2012届高考数学考前回归基础训练题（10套）

2012届高考数学考前回归基础训练题
不等式与导数交汇
1. 设函数，其中为常数．
（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立．
2. 已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
　 （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；
（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.
3. 已知函数
（I）求f(x)在[0，1]上的极值；
（II）若对任意成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.
4. 已知函数
（I）求f(x)在[0，1]上的极值；
（II）若对任意成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.
5. 已知函数
（1）求在[0，1]上的极值；
（2）若对任意成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围.
6. 已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
　 （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；
（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.
7. 已知函数（为常数且）
（1）当时，求的单调区间
（2）若在处取得极值，且，而在上恒成立，求实数的取值范围（其中为自然对数的底数）
8. 已知是定义在R上的函数，它在和上有相同的单调性，在和上有相反的单调性.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在函数的图象上是否存在点，使得在点的切线斜率为？若存在，求出点的坐标，若不存在，则说明理由；
（Ⅲ）设的图象交轴于三点，且的坐标为,求线段的长度的取值范围.
9. 已知函数（为常数且）
（1）当时，求的单调区间
（2）若在处取得极值，且，而在上恒成立，求实数的取值范围（其中为自然对数的底数）
10. 已知的定义域为区间[－1，1]。
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性；
（3）若方程的取值范围。
答案：
1. 解：（1）由题意知，的定义域为，
当时， ，函数在定义域上单调递增．
（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．
②时，有两个相同的解，
时，
时，函数在上无极值点．
③当时，有两个不同解，
时，，
,
此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：
减 极小值 增
由此表可知：时，有惟一极小值点，
ii) 当时，0<<1
此时，，随的变化情况如下表：
增 极大值 减 极小值 增
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；
综上所述：
当且仅当时有极值点;
当时，有惟一最小值点；
当时，有一个极大值点和一个极小值点
（3）由(2)可知当时，函数，
此时有惟一极小值点
且
令函数
2. 解：
（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，
即
解得a=1，b=0.
∴f(x)=x3－3x.
（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
当－1fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|
|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4
（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足
因，故切线的斜率为
，
整理得.
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x0方程=0有三个实根.
设g(x 0)= ，则g′(x0)=6，
由g′(x0)=0，得x0=0或x0 =1.
∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1
∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是
，解得－3故所求的实数a的取值范围是－33. 解：（I），
令（舍去）
单调递增；
当单调递减.
上的极大值
（II）由得
， …………①
设，
，
依题意知上恒成立，
，
，
上单增，要使不等式①成立，
当且仅当
（III）由
令，
当上递增；
当上递减
而，
恰有两个不同实根等价于
4. 解：（I），
令（舍去）
单调递增；
当单调递减.
上的极大值
（II）由得
， …………①
设，
，
依题意知上恒成立，
，
，
上单增，要使不等式①成立，
当且仅当
（III）由
令，
当上递增；
当上递减
而，
恰有两个不同实根等价于
5. 解：（1），令（舍去）
单调递增；当单调递减.
上的极大值，没有极小值。
（2）由得……①
设，，
依题意知上恒成立，
，
，
上单增，要使不等式①成立，
当且仅当
（3）由
令，
当上递增；
当上递减 。
而，
恰有两个不同实根等价于
6. 解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，
即 解得a=1，b=0. ∴f(x)=x3－3x.
（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
当－1fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2 ∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)| |f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4
（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)， ∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x0方程=0有三个实根. 设g(x 0)= ，则g′(x0)=6，
由g′(x0)=0，得x0=0或x0 =1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1
∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得－3故所求的实数a的取值范围是－37. 解：（1）由得
又的定义域为，所以
当时，
当时，，为减函数
当时，，为增函数
所以当时，的单调递增区间为
单调递减区间为
（2）由（1）知当时，，递增无极值
所以在处有极值，故且
因为且，所以在上单调
当为增区间时，恒成立，则有
当为减区间时，恒成立，则有
无解
由上讨论得实数的取值范围为
8. 解：（Ⅰ）由题意可知在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，所以是的一个极值点.
故，即是的一个解，所以.
（Ⅱ）因为在 和上有相反的单调性，所以在上必有一根.又，易知方程一根为，另一根为，所以，∴
假设存在点，使得在点的切线斜率为，则，即有解.而=，因为，所以，与有解矛盾。故不存在点，使得在点的切线斜率为.
（Ⅲ）依题意有，又，所以，
所以=
==，
两点的横坐标就是方程
的两根，所以
===，
因为，所以当时，；当时，=.
所以的取值范围是.
9. 解：（1）由得
又的定义域为，所以
当时，
当时，，为减函数
当时，，为增函数
所以当时，的单调递增区间为
单调递减区间为
（2）由（1）知当时，，递增无极值
所以在处有极值，故且
因为且，所以在上单调
当为增区间时，恒成立，则有
当为减区间时，恒成立，则有
无解
由上讨论得实数的取值范围为
10. 解：（1）
（2）
（3）由（2）知
在[－1，1]内有解2012届高考数学考前回归基础训练题——数列
1. 已知数列中,,且
(Ⅰ)求证：;
(Ⅱ)设,是数列的前项和,求的解析式;
(Ⅲ)求证：不等式对恒成立.
2. 设⊙，⊙⊙是圆心在抛物线上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为，已知，⊙都与轴相切，且顺次逐个相邻外切
（1）求由构成的数列的通项公式；
（2）求证：
3. 数列满足 ．
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前项和为，证明．
4. 观察下列三角形数表
1 -----------第一行
2 2 -----------第二行
3 4 3 -----------第三行
4 7 7 4 -----------第四行
5 11 14 11 5
… … 　… 　 …
… … 　… 　… …
假设第行的第二个数为，
（Ⅰ）依次写出第六行的所有个数字；
（Ⅱ）归纳出的关系式并求出的通项公式；
（Ⅲ）设求证：…
5. 数列满足，
已知.
（1）求；
（2）是否存在一个实数，使得且为等差数列？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
6. 已知：等差数列{an}中，a3 + a4 = 15，a2a5 = 54，公差d < 0.
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求数列的前n项和Sn的最大值及相应的n的值.
7. 设{}为等差数列，{ }为各项为正的等比数列，且，，，分别求出数列{}和{}的前10项和及．
8. 数列{an}是公比为q的等比数列，a1＝1，an+2＝ （n∈N*）
⑴求{ an }的通项公式；
⑵令bn＝n an，求{bn }的前n项和Sn。
9. 已知数列{an}、{bn}的前3项对应相等，且
对任意都成立，数列是等差数列.
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）是否存在，并说明理由.
10. 已知数列，其中是首项为公差为的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列．
(1)若，求 ；
(2)试写出关于的关系式，若,求的取值范围。
11. 已知二次函数满足条件：① ； ② 的最小值为.
(1) 求函数的解析式；
(2) 设数列的前项积为, 且, 求数列的通项公式；
(3) 在(2)的条件下, 若是与的等差中项, 试问数列中第几项的值最小 求出这个最小值。
12. 已知数列{an}的前n项为和Sn，点在直线上.
数列{bn}满足，前9项和为153.
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{cn}的前n和为Tn，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.
（Ⅲ）设，问是否存在，使得成立？若存
在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
13. 已知等差数列 ,。
(1)求的通项公式；(2) 哪一个最大？并求出最大值.
14. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
15. 等差数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项与前项和；
（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
16. 已知函数是一次函数，且成等比数列，设，()
（1）求；
（2）设，求数列的前n项和。
17. 设等比数列的公比为, 前项和为, 若成等差数列, 求的值.
18. 已知二次函数满足条件:① ; ② 的最小值为.
(1) 求函数的解析式;
(2) 设数列的前项积为, 且, 求数列的通项公式;
(3) 在(2)的条件下, 若是与的等差中项, 试问数列中第几项的值最小 求出这个最小值.
19. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2, 4Sn=anan+1
（1）求a2,a3,a4;
（2）求an;
20. 设函数的定义域为R，当x＜0时＞1，且对任意的实数x，y∈R，有
（Ⅰ）求,判断并证明函数的单调性；
（Ⅱ）数列满足,且
①求通项公式。
②当时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围。
答案：
1. 解:
故,．
又因为
则,即．
所以,
(2)
=
因为=
所以,当时,
当时,……….(1)
得……(2)
=
综上所述:
(3)因为
又,易验证当,3时不等式不成立;
假设,不等式成立,即
两边乘以3得:
又因为
所以
即时不等式成立.故不等式恒成立
2. 解：（1）由于 是已知方程的两根，所以，有：即： ，
而：，得 两式联立得： 所以，
故 得数列的通项公式为：
（2），所以，数列是等差数列，由前项和公式得：
，得 ，所以有：
（3）由于 得： 又因为
，所以有：， 而
且 当：时，都有 ，但是，
即： 所以，只有当：时，的值最大，此时
3. 解：(Ⅰ)方法一：，
所以．
所以是首项为，公差为的等差数列．
所以，所以．
方法二：，，，猜测．
下用数学归纳法进行证明．
①当时，由题目已知可知，命题成立；
②假设当()时成立，即，那么
当，，
也就是说，当时命题也成立．
综上所述，数列的通项公式为．
（Ⅱ）　设
则
函数为上的减函数，所以，即
从而
4. 解：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6；
（2）依题意，
，
所以；
（3）因为所以
5. 解：（1）时，.
时，，
.
（2）当时
要使为等差数列，则必需使，
即存在，使为等差数列.
6. 解：（1）为等差数列，
解得（因d<0，舍去）
（2）
又，对称轴为，故当n = 10或11时，
Sn取得最大值，其最大值为55.
7. ；
8. ⑴∵{an}为公比为q的等比数列，an+2＝（n∈N*）
∴an·q2＝
即2q2―q―1＝0
解得q＝－ 或 q＝1
∴an＝ 或an＝1
⑵当an＝1时，bn＝n， Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝
当an＝时bn＝n·
Sn＝1＋2·（－）＋3·＋…＋（n－1）·＋n· ①
－ Sn＝（－）＋2·＋…＋（n－1）·＋n ②
①—②得 Sn＝1＋＋＋…＋－n
＝－n·
＝
Sn＝
9. （1）当n = 1时，a1 = 8
已知 ……………………①
当…………②
①－②，得
而也适合上式，故
数列是等差，其首项
公差
（2）不存在
假设存在
而当
又
10. 解: 解(Ⅰ) 由已知得, ,
∴
(Ⅱ)
当时，，
则，即
所以
所以， ‘
11. 解： (1) 由题知: , 解得 , 故.
(2) ,
,
,
又满足上式. 所以.
(3) 若是与的等差中项, 则,
从而, 得.
因为是的减函数, 所以
当, 即时, 随的增大而减小, 此时最小值为;
当, 即时, 随的增大而增大, 此时最小值为.
又, 所以,
即数列中最小, 且.
12. 解：（Ⅰ）由题意，得
故当时，
当n = 1时，，而当n = 1时，n + 5 = 6，
所以，
又，
所以{bn}为等差数列，于是
而
因此，
（Ⅱ）
所以，
由于，
因此Tn单调递增，故
令
（Ⅲ）
①当m为奇数时，m + 15为偶数.
此时，
所以
②当m为偶数时，m + 15为奇数.
此时，
所以（舍去）.
综上，存在唯一正整数m =11，使得成立.
13. 解：（1）由
（2）
14. 解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且
解得，．
所以，
．
（Ⅱ）．
，①
，②
②－①得，
．
15. 解：（Ⅰ）由已知得，，
故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．
即．
，
．
与矛盾．
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．
16. 解：（1）设，（）由成等比数列得
，----------------①, 得
∵ ∴---------------②
由①②得， ∴
∴，显然数列是首项公差的等差数列
∴＝
[或]
（2）∵
∴＝
2＝
－＝＝
∴＝。
17. 解: 若, 则, , 不合要求;
若, 则,
,
综上, .
18. 解: (1) 由题知: , 解得 , 故.
(2) ,
,
,
又满足上式. 所以.
(3) 若是与的等差中项, 则,
从而, 得.
因为是的减函数, 所以
当, 即时, 随的增大而减小, 此时最小值为;
当, 即时, 随的增大而增大, 此时最小值为.
又, 所以,
即数列中最小, 且.
19. 解：(1)a2=4,a3=6,a4=8
(2)由已知：当n>1时，an+1-an-1=4,
当n为偶数时，an=a2+(o.5×n-1)×4=2n,
当n为奇数时an=a1+[0.5×(n+1)-1]×4=2n; (此处等价于证出数列为等差)
故an=2n对任意正整数n 都成立，即an=2n
（3）’
所以
’
20. 解：（Ⅰ）时，f（x）＞1
令x=－1，y=0则f（－1）=f（－1）f（0）∵f（－1）＞1
∴f（0）=1
若x＞0，则f（x－x）=f（0）=f（x）f（－x）故
故x∈R f（x）＞0
任取x1＜x2
故f（x）在R上减函数
（Ⅱ）① 由f（x）单调性
an+1=an+2 故{an}等差数列
②
是递增数列
当n≥2时，
即
而a＞1，∴x＞1
故x的取值范围（1，+∞）
200702092012届高考数学考前回归基础训练题
不等式与圆锥曲线交汇
1. 已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为．
（1）求的坐标；
（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？
2. 已知动圆P与定圆B：内切，且动圆P经过一定点A（，0），
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
　 （Ⅱ）若已知点D（0，3），M、N在动点P的轨迹上，且，求实数的取值范围.
3. 已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足.设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中.
（I）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；
（II）过A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围.
4. 如图，直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，
BC＝．椭圆C以A、B为焦点且经过点D．
　　（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；
　　（2）（文）是否存在直线l与椭圆C交于M、N两点，且线段MN的中点为C，若存在，求l与直线AB的夹角，若不存在，说明理由．
　　 （理）若点E满足，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．
5. 已知与曲线、y轴于、为原点。
（1）求证：；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）求△AOB面积的最小值。
6. 已知点H（－3，0），点P在轴上，点Q在轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足， .
（Ⅰ）当点P在轴上移动时，求点M的轨迹C；
（Ⅱ）过定点作直线交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于轴的直线被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出的方程；若不存在，请说明理由.
7. 已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.
8. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．
9. 已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
10. 如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标；
(3)弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.
答案：
1. 解：（1）抛物线方程为
故焦点的坐标为
（2）设
2. 解：（I）定圆B的圆心坐标B（－，0），半径r=6，
因为动圆P与定圆B内切，所以|PA|+|PB|=6.
所以动圆圆心P的轨迹是以B、A为焦点，长轴长为6的椭圆.
………………2分
设椭圆的方程为
则2a=6，a=3，c=
∴b2=a2－c2=4.
∴椭圆的方程为.
（II）设M(x1，y1)，N（x2，y2），
则由
（1）当λ=1时，M与N重合，，满足条件。
（2）当.
综合可得λ的取值范围是[，5].
3. 解：（I）由于
从而所求椭圆的方程是
设直线AB的方程，
其中k为直线AB的斜率，依条件知k>0.
由
根据条件可知
设
又由
消去令
由于. 上是减函数.
从而
而，因此直线AB的斜率的取值范围是
（II）上半椭圆的方程为且
求导可得. 所以两条切线的斜率分别为
切线PA的方程是
从而切线PA的方程为，同理可得切线PB的方程为
由
再由
又由(I)知
因此点P在定直线上，并且点P的纵坐标的取值范围是
4. （1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，
A（-1，0），B（1，0）
　　设椭圆方程为：
　　令　∴
　　∴　椭圆C的方程是：
　　（2）（文）l⊥AB时 不符合，
　　∴　设l：
　　设M（，），N（，），
　　∵　　　∴　，即，
　　∴　l：，即　经验证：l与椭圆相交，
　　∴　存在，l与AB的夹角是．
（理），l⊥AB时不符，
　　设l：y＝kx＋m（k≠0）
　　由　
M、N存在
　　设M（，），N（，），MN的中点F（，）
　　∴　，
　　∴　　　∴　
　　∴　　　∴　且
∴　l与AB的夹角的范围是，．
5. 解：（1），半径为1依题设直线，
由圆C与l相切得：
（2）设线段AB中点为
代入即为所求的轨迹方程。
（3）
6. 解：（Ⅰ）设,
且,
.
∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）.
　　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）解法一：（1）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有；
（2）当直线与轴不垂直时，依题意，可设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组
消去并整理，得
,
.
设直线AE和BE的斜率分别为，则:
＝
.
,
,
，
.
综合（1）、（2）可知.
解法二：依题意，设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组:
消去并整理，得
,
.
设直线AE和BE的斜率分别为，则:
＝
.
,
,
，
. 　
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线，其方程为，AD的中点为，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则，点的坐标为.
,
,
.
,
令，得
此时，.
∴当，即时，（定值）.
∴当时，满足条件的直线存在，其方程为；当时，满足条件的直线不存在.
7. （I）解法一：直线， ①
过原点垂直的直线方程为， ②
解①②得
∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，
∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
故椭圆C的方程为 ③
（II）设M（），N（）.
设直线，代入③，整理得
即
∴=，整理得
解得或
故直线m的方程为或或
经检验上述直线均满足
所以所求直线方程为或或
8. 解：（Ｉ）设椭圆方程为（），半焦距为c, 则
,,
由题意，得 ,解得
故椭圆方程为
（II）设P(
当时，
当时,
只需求的最大值即可。
直线的斜率，直线的斜率
当且仅当=时，最大，
9. 解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，
即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，
将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，
即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分
所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
所以·为定值，其值为0．　　　……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．
|FM|＝＝
＝
＝＝＋．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)3，
由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
10. 解:利用椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.
(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3 故椭圆方程为=1.
(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得 (－x1)+(－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8. 设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4.
(3)解析法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.
得 , ①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,
即9×=0(x1≠x2)
将 (k≠0)
代入上式，得9×4+25y0(－)=0(k≠0) 即k=y0(当k=0时也成立).
由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.
由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－＜y0＜,所以－＜m＜.
解析法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为y－y0=－(x－4)(k≠0) ③ ,
将③代入椭圆方程=1,得(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0
所以x1+x2==8,解析得k=y0.(当k=0时也成立)
(以下同解析法一).
P
x
O
y
H
M
Q
O
F2
F1
A2
A1
P
M
HYPERLINK "http://www." EMBED PBrush
B
A
D
F
x
O
y
H
G
E
B
A
D
F
x
O
y
H
G
E
O
F2
F1
A2
A1
P
M
①
②2012届高考数学考前回归基础训练题
不等式与函数交汇
1. 已知在区间上是增函数。
（Ⅰ）求实数的值所组成的集合；
（Ⅱ）设关于的方程的两个根为、，若对任意及，不等式
恒成立，求的取值范围.
2. 已知函数。
（Ⅰ）若函数的图象关于点对称，且，求的值；
（Ⅱ）设，若是的充分条件，求实数的取值范围。
3. 已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．
（Ⅰ）设，试求函数的表达式；
（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．
4. 已知函数 ，且函数与的
图像关于直线对称，又， 。
1）求的表达式及值域;
2）问是否存在实数m ， 使得命题 和
满足复合命题 且为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
5. 已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．
（1），求直线、的方程。
(2)设，试求函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．
6. 已知二次函数满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当成立.
（1）证明：f（2）=2；（2）若f（－2）=0，求f（x）的表达式；
（3）设图像上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围.
7. 已知函数满足且对定义域中任意都成立.（1）求函数的解析式；
（2）若数列的前项和为，满足当时，，当≥2时，，试给出数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
8. 已知二次函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0f(x2)成立。 设数列{an}的前n项和Sn=f(n).
　 （1）求数列{an}的通项公式；
　 （2）若（满足：对任意的正整数n都有bn（3）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci·ci+1<0的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数。令（n为正整数），求数列{cn}的变号数。
9. 已知A、B、C为△ABC的三个内角，设.
（Ⅰ）当f (A, B)取得最小值时，求C的大小；
（Ⅱ）当时，记h（A）＝f (A, B)，试求h（A）的表达式及定义域；
（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在向量p，使得函数h（A）的图象按向量p平移后得到函数 的图象？若存在，求出向量p的坐标；若不存在，请说明理由
10. 设，为常数）．当时，，且为上的奇函数．
（Ⅰ）若，且的最小值为，求的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，在上是单调函数，求的取值范围．
答案：
1. 解：（Ⅰ） ，
∵在区间上是增函数，∴对恒成立，
即 对恒成立
设，则问题等价于 ， ∴
（Ⅱ）由，得，
∵ ∴是方程 的两非零实根，
∴，从而，
∵，∴.
∴不等式对任意及恒成立
对任意恒成立对任意恒成立
设，则问题又等价于
即 的取值范围是.
2. 解：（Ⅰ）∵
∴ ，
∴的图象的对称中心为
又已知点为的图象的一个对称中心，∴
而，∴或。
（Ⅱ）若成立，即时，，，
由，
∵ 是的充分条件，∴，解得，即的取值范围是。
3. 解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、， ，
∴切线的方程为：，
又切线过点， 有，即， （1）
同理，由切线也过点，得．（2）
由（1）、（2），可得是方程的两根， （ * ）
，
把（ * ）式代入,得,
因此，函数的表达式为．
（Ⅱ）当点、与共线时，，
＝，即＝，
化简，得，
，． （3）
把（*）式代入（3），解得． 存在，使得点、与三点共线，且 ．
（Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，，
则．
依题意，不等式对一切的正整数恒成立，
，
即对一切的正整数恒成立．
， ，
． 由于为正整数，．
又当时，存在，，对所有的满足条件．
因此，的最大值为．
解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．
，长度最小的区间为，
当时，与解法相同分析，得，解得．
后面解题步骤与解法相同（略）．
4. 解 1）由，可得，故，
由于在上递减，所以的值域为
（2）在上递减，故真 且 ；
又即，故真，
故存在满足复合命题 且为真命题。
5. 解：（1）设切点横坐标为， ，
切线的方程为：，又切线过点，
有，即， 解得
切线、的方程为：
（2）设、两点的横坐标分别为、，
， 切线的方程为：，
切线过点， 有，
即，………① 同理，由切线也过点，
得．………②，由①、②，可得是方程的两根，
………………………………………………………（ * ）
，把（ * ）式代入,得,
因此，函数的表达式为．
（3）解法：易知在区间上为增函数，
，
则．
依题意，不等式对一切的正整数恒成立， ，
即对一切的正整数恒成立，．
， ，
．由于为正整数，．
又当时，存在，，对所有的满足条件。
因此，的最大值为．
解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．
，长度最小的区间为，
当时，与解法相同分析，得，
解得． 后面解题步骤与解法相同（略）．
6. 解：（1）由条件知：恒成立
恒成立
（2）
又恒成立
解出：
（3）由分析条件知道，只要f（x）图象（在y轴右侧）总在直线上方即可，
也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，
于是： 利用相切时△=0，解出m=1+
另解：必须恒成立
即恒成立
①解得：
②
7. 解：（1）由得，
若，则，不合题意，故， 。
由，得 ……①
由对定义域中任意都成立，得。
由此解得 ……②
把②代入①，可得 ，
（2），即，
当时，，
当时，，
当时，，
，由此猜想：。
下面用数学归纳法证明：（1）当，等式成立。
（2）假设当时，等式成立，就是
那么，当时，，
这就是说，当时，等式也成立。
由（1）和（2）可知，等式对任何都成立，故猜想正确。
（2）解法二：，即
，即
，，
由此猜想：。
下面用数学归纳法证明：（1）当，等式成立。
（2）假设当时，等式成立，就是
那么，当时，
这就是说，当时，等式也成立。
由（1）和（2）可知，等式对任何都成立，故猜想正确。
8. 解：（1）∵的解集有且只有一个元素，∴△=a2-4a=0　∴a=0或a=4，
　　 当a=0时，函数f(x)=x2在(0,+∞)上递增，故不存在，使得不等式f(x1)>f(x2)成立。
　　 当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减，故存在0f(x2)成立。
综上，得a=4　　　　（3分）　　　　f(x)=x2-4x+4，∴Sn=n2-4n+4　
∴　 　　
（2）∵bn=n-k对任意的正整数n都有bn　 当n≥2时，n-k<2n-5恒成立，即n>5-k恒成立，即5-k<2　　∴， 　总之有　
（3）解：由题设知　　 当时，
由即，得或　
∴或又∵，∴时也有也有
　综上得 数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3.　
9. 解：（Ⅰ）配方得f (A，B) = (sin2A-)2 + (cos2B-)2 +1，
∴ [f (A，B) ]min = 1, 当且仅当时取得最小值.
在△ABC中， 故C = 或.
（Ⅱ）A+B = ，于是h（A）＝
＝cos2A－＋3=2cos(2A+) + 3.∵A+B = ，∴. （Ⅲ）∵函数h（A）在区间上是减函数，在区间上是增函数；而函数在 区间上是减函数.∴函数h（A）的图象与函数的图象不相同，从而不存在满足条件的向量p.
10. (1)解: 由得,
若则无最小值..
欲使取最小值为0,只能使,昨,.
得则,
又,
又
(2)..
得.则,.
当,或或时,为单调函数.
综上,或.2012届高考数学考前回归基础训练题
不等式与集合、函数、实际问题等交汇
1. 设集合，．
（1）求集合；
（2）若不等式的解集为，求，的值．
2. 已知：命题是的反函数，且；
命题集合，且，试求实数 的取值范围使得命题有且只有一个真命题
3. 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：
（其中为小于6的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
4. 已知二次函数对任意，都有成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当[0，]时，求不等式f（）＞f（）的解集．
5. 已知函数。
（Ⅰ）若为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若在上恒大于0，求a的取值范围。
6. 如图，四边 形ABCD是一个边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，其余部分都是平地，P是弧TS上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR.
（Ⅰ）若∠PAT=θ，试写出四边形RPQC的面积S关于θ
的函数表达式，并写出定义域；
（Ⅱ）试求停车场的面积最大值。
7. 已知b>－1，c>0，函数的图象与函数的图象相切.
（Ⅰ）设
（Ⅱ）是否存在常数c，使得函数内有极值点？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由.
8. 已知函数，若存在，则称是函数的一个不动点，设
（Ⅰ）求函数的不动点；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的二个不动点a、b（假设a>b），求使恒成立的常数k的值；
（Ⅲ）对由a1=1，an=定义的数列{an}，求其通项公式an.
9. 已知函数
（Ⅰ）求证：函数是偶函数；
（Ⅱ）判断函数分别在区间上的单调性，并加以证明.
10. 已知函数f(x)=ax3+x2-x (a∈R且a≠0)
（1）若函数f(x)在（2，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围.
（2）证明：当a>0时，函数在f(x)在区间（）上不存在零点
11. 设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n∈N*).
（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；（可以不作证明）
（2）记，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值
范围.
（3）求证：当n∈N+时，
12. 已知向量，向量．
（1）已知常数满足≤≤2，求使不等式≥成立的的解集；
（2）求使不等式≥对于一切恒成立的实数取值集合．
答案：
1. 解：，
，
（1）；
（2）因为的解集为，
所以为的两根，
故，所以，．
2. 解：因为，所以
由得，解得
因为，故集合应分为和两种情况
（1）时，
（2）时，
所以得
若真假，则
若假真，则
故实数的取值范围为或
3. 解：（1）当时，，
当时，，
综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：
（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0
当时，
当且仅当时取等号
所以当时，，此时
当时，由知
函数在上递增，，此时
综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若，则当日产量为万件时，可获得最大利润
4. 设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，）因为，，所以，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称， ………………………………………………………………(2分)
∵　，，，
，，，………………………………(4分)
∴　当时，∵f（x）在x≥1内是增函数，
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ，．
　　∵　，　∴　．………………………………………………(8分)
当时，∵f（x）在x≥1内是减函数．
同理可得或，．………………………………………(11分)
　　综上：的解集是当时，为
当时，为，或．
5. 解：（Ⅰ）的定义域关于原点对称
若为奇函数，则 ∴a=0
（Ⅱ）
∴在上
∴在上单调递增
∴在上恒大于0只要大于0即可
∴
若在上恒大于0，a的取值范围为
6. 解：（Ⅰ）延长RP交AB于M，设∠PAB=，则
AM =90
∴
=10000-
（Ⅱ）设 ∵
∴
∴当时，SPQCR有最大值
答：长方形停车场PQCR面积的最磊值为平方米。
7. 解：（Ⅰ）【方法一】由，
依题设可知，△=（b+1）2－4c=0.
∵.
∴
【方法二】依题设可知
∴为切点横坐标，
于是，化简得
同法一得
（Ⅱ）由
可得
令依题设欲使函数内有极值点，
则须满足
亦即 ，
又
故存在常数，使得函数内有极值点.
8. 解：（Ⅰ）设函数
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
可知使恒成立的常数k=8.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
可知数列为首项，8为公比的等比数列
即以为首项，8为公比的等比数列. 则
.
9. 解：（Ⅰ）由题可知函数定义域关于原点对称.
当，
则，
∴
当
则，
∴
综上所述，对于，∴函数是偶函数.
（Ⅱ）当x>0时，，
设
当
∴函数上是减函数，函数上是增函数.
（另证：当；
∵
∴函数上是减函数，在上是增函数.
10. 略解、（1）因为f′(x)=3ax2+2x-1，依题意存在（2，+∞）的非空子区间使3ax2+2x-1>0成立，即 在x∈（2，+∞）某子区间上恒成立，令h(x)=,求得h(x)的最小值为，故
（2）由已知a>0
令f′(x)=3ax2+2x-1>0
得故f(x)在区间（）上是减函数， 即f(x)在区间（）上恒大于零。故当a>0时，函数在f(x)在区间（）上不存在零点
11. （1）f(1)=3
f(2)=6
当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个
∴f(n)=3n
（2）
∴T1T4>…>Tn
故Tn的最大值是T2=T3=
∴m≥
12. 解：∵，，∴
∴
（1）
∵，则
∴恒成立．
∴
∴所求的不等式的解集为
（2）∵，∴，当且仅当时等号成立，
∴函数有最小值2．
要使恒成立恒成立，所以．
∴的取值集合为．
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1.平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, .
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；
(Ⅱ) 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、 的中点分别为．求证：直线必过定点．
2. 过点作直线交圆M：于点B、C，在BC上取一点P，使P点满足：,
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求面积的最大值。
3. 抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，
（Ⅰ）求定点N的坐标；
（Ⅱ）是否存在一条直线同时满足下列条件：
① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为；
② 被圆N截得的弦长为．
4. 如图椭圆C的方程为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为－1的直线交椭圆于B点，点P（1，0）,且BP∥y轴，
△APB的面积为.
（1）　求椭圆C的方程；
（2）　在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程.
5. 已知中心在原点，其中一个焦点为F（－1，0）的椭圆，经过点，椭圆的右顶点为A，经过点F的直线l与椭圆交于两点B、C.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，求直线l的方程.
6. 在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，向量e = (0，1)，点B为直线 上的动点，点C满足，点M满足，．
(1)试求动点M的轨迹E的方程；
(2)试证直线CM为轨迹E的切线．
7. 无论m为任何实数，直线与双曲线恒有公共点
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
（2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，求双曲线C
的方程。
8. 在直角坐标系中，O为坐标原点，设直线经过点，且与轴交于点
(I)求直线的方程；
(II)如果一个椭圆经过点,且以点为它的一个焦点,求椭圆的标准方程;
(III)若在(I)、（II）、情形下，设直线与椭圆的另一个交点为，且，当 最小时，求对应的值。
9. 已知双曲线，求以双曲线的顶点为焦点的抛物线的标准方程。
10. 如图：点A是椭圆： 短轴的下端点．过A作斜率为1的直线交椭圆于P，点B在y轴上，且BP//轴，．
（1） 若B点坐标为（0，1），求椭圆方程；
（2） 若B点坐标为（0，t），求t的取范围．
11. 已知圆：.
（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;
（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，
求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
12. 已知圆C ，,切点为A，B（1）求直线PA,PB的方程 （2）求过P点的圆的切线长
13. 已知在第一象限.，.
求（1）AC和BC所在直线方程； （2）AC,BC分别与y轴交点之间的距离.
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．
（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．
15. 过点作直线交圆M：于点B、C，在BC上取一点P，使P点满足：,
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求面积的最大值。
16. 设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线。
（1）求点的轨迹方程；
（2）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？
17. 已知M（4，0）、N（1，0），若动点P满足
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设过点N的直线l交轨迹C于A、B两点，若，求直线l的斜率的取值范围。
18. 椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆 ，且点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为
（1）求此时椭圆G的方程；
（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由.
19. 已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为．
（1）求点M轨迹的方程；
（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）．
20. 已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．
（1）求曲线的方程；
（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程．
答案：
1. 解：(Ⅰ)依题意知，直线的方程为：．点是线段的中点，且⊥，∴是线段的垂直平分线．
∴是点到直线的距离．
∵点在线段的垂直平分线，∴．
故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：．
(Ⅱ) 设，，直线AB的方程为　　　　　　则
（1）—（2）得，即，
代入方程，解得．
所以点Ｍ的坐标为．
同理可得：的坐标为．
直线的斜率为，方程为
，整理得，
显然，不论为何值，均满足方程，
所以直线恒过定点．
2. 解：（1）由于 得：（定值）所以得动点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，由M（-3，0）N（3，0）知且中心在原点对称轴为坐标轴，得Q点的轨迹方程是：
（2）假设存在这样的直线，当斜率不存在时，A,O ,B 共线，显然不满足条件，从而知直线的斜率存在，设为：，得直线的方程为：即：与椭圆联立有： 整理得： 两边同时除以： 得： ……………………（A）
设直线交曲线C的坐标为：A（，B由于得：从而有： 又因为 和是方程（A）的两个实根，由根与系数的关系得： ，得：，
故：存在这样的直线，其方程是：
3. 解：（1）因为抛物线的准线的方程为
所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，
所以定点N的坐标为
（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在，
设的方程为，
以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为，
方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，
即，解得，
当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！
当时，的方程为
由，解得点A坐标为，
由，解得点B坐标为，
显然AB中点不是，矛盾！
所以不存在满足条件的直线．
方法2：由，解得点A坐标为，
由，解得点B坐标为，
因为AB中点为，所以，解得，
所以的方程为，
圆心N到直线的距离，
因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！
所以不存在满足条件的直线．
方法3：假设A点的坐标为，
因为AB中点为，所以B点的坐标为，
又点B 在直线上，所以，
所以A点的坐标为，直线的斜率为4，
所以的方程为，
圆心N到直线的距离，
因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！
所以不存在满足条件的直线．
4. (1) 又∠PAB＝45°，AP＝PB，故AP＝BP＝3.
∵P（1,0），A（－2,0），B（1,－3）
∴　b=2，将B（1，－3）代入椭圆得：得，
所求椭圆方程为.
（2）设椭圆C的焦点为F1，F2，
则易知F1（0,－）F2（0，），
直线的方程为：，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须｜｜MF1｜－｜MF2｜｜最大，设F1（0，－）关于直线的对称点为
（－2，－2），则直线与直线的交点为所求M，
　　　因为的方程为：,联立
得M（）　 分
又=｜｜MF1｜-｜MF2｜｜=｜｜M｜－｜MF2｜｜
＝＝2，故，
故所求双曲线方程为：
5. 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：
由题设知
因此，椭圆的方程为：
（Ⅱ）若直线轴，则l的方程为：x =－1，此时B、C的坐标为、
由于点A的坐标为（2，0），则△ABC的面积为不合题意，舍去：
若直线l不与x轴垂直，可设l的方程为：
由，得：
记、，则有，
由于
点A到直线l的距离为，
将上面两式代入△ABC的面积公式可得：，
整理得：
解得：（舍去），k2 = 1 故，
从而，直线l的方程为：
6. (1)解：设B (，m)，C(x1，y1)），
　　由，得：2(x1，y1) = (1，0) + (－1，m)，解得x1 = 0，
　　设M(x，y)，由，得，
　消去m得E的轨迹方程．
(2)解：由题设知C为AB中点，MC⊥AB，故MC为AB的中垂线，MB∥x轴，
　　设M()，则B(－1，y0)，C(0，)，
当y0≠0时，，MC的方程 8分
　　将MC方程与联立消x，整理得：，
　　它有唯一解，即MC与只有一个公共点，
　　又，所以MC为的切线． 11分
　　当y0 = 0时，显然MC方程x = 0为轨迹E的切线
　　综上知，MC为轨迹E的切线．
7. （1）联立，得
当时，，直线与双曲线无交点，矛盾
直线与双曲线恒有交点，恒成立
（2），则直线l的方程
联立得
整理得：
所求的双曲线方程为
8. (1)
根据两点式得，所求直线的方程为
即 。
直线的方程是
（2）解：设所求椭圆的标准方程为
一个焦点为 即 ①
点在椭圆上，
②
由①②解得
所以所求椭圆的标准方程为
（3）由题意得方程组
解得 或
当时，最小。
9. 解： 由得
⑴
所求的抛物线方程为：
⑵
所求的抛物线方程为：
10. 解：（1）直线，由得
所以，即
将P（3，1）代入椭圆方程得：
故椭圆方程为： ------------------6分
由得，又，
所以，由得
所以P的坐标为，将P代入椭圆方程得：，即
因为，所以，又，
所以．
11. 解（Ⅰ）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，
与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意
②若直线不垂直于轴，设其方程为，
即
设圆心到此直线的距离为，则，得
∴，，
故所求直线方程为
综上所述，所求直线为或
（Ⅱ）设点的坐标为，点坐标为,则点坐标是
∵，∴ 即，
又∵，∴
由已知，直线m //ox轴，所以，，
∴点的轨迹方程是，
轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，
并去掉两点。
12. 解：
13. 解：（1）
14. 证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，
由知点在以线段为直径的圆上，
故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．
设，，则
，，
；
因为与相交于点，且的斜率为．
所以，．
四边形的面积
．
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
15. 解：（1）令，因为,
所以
①
设过A所作的直线方程为，（显然存在）
又由得
代入①，得
消去k，得所求轨迹为，（在圆M内部）
（2）上述轨迹过为定点（）的直线在圆M内部分
,由得
则
令，则，而函数在时递增，
，此时，（1）中P的轨迹为
16. 解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线
　　　　∵ ∴　
∴　曲线方程是………4分
（2）设圆的圆心为，∵圆过，
∴圆的方程为　
令得：　　
设圆与轴的两交点分别为，
方法1：不妨设，由求根公式得
，
∴
又∵点在抛物线上，∴，
∴　，即＝4
∴当运动时，弦长为定值4
　〔方法2：∵，　
∴
　又∵点在抛物线上，∴， ∴　　
∴当运动时，弦长为定值4〕
17.. 解答：（1）设动点P（x，y），
则
由已知得，化简得
∴点P的轨迹是椭圆
（Ⅱ）设过N的直线l的方程为
由
18. 解:（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心，
故该椭圆中a=b=c,即椭圆方程可为x2+2y2=2b2
设H（x，y）为椭圆上一点，则
若0
由（舍去）
若b≥3，当y=－3时，|HN|2有最大值2b2+18
由2b2+18=50得b2=16 ∴所求椭圆方程为
（ii）设E（x1，y1），F(x2，y2），Q（x0，y0），则由
③
又直线PQ⊥直线m ∴直线PQ方程为
将点Q（x0，y0）代入上式得， ④
由③④得Q
而Q点必在椭圆内部 由此得
故当时E、F两点关于点P、Q的直线对称.
19. 解：（1）设点的坐标为，
∵，∴．
整理，得（），这就是动点M的轨迹方程．
（2）方法1：如图，由题意知直线的斜率存在，
设的方程为（） …… ①
将①代入，
得，
由，解得．
设，，则…… ②
令，则，即，即，且
由②得，
即
．
且且．
解得且分
，且．
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．
方法2：如图，由题意知直线的斜率存在，
设的方程为…… ①
将①代入，
整理，得，
由，解得．
设，，则…… ②
令，且．
将代入②，得
∴．即．
∵且，∴且．
即且．
解得且．
，且．
故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．
20. 解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，
其中，，则．
所以动点M的轨迹方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，
∵，∴．
　　 ∵，，
∴．
　　　∴ ．………… ①
由方程组
得．
则，，
代入①，得．
即，解得，或．
　所以，直线的方程是或．
A
B
P
x
y
O2012届高考数学考前回归基础训练题
不等式与数列交汇
1. 数列是以为首项，为公比的等比数列．令，
，．
（1）试用、表示和；
（2）若，且，试比较与的大小；
（3）是否存在实数对，其中，使成等比数列．若存在，求出实数对和；若不存在，请说明理由．
2. 已知定义在R上的单调函数y=f(x)，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x、y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)，
（Ⅰ）求f(0)，并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式；
　 （Ⅱ）数列{an}满足,
①求通项公式an的表达式；
②令，
试比较Sn与Tn的大小，并加以证明.
3. 设函数的定义域为R，当x＜0时＞1，且对任意的实数x，y∈R，有
（Ⅰ）求,判断并证明函数的单调性；
（Ⅱ）数列满足,且
①求通项公式。
②当时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围。
4. 已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（），其中xn为正实数.
（Ⅰ）用表示xn+1；
（Ⅱ）若=4，记an=lg，证明数列成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；
（Ⅲ） 若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.
5. 已知函数的图象经过点A（1，1），B（2，3）及C（，为数列的前项和．
（１）求和；
（２）若数列满足，求数列的前项和；
（３）比较2与的大小．
6. 已知，P1（x1,y1）、P2(x2,y2)是函数图象上两点，且线段P1P2中点P的横坐标是。
（1）求证：点P的纵坐标是定值；
（2）若数列的通项公式是…m)，求数列的前m项和Sm ；
（3）在（2）的条件下，若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。
7. 已知函数横坐标为的点P满足，（1）求证：为定值。
（2）若
（3）、已知其中n∈N*, Tn为数列的前n项和，若Tn8. 设函数
.对于正项数列，其前
（1）求实数 （2）求数列的通项公式
（3）若大小，并说明理由。
9. 已知函数同时满足：不等式 的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立．设数列的前项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（为正整数），求数列的变号数
10. 已知正项数列中，，点在抛物线 上；数列中，点在过点，以为方向向量的直线上．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，问是否存在，使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）证明不等式：，，……
答案：
1. 解：（1）当时，，
当时，
所以
；
（2）因为，
所以
当时，，
当时，，
所以当，且时，，即；
（3）因为，，所以，
因为为等比数列，则或，
所以或（舍去），所以.
2. 解：
（I）由题意，令y=0，x<0，得f(x)[1－f(0)]=0，∵x<0时，f(x)>1.
∴1－f(0)=0. f(0)=1.
适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=()x.
（II）①由递推关系知f(an+1)·f(－2－an)=1，即f(an+1－2－an)=f(0).
∵f(x)的R上单调，∴an+1－an=2，（n∈N*），
又a1=1，故an=2n－1.
②bn=,Sn=b1+b2+…+bn=+()3+…+()2n－1
欲比较Sn与的大小，只需比较4n与2n+1的大小.
由=1，2，3代入可知4n>2n+1，猜想4n>2n+1.
下用数学归纳法证明
（i）当n=1时，41>2×1+1成立
（ii）假设当n=k时命题成立，即4k>2k+1
当n=k+1时，4k+1=4×4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1，
说明当n=k+1时命题也成立.
由（i）（ii）可知，4n>2n+1 对于n∈N*都成立.
故Sn>.
注：证明4n>2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，
如：4n=(1+3)n=1+
3. 解：（Ⅰ）时，f（x）＞1
令x=－1，y=0则f（－1）=f（－1）f（0）∵f（－1）＞1
∴f（0）=1
若x＞0，则f（x－x）=f（0）=f（x）f（－x）故
故x∈R f（x）＞0
任取x1＜x2
故f（x）在R上减函数
（Ⅱ）① 由f（x）单调性
an+1=an+2 故{an}等差数列
②
是递增数列
当n≥2时，
即
而a＞1，∴x＞1
故x的取值范围（1，+∞）
4. 解：（Ⅰ）由题可得．
所以曲线在点处的切线方程是：．
即．
令，得．即．显然，∴．
（Ⅱ）由，知，同理．
　　　故．
从而，即．所以，数列成等比数列．
故．即．
从而所以
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴∴
当时，显然．
当时，
∴．
　　　综上，．
5. 解：①
② 设
相减得：
③
当时， 当时， 当≥3时，
下面证明
当时，，显然成立；
假设当≥3时，不等式成立，即
则当时，
这说明当时，不等式成立.由（1）（2）可知，当≥3时，
6. 解：（1）由知，x1+x2=1，则
故点P的纵坐标是，为定值。
（2）已知…+…
又……
二式相加，得
…
因为…m-1)，故，
又，从而。
（3）由得…①对恒成立。显然，a≠0，
（ⅰ）当a<0时，由得。而当m为偶数时不成立，所以a<0不合题意；
（ⅱ）当a>0时，因为，则由式①得，
又随m的增大而减小，所以，当m=1时，有最大值，故 。
7. （1）证：由已知可得，
由（1）知当时，
解：当
8. 解：（1）∵
不论为何实数恒有
即对
∴
（2）∵
∴
∴ ∵a>0 ∴
∴是首项为a，公差为2的等数列
由
∴ ∴
（3）∵
∴
9. 解：（1）由的解集有且只有一个元素知
或
当时，函数在上递增，此时不满足条件
综上可知
（2）由条件可知
当时，令或
所以或
又时，也有
综上可得数列的变号数为3
10. 解：（1）将点代入得
因为直线，所以
（2） ，
当为偶数时，为奇数，
当为奇数时，为偶数，（舍去）
综上，存在唯一的符合条件
（3）证明不等式即证明
成立，下面用数学归纳法证明
当时，不等式左边=，原不等式显然成立
假设时，原不等式成立，即
当时
=
，即时，原不等式也成立
根据所得，原不等式对一切自然数都成立2012届高考数学考前回归基础训练题——函数
1. 某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）.
（1）写出y与x的函数关系式;
（2）改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
2. 北京某公司生产精品陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为
，每件产品的售价与产量之间的关系式为
．
（Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式；
（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．
3. 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或(为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。
4. 设是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对,用表示区间,已知当时，.
(1)求在上的解析表达式;
(2)对大于零的自然数,求集合.
5. 某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
6. 某家庭用14.4万购买一辆汽车，使用中维修费用逐年上升。第n年维修的费用为0.2n万元，每年其他的费用为0.9万元。报废损失最小指的是购车费，维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在多少年后报废损失最小？
7. 已知定义在
成立，且当x>1时，
（1）求f (1)的值 （2）证明：f (x)在.
8.
（1） ； （2） ；
（3）.
9. 已知函数
（Ⅰ）判断的奇偶性；
（Ⅱ）画出的图象；
（Ⅲ）根据图象填空：①的最小值=
②不等式的解集为
10. 已知
（Ⅰ）
（Ⅱ）
11. 如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在半圆周上。
（Ⅰ）建立这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并注明定义域；
（Ⅱ）求梯形周长的最大值。
12. 已知函数的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称。
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若，且在区间上为减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：恒有
13. 已知二次函数.
（1）若，试判断函数零点个数；
(2) 若对且，，证明方程必有一个实数根属于。
(3)是否存在，使同时满足以下条件①当时， 函数有最小值0；；②对,都有。若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
14. 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如下表所示：
产品 消耗量资源 甲产品（每吨） 乙产品（每吨） 资源限额（每天）
煤（t） 9 4 360
电力（kw·h） 4 5 200
劳力（个） 3 10 300
利润（万元） 6 12
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？
15. 设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时．中午12:00相应的t=0，中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4）．若测得该物体在早上8:00的温度为8℃，中午12:00的温度为60℃，下午13:00的温度为58℃，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率.
（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？
16. 已知集合是满足下列性质的函数的全体, 存在非零常数, 对任意, 有成立.
(1) 函数是否属于集合 说明理由;
(2) 设, 且, 已知当时, , 求当时, 的解析式.
17. 定义在D上的函数，如果满足：，常数，都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
（Ⅰ）求函数在[1，3]上的最大值与最小值，并判断函数在[1，3]上是不是有界函数？请给出证明；
（Ⅱ）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
18. 设函数的定义域为，对任意实数、都有，当时且.
(Ⅰ) 求证：函数为奇函数；
(Ⅱ) 证明函数在上是增函数；
(Ⅲ) 在区间［－4，4］上，求的最值.
19. 为庆祝东莞中学105周年，教师足球队与学生足球队进行一场足球对抗赛. 学生甲带着球，以9米/秒的速度向正南方向走，看到学生乙正好在他的正南方21米处，此时学生乙以6米/秒的速度向南偏东方向走，学生甲想离学生乙最近的时候把球传给他.问经过多少时间后，两位学生相距最近，并求出两位学生的最近距离.
20. 已知函数
（1）当时，解不等式＞；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.
答案：
1. 1）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x）元
月平均销售量为件
则月平均利润（元）
y与x的函数关系式为
（2）令
当
即函数在上单调递减，
所以函数在取得最大值.
2. 解：(Ⅰ)总成本为．
所以日销售利润
．
(Ⅱ)①当时，．
令，解得或．
于是在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取到最大值，且最大值为30000；
②当时，．
综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元．
3. 解：设二次函数为：
由已知得：
∴
当 x = 4时，
又对于函数
由已知得：
∴
当 x = 4时，
由四月份的实际产量为1.37万件,
∴选用函数 作模拟函数较好。
4. (1)解:∵ 是以2为周期的函数,
∴ 当时,是的周期.
又∵ 当时,,
∴ .
即对,当时, .
(2)解:当且时,利用(Ⅰ)的结论可得方程,
整理得 .
它的判别式是 △.
上述方程在区间Ik上恰有两个不相等的实根的充要条件是满足
化简得
由①知，或.
当时: 因为，故从②，③可得
即 ，即
即
当时: 易知无解
综上所述，应满足
故所求集合
5. 解: 设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，
则， ，
∴蔬菜的种植面积
令，对求导，，
设，解得（舍去负值），
当时，，所以在上是减函数，
当时，，所以在上是增函数，
所以，当时，有最小值，
此时，有最大值为
答：当矩形温室的左侧边长为，后侧边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为。
另解：设矩形温室的左侧边长为，后侧边长为，则.
∴蔬菜的种植面积，
∵，
∴，
∴（m2），
当且仅当，即时， m2.
答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.
6. 解：由题意可得，年平均值
当且仅当
7. 解：（1）令x=y=1,得f (1)= f 1）+ f (1)
所以f (1)=0
(2)设
8. 解：（1）
（2）由
（3）
=
=
=
9. 解：（Ⅰ）偶函数
（Ⅱ）（略）
（Ⅲ）① 2
②
10. 解：（Ⅰ）（略）用定义或导数证明
（Ⅱ）
11. 解：（Ⅰ）
12. 解：（Ⅰ）在图象上任取一点(x,y)，则(x,y)关于(0,1)的对称点为(-x,2-y)
由题意得：
（Ⅱ）
且在 （Ⅲ）（略）
13. 解：
（1）
当时，函数有一个零点；
当时，，函数有两个零点。
（2）令，则
，
在内必有一个实根。即方程必有一个实数根属于。
(3)假设存在，由①得
由②知对,都有
令得
由得，
当时，，其顶点为（－1，0）满足条件①，又对,都有，满足条件②。
∴存在，使同时满足条件①、②。
14. 解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨y吨，获得利润z万元
依题意可得约束条件：…………………………5分
（图2分）
利润目标函数………………………………8分
如图，作出可行域，作直线向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时取最大值。
解方程组
所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润。
15. 解：(1) 因为,
而, 故,
∴.
(2) , 由
当在上变化时，的变化情况如下表:
-2 （-2，-1） -1 （-1，1） 1 （1，2） 2
+ 0 － 0 +
58 增函数 极大值62 减函数 极小值58 增函数 62
由上表知当，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃.
16. 解: (1) 假设函数属于集合, 则存在非零常数, 对任意, 有成立, ……………………………………………3分
即: 成立. 令, 则, 与题矛盾. 故.
(2) , 且, 则对任意, 有,
设, 则,
当时, ,
故当时, .
17. 解：（Ⅰ）∵，当时，.
∴在[1，3]上是增函数
∴当时，≤≤，即 -2≤≤26.
所以当时，当时，
∴存在常数M=26，使得，都有≤M成立.
故函数是[1，3]上的有界函数.
（Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1-
∴
令，显然在上单调递减，
则当t→+∞时，→1. ∴
令，显然在上单调递减，
则当时， ∴
∴0≤a≤1；
故所求a的取值范围为0≤a≤1.
18. (Ⅰ) 证明：∵，
∴ 令，得
∴
令，得
即
∴函数为奇函数
(Ⅱ) 证明：设，且
则
又∵当时
∴
即
∴函数在上是增函数
(Ⅲ) ∵函数在上是增函数
∴函数在区间［－4，4］上也是增函数
∴函数的最大值为，最小值为
∵
∴
∵函数为奇函数
∴
故，函数的最大值为12，最小值为.
19. 解：设甲现在所在位置为A，乙现在所在位置为B，运动t秒后分别到达位置C、D,如图可知CD即为甲乙的距离. ――1分
当时,
时，
当时,C、B重合,
当时,
综上所述：经过2秒后两人距离最近为.
20. 解：（1）当时，，，
由 ＞，
得＞，＜ ，＜＜
∴原不等式的解为 ＜＜；
（2）的定义域为，
当时，，，所以是偶函数.
当时，，
所以既不是奇函数，也不是偶函数.
D
A
C
B
O
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1. 已知函数(其中) ,
点从左到右依次是函数图象上三点,且.
(Ⅰ) 证明: 函数在上是减函数；
(Ⅱ) 求证：⊿是钝角三角形;
(Ⅲ) 试问,⊿能否是等腰三角形 若能,求⊿面积的最大值;若不能,请说明理由．
2. 设函数 （a、b、c、d∈R）满足： 都有，且x=1时，取极小值
（1）的解析式；
（2）当时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直；
（3）设 ，证明：时，
3. 设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”．
（Ⅰ）已知函数．求证：为曲线的“上夹线”．
（Ⅱ）观察下图：
根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．
4. 设函数点为.
（1）若的表达式；
（2）在（1）的条件下，求上的最大值.
5. 已知：三次函数，在上单调增，在上单调减，当且仅当时，
（1）求函数f (x)的解析式；
（2）若函数与函数、的图象共有3个交点，求m的取值范围.
6. 已知函数，，h (x) = kx + 9，又f (x)在x = 2 处取得极值9．
(1)求a、b的值；
(2)如果当时，f (x)≤h (x)≤g (x)恒成立，求k的取值范围．
7. 已知f(x)=x3+bx2+cx+2.
(Ⅰ)若f(x)在x=1时，有极值-1，求b、c的值；
(Ⅱ)当b为非零实数时，证明f(x)的图像不存在与直线(b2-c)x+y+1=0平行的切线；
(Ⅲ)记函数|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值为M，求证：M≥.
8. 两个二次函数与的图象有唯一的公共点，
（1）求的值；
（2）设，若在上是单调函数，求的范围，并指出是单调递增函数，还是单调递减函数。
9. 已知函数
（1）若，点P为曲线上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.
10. 已知函数的两条切线PM、PN，切点分别为M、N.
（I）当时，求函数的单调递增区间；
（II）设|MN|=，试求函数的表达式；
（III）在（II）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在m＋1个数使得不等式成立，求m的最大值.
11. 设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
12. 已知函数(x>0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。
13. 已知函数
（1）当的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。
14. )已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R ,m≠0)的图像在（2，f(2)）处的切线与x轴平行.
（1）求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0在（x1,x2）恒有实数解
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x0，使得.如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明：
当015. 已知上是减函数，且.
（Ⅰ）求的值，并求出和的取值范围;
（Ⅱ）求证；
（Ⅲ）求的取值范围，并写出当取最小值时的的解析式.
16. 设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．
17. 设函数
（1）求函数的极大值；
（2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），试确定实数a的取值范围．
18. 设是函数的两个极值点，且.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值.
19. 设函数
（Ⅰ）求函数的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有，求p的取值范围；
（Ⅲ）证明：
20. 设函数，且，其中是自然对数的底数.
（1）求与的关系；
（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（3）设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围.
答案：
1. 解：(Ⅰ)
所以函数在上是单调减函数.
(Ⅱ) 证明:据题意且x1由(Ⅰ)知f (x1)>f (x2)>f (x3), x2=
即⊿是钝角三角形
(Ⅲ)假设⊿为等腰三角形，则只能是
即
①
而事实上, ②
由于,故(2)式等号不成立.这与式矛盾. 所以⊿不可能为等腰三角形.
2. 解：（I）因为，成立，所以：，
由： ，得 ，
由：，得
解之得： 从而，函数解析式为：
（2）由于，，设：任意两数 是函数图像上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是：
又因为：，所以，，得：知：
故，当 是函数图像上任意两点的切线不可能垂直
（3）当： 时， 且 此时
当且仅当：即，取等号，故：
3. 解 （Ⅰ）由得，
当时，，
此时，，
，所以是直线与曲线的一个切点；
当时，，
此时，，
，所以是直线与曲线的一个切点；
所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
对任意x∈R，，
所以
因此直线是曲线的“上夹线”．
（Ⅱ）推测：的“上夹线”的方程为
①先检验直线与曲线相切，且至少有两个切点：
设：
，
令，得：（kZ）
当时,
故：过曲线上的点(，)的切线方程为：
y－[]= [－()]，化简得：．
即直线与曲线相切且有无数个切点．
不妨设
②下面检验g(x)F(x)
g(x)－F(x)=
直线是曲线的“上夹线”．
4. 解：（1）由函数，求导数得，
过
（2）
x －2
+ 0 － 0 +
极大 极小
有表格或者分析说明
，上最大值为13
5. 解：（1）在上单增，（-1，2）上单减
有两根－1，2
令
单调增，单调减
故
故
（2）因
同理f(2) =－21
∴当时，直线与函数的图象有3个交点
又
故当m>1时，直线与的图象共有2个交点，与的图象有1个交点，又f(4) = g (4)故当、时与、共有3个交点.…11分
故m的取值范围：
6. (1)解：
　　由已知，解得a = －2，b = －11
(2)解：由h (x)≤g (x)得：kx≤
　　当x = 0时，不等式恒成立
　　当－2≤x < 0时，不等式为k≥　　①
　　而≤0，∴要①式恒成立，则k≥0
　　当x > 0时，不等式为k≤　①，而≥12
　　∴要①恒成立，则k≤12
　　∴当x∈[0，+∞)时，h (x)≤g (x)恒成立，则0≤k≤12．
　　由f (x)≤h (x)得：
　　当x = 0时，9≥－11恒成立
　　当－2≤x < 0时，k≤
　　令，当－2≤x < 0时，t (x)是增函数，∴t (x)≥t (－2) = 8
∴要f (x)≤h (x)在－2≤x < 0恒成立，则k≤8
　　由上述过程可知，只要考虑0≤k≤8
　　
　　当x∈(0，2]时，，当x∈(2，+∞)时，
　　故在x = 2时有极大值，即在x = 2时有最大值f (2)=9，即f (x)≤9
　　又当k > 0时，h (x)是增函数，∴当x∈[0，+∞)时，h (x)≥9，f (x)≤h (x)成立
　　综上，f (x)≤h (x)≤g (x)恒成立时k的取值范围是0 < k ≤8．
7. (Ⅰ)∵f′(x)=3x2+2bx+c，
由f(x)在x=1时，有极值-1得 (2分)
即 (3分)
当b=1,c=-5时 f′(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1)，
当x>1时，f′(x)>0，
当-从而符合在x=1时，f(x)有极值，∴(4分)
(Ⅱ)假设f(x)图像在x=t处的切线与直线
(b2-c)x+y+1=0平行，∵f′(t)=3t2+2bt+c，
直线(b2-c)x+y+1=0的斜率为c-b2，∴3t2+2bt+c=c-b2,(7分)
即3t2+2bt+b2=0.∵Δ=4（b2-3b2）=-8b2,
又∵b≠0, ∴Δ<0.从而方程3t2+2bt+b2=0无解,
因此不存在t，使f′(t)=c-b2，
却f(x)的图像不存在与直线(b2-c)x+y+1=0平行的切线.(9分)
(Ⅲ)证法一：∵|f'(x)|=|3(x+)2+c-|，
①若|-|>1，则M应是|f′(-1)|和|f′(1)|中最大的一个，
∴2M|≥f′(-1)|+|f′(1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|>12，
∴M>6，从而M≥. (11分)
②当-3≤b≤0时，2M≥|f′(-1)+|f′(-)|
=|3-2b+c|+|c-|≥|-2b+3|=|(b-3)2|≥3，所以M≥.
③当0=|(b+3)2|>3，∴M≥.
综上所述，M≥. (14分)
证法二：f′(x)=3x2+2bx+c的顶点坐标是()，
①若|-|>1，则M应是|f′(-1)|和|f′(1)|中最大的一个，
∴2M≥|f′(-1)|+|f′(1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥4|b|>12，
∴M>6，从而M≥. (11分)
②若|-|≤1，则M是|f′(-1)|、|f′(1)|、||中最大的一个.
(i)当c≥-时，2M≥|f′(1)|+|f′(-1))|≥|f′(1)|+f′(-1)|=|6+2c|≥3，∴M≥.
(2)当c<-时，M≥-c≥-c>，
综上所述，M≥成立. (14分)
证法三：∵M是|f′(x)|，x∈[-1，1]的最大值，
∴M≥|f′(0)|，M≥|f′(1)|，M≥|f′(-1)|.(11分)
∴4M≥2|f′(0)|+|f′(1)|+|f′(-1)|≥|f′(1)+f′(-1)-2f′(0)|=6，即M≥.
8. 解：（1）由已知得 化简得
且
即有唯一解
所以
即
消去得 ，
解得
（2）
若在上为单调函数，则在上恒有或成立。
因为的图象是开口向下的抛物线，
所以时在上为减函数，
所以，解得
即时，在上为减函数。
9. 解：（1）设切线的斜率为k，则
又，所以所求切线的方程为：
即
（2）， 要使为单调增函数，必须满足
即对任意的
而，当且仅当时，等号成立， 所以
所求满足条件的a 值为1
10. 解: （I）依题意,即,.
∵上式恒成立,∴ ①
又,依题意,即,.
∵上式恒成立,∴ ②
由①②得.
∴
（II）由(1)可知,方程,
设,
令,并由得解知
令由
列表分析:
(0,1) 1 (1,+)
- 0 +
递减 0 递增
知在处有一个最小值0,
当时,＞0,
∴在(0,+)上只有一个解.
即当x＞0时,方程有唯一解.
（III）设,
在为减函数 又
所以：为所求范围.
11. 解：（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以　，
解得　或，
因此的取值范围为．
12. 解：（I）由题意知，因此，从而．
又对求导得．
由题意，因此，解得．
（II）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．
即，从而，
解得或．
所以的取值范围为．
13. 解：（Ⅰ）
当
所以函数的单调增区间为（－，－3），（－1，＋）；
单调减区产为（－3，－1）
（Ⅱ）
列表如下：
x －2 （－2，－a） －a
+ 0 － 0 +
极大 极小
由表可知解得，所以存在实数a，使的极大值为3。
14. 解：(1)因为f’(x)=3mx2+2nx, 由已知有f’(2)=0,所以3m+n=0即n=-3m
即f’(x)=3mx2-6mx,由f’(x)>0知mx(x-2)>0.
当m>0时得x<0或x>2，f(x)的减区间为（0，2）；
当m<0时得：0综上所述：当m>0时，f(x)的减区间为（0，2）；
当m<0时,f(x)的减区间为（-∞，0），（2，+∞）；
可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0,令h(x)= 3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2
则h(x1)=(x1-x2)(2x1+x2-3),h(x2)=(x2-x1)(x1+2x2-3),
即h(x1)h(x2)=-(x1-x2)2(2x1+x2-3)(x1+2x2-3) 又因为0故h(x)=0在区间(x1,x2)内必有解，即关于x的方程在（x1,x2）恒有实数解
（3）令g(x)=lnx,x∈(a,b)，
则g(x)符合拉格朗日中值定理的条件,即存在x0∈（a,b）,使
因为g’(x)=,由x∈(a,b),00
即
15. 解．（1）
（2）
（3）
16. 解：（1）函数的定义域为，
∵，
∵，则使的的取值范围为，
故函数的单调递增区间为．
（2）方法1：∵，
∴．
令，
∵，且，
由．
∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，
故在区间内恰有两个相异实根
即解得：．
综上所述，的取值范围是．
方法2：∵，
∴．
即，
令，
∵，且，
由．
∴在区间内单调递增，在区间内单调递减．
∵，，，
又，
故在区间内恰有两个相异实根．
即．
综上所述，的取值范围是．
17. 解：（1）∵，且，
当时，得；当时，得；
∴的单调递增区间为；
的单调递减区间为和．
故当时，有极大值，其极大值为．
（2）∵，
当时，，
∴在区间内是单调递减．
∴．
∵，∴
此时，．
当时，．
∵，∴即
此时，．
综上可知，实数的取值范围为．
18. 解证：（I）易得
的两个极值点
的两个实根，又
∴
∵
（Ⅱ）设则
由
上单调递减
∴的最大值是
19. 解：（1），
当 上无极值点
当p>0时，令的变化情况如下表：
x (0，)
+ 0 －
↗ 极大值 ↘
从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点
（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，
要使恒成立，只需， ∴
∴p的取值范围为[1，+∞
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，
∴，
∴
∴
∴结论成立
20. 解：（1）由题意得
而，所以、的关系为
（2）由（1）知，
令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内满足：恒成立.
①当时，，因为＞，所以＜0，＜0，
∴在内是单调递减函数，即适合题意；
②当＞0时，，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为，∴，
只需，即，
∴在内为单调递增函数，故适合题意.
③当＜0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故＜0适合题意.
综上所述，的取值范围为.
（3）∵在上是减函数，
∴时，；时，，即，
①当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意；
②当0＜＜1时，由，
又由（2）知当时，在上是增函数，
∴＜，不合题意；
③当时，由（2）知在上是增函数，＜2，又在上是减函数，
故只需＞， ，而，， 即 ＞2， 解得＞ ，
综上，的取值范围是.
200703282012届高考数学考前回归基础训练题——概率统计
1. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和
平均分；
(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，
求他们在同一分数段的概率.
2. 有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜.
（1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；
（2）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？
3. 已知函数：，其中：，记函数满足条件：的事件为A，求事件A发生的概率。
4. 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
（Ⅰ）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
（Ⅱ）补全频数条形图；
（Ⅲ）若成绩在75.585.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
5. 某人投掷一枚硬币，出现正面和反面的概率都是，构造数列{an}，使
，记
（1）求S8=2时的概率；
（2）求S2≠0且S8=2时的概率.
6. 已知10件产品中有3件是次品．
(1)任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；
(2)为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？
7. 甲、乙两个排球队进行比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6，比赛是采用五局三胜制。（保留三位有效数字）
（1）在前两局乙队以2 ：0领先的条件下，求最后甲、乙队各自获胜的概率。
（2）求甲队获胜的概率。
8. 甲乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格。
（1）求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少；
（2）在甲、乙两人均考试合格的基础上，求甲答对试题数比乙多一道的概率.
9. 已知集合，在平面直角坐标系中，点的坐标x∈A，y∈A。计算：
（1）点正好在第二象限的概率；
（2）点不在x轴上的概率；
（3）点正好落在区域上的概率。
10. 一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个． 求：
（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；
（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，但取球次数最多不超过4次，求取球次数的概率分布列及期望．
11. 将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
（I）共有多少种不同的结果？
（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？
(III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？
12. 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．
13. 有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜.
（1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；
（2）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？
14. 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立.
(1) 求该学生考上大学的概率.
(2) 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望.
15. 甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过测试的概率比丙大.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（Ⅱ）求测试结束后通过的人数的数学期望.
16. 已知射手甲射击一次，击中目标的概率是．
（1）求甲射击5次，恰有3次击中目标的概率；
（2）假设甲连续2次未击中目标，则中止其射击，求甲恰好射击5次后，被中止射击的概率
17. 已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．
（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；
（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.
18. 旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率
（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.
（3）求选择甲线路旅游团数的期望.
19. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（1求小球落入袋中的概率；
（2)容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．
20. 袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量的概率分布与数学期望
答案：
1. （Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
直方图如右所示
（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为
所以，抽样学生成绩的合格率是%.
利用组中值估算抽样学生的平均分
＝
＝71
估计这次考试的平均分是71分
（Ⅲ）， ，”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。
2. 解：（1）设红色骰子投掷所得点数为，其分布如下：
8 2
P
；
设蓝色骰子投掷所得点数，其分布如下；
7 1
P
（2）∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子者若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，
红色骰子点数为2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是
3. 解：由，可得：
知满足事件A的区域：的面积10，而满足所有条件的区域的面积：
从而，得：，
答：满足事件A的概率为
4. 解：(1)
分组 频数 频率
50.560.5 4 0.08
60.570.5 8 0.16
70.580.5 10 0.20
80.590.5 16 0.32
90.5100.5 12 0.24
合计 50 1.00
(2) 频数直方图如右上所示
(3) 成绩在75.580.5分的学生占70.580.5分的学生的，因为成绩在70.580.5分的学生频率为0.2 ，所以成绩在76.580.5分的学生频率为0.1 ，
成绩在80.585.5分的学生占80.590.5分的学生的，因为成绩在80.590.5分的学生频率为0.32 ，所以成绩在80.585.5分的学生频率为0.16
所以成绩在76.585.5分的学生频率为0.26，
由于有900名学生参加了这次竞赛，
所以该校获得二等奖的学生约为0.26900=234（人）
5. 解：（1）S8=2时，需8次中有5次正面3次反面，设其概率为P1，
则P1=
（2）S2≠0即前两次同时出现正面或反面，
当同时出现正面时，S2=2，要S8=2需6次3次正面3次反面，设其概率为P2，
则P2=
当同时出现反面时，S2=－2，要S8=2需后6次5次正面1次反面，设其概率为P3，
则P3=
所以S2≠0且S8=2时的概率为
6. (1)解：任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为
至少有一件是次品的概率为
(2)设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为
由得：
　　整理得：，
　　∵n∈N*，n≤10，∴当n = 9或n = 10时上式成立
∴任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为；为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验
7. （1）设最后甲获胜为事件A，乙获胜为事件B
（2）设甲获胜为事件C，其比分可能为3：0，3：1，3：2
8. （1）设A={甲考试合格}，B={乙考试合格}，
（2）甲答对三道，乙答对两道题的概率为
9. 解：满足条件的点共有个
（1）正好在第二象限的点有
,,,,,
故点正好在第二象限的概率.
（2）在x轴上的点有,,,,,
故点不在x轴上的概率.
（3）在所给区域内的点有,,,,,
故点在所给区域上的概率
答：（1）点正好在第二象限的概率是，（2）点不在x轴上的概率是，（3）点在所给区域上的概率
10. 解：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率
（Ⅱ）的可能取值为1，2，3，4，，，
，．
的概率分布列为
E=1×＋2×＋3×＋4×=．
1 2 3 4
P
11. 解: （I） 共有种结果　　　　　
（II） 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有：
（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），
（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）
共12种． 　
　（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝
12. 解：（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．
，
．
（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．
则．
，．
．
13. 解：（1）设红色骰子投掷所得点数为，其分布如下：
8 2
P
；
设蓝色骰子投掷所得点数，其分布如下；
7 1
P
（2）∵投掷骰子点数较大者获胜，∴投掷蓝色骰子者若获胜，则投掷后蓝色骰子点数为7，
红色骰子点数为2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是
14. （1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为，则P()=C
∴P(A)=1----4’ 答：该生考上大学的概率为
（2）参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5，
P(ξ=2)=， P(ξ=3)=C ，
P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C
ξ 2 3 4 5
P
故ξ的分布列为：
Eξ=2×+3×+4×+5×=
15. 解（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、依题意得：
即 或 （舍去）
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、.
（Ⅱ）因为
所以=
16. 解：（1）设“甲射击5次，恰有3次击中目标”为事件A，则
．
答：甲射击5次，恰有3次击中目标的概率为．
（2）方法1：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则
．
答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为．
方法2：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则
．
答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为．
17. 解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件，“甲射击一次，命中7环”为事件，由于在一次射击中，与不可能同时发生，故与是互斥事件，
（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为，
由互斥事件的概率加法公式，．
答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．
（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为，
∴．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件，
∴=1－0.1＝0.9．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．
18. 解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=
（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2=
（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）= P（ξ=1）=
P（ξ=2）= P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
19. 解：（1记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故
，
从而；
（2）显然，随机变量，故
，
．
20. （Ⅰ）解法一：记“取出的2个小球上的数字互不相同”为事件，
∵从袋中的6个小球中任取2个小球的方法共有种，
其中取出的2个小球上的数字互不相同的方法有，
∴．
解法二：记“取出的2个小球上的数字互不相同”的事件记为，“取出的2个小球上的数字相同”的事件记为，则事件与事件是对立事件．
∵，
∴．
（Ⅱ）解：由题意，所有可能的取值为：2，3，4，5，6．
，，，
，．
故随机变量的概率分布为
2 3 4 5 6
因此，的数学期望．
当第n次出现反面时
当第n次出现正面时