2
由两边和夹角判定两个三角形相似时，对于“夹角”条件，如何理解？
可结合具体图形说明．
合作探究
反思小结
由两边和夹角判定三角形相似时，
要注意这个角是对应边成比例的两边的夹角．
合作探究
例1
根据下列条件，判断△ABC
与△A'B'C
'是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，
∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm；
解：
∵
AB＝7cm，
AC＝14cm,
A'B'＝3cm，A'C'＝6cm.
又
∠A＝∠A'
∴
△ABC∽△A'B'C'
两三角形的相似比是多少？
合作探究
（2）
AB＝4cm，BC＝6cm，
AC＝8cm．
A'B'＝12cm，B'C'＝18cm，
A'C'＝21cm.
∵
解：
∴
要使两三角形相似，不改变AC
的长，A'C
'的长应当改为多少？
合作探究
若∠DAE=∠BAC，
则△ADE∽△ABC.
=
针对训练
2
合作探究
根据下面条件，判断△ABC与△A′B′C′
是否相似，并说明理由．
∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm；
∠A＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm．
解：
∵
，
，
∴
．
又∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′．
课堂小结
概念、
性质
1.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形
_________.
2.如果两个三角形的两组对应边的比________,并且相应的夹角_________
那么这两个三角形相似.
方法、规律
1.解答方格中的相似三角形问题时，通常采用三边对应成比例的两个三角形相似，以及两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似进行分析.
相似
相等
相等
课堂小结
易错点
如左图，由∠DAC=∠CAB，
并不能证明△ACD∽△ABC.这和全等三角形不存在“SSA”这种判定方法一样，可以类比记忆.
”相似“与”∽“：在用符号”∽“表示两个三角形相似时，表明对应顺序已确定，只存在一种相似情况.用”相似“表示两个三角形相似时，表明对应顺序没有确定，需要分类讨论.
巩固扩展
1.下列条件中，能判定△ABC∽△A'B'C'的是（
）
Ｂ
巩固扩展
2.
在△ABC和△A′B′C′中，
若∠B=∠B′，AB=12，BC=8，A′B′=6，
则当B′C′=______时，
△ABC∽△A′B′C′.
４
巩固扩展
3.
(1）如图1，请你增加一个条件：
，使△ABC∽△ACD.
AB
(
)
=
(
)
(
)
(2）如图2，请你增加一个条件：
，使△ABC∽△AED.
AB
(
)
=
(
)
(
)
AC
AC
AD
AE
AC
AD
巩固扩展
(3）如图3，请你增加一个条件：
使△ABC∽△ADE.
AB
(
)
=
(
)
(
)
(4）如图4，请你增加一个条件：
使△ABC∽△ADE.
AB
(
)
=
(
)
(
)
AD
AE
AC
AD
AE
AC
巩固扩展
(5）如图5，AC与BD不平行，请你增加一个条件
OA
(
)
=
(
)
(
)
使△AOC∽△DOB.
OC
OD
OB
巩固扩展
4.
如图，在△ABC中，
D，E分别是AB，AC上的点，
AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，
试判断△ADE与△ABC是否相似，
某同学的解答如下：
巩固扩展
解：
∵
AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，
∴
AD=7.8-4.8=3.
∵
∴
这两个三角形不相似.
你同意他的判断吗？请说明理由.
巩固扩展
解：
他的判断是错误的.
∵
AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，
∴
AD=7.8-4.8=3.
∵
∴
又
∵
∠A=∠A，
∴
△ADE∽△ACB
．
巩固扩展
5.
如图，在4×4的方格图中，△ABC和△DEF都在边长为1的小正方形的顶点上，
求证：△ABC∽△DEF.