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北师大版数学八年级上
2.1认识无理数
导学案
课题
2.1认识无理数
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
经历探索无理数的过程，体会无理数产生的实际背景；
掌握无理数的概念；
学会辨别有理数和无理数
重点
难点
学会辨别有理数和无理数
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
回顾：什么是有理数？举例。
勾股定理的内容是什么？如果Rt△ABC的两个直角边分别是5、12，求它的斜边。
合
作
探
究
探究1
将两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形
（1）设大正方形的边长为
a
，则
a
满足什么条件？
（2）a?=2，那么a可能为整数吗？
（3）a?=2，那么a可能为分数吗？
结论：事实上，在等式a?=2中，a既不是
，也不是
.所以a不是
.
探究2
观察下图后回答下面问题
（1）如图：以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
（3）b是有理数吗？
结论：在上面问题中，数a，b确实存在，但都不是
.
探究三
探究面积为2的正方形的边长a是多少呢？
（1）下图中，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。
（2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位
呢？
…
…借助计数器进行探索。
（3）小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结果呢？
边长a
面积S
1＜a
＜2
1
＜S
＜4
1.4
＜a
＜1.5
1.96
＜S
＜2.25
1.41
＜a
＜1.42
1.9881
＜S
＜2.0164
1.414
＜a
＜1.415
1.999396
＜S
＜2.002225
1.4142
＜a
＜
1.4143
1.99996164
＜S
＜2.00024449
还可以继续算下去吗?
a
可能是有限小数吗?
做一做
估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到十分位)，并用计算器验证你的估计.
(2)如果结果精确到百分位呢?千分位呢？万分位呢？……
探究4
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
总结：1、有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。那么，我们就把无限不循环小数叫做无理数。
2、数的分类
例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.1010001000001…….(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
总结：
1、判断一个数是否无理数：（1）看它是不是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数形式，但无理数不能。
2、具体从以下几方面来判断：（1）开方开不尽的数是无理数；（2）π是无理数；（3）无理数与有理数的和、差一定是无理数；（4）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数。
当
堂
检
测
1、一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（ ）
A．整数
B．分数
C．有理数
D．无理数
2、下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数是无限不循环的小数；③无理数包括正无理数、0、负无理数；④无理数都可以用数轴上的点来表示；其中正确的说法的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
3、如图：
(1)x，y，z，w中哪些是有理数哪些是无理数？它们的值分别是多少？
(2)你发现了斜边长度的表示规律了吗？求第n次作出的斜边的长度是多少？
课
堂
小
结
1.无理数的定义：无限不循环小数叫无理数
2.无理数的特征:
（1）圆周率π及一些最终结果含有π的数.
（2）开方开不尽的数.
（3）虽有一定的规律，但不循环的无限小数.
参考答案
自主学习：
整数和分数统称为有理数；举例略
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；13
合作探究：
探究1
（1）因为
所以a2=2
（2）1?=1，2?=4，3?=9，······越来越大，所以a不可能是整数。
（3）两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，所以a不可能是分数。
结论：整数；分数；有理数
探究2
（1）22+12
=5
（2）b2=22+12=5
（3）不是
结论：有理数。
探究3
（1）1＜a＜2；因为边长为a的正方形的面积为2，介于边长为1和边长为2的两个正方形的面积之间，所以1＜a＜2。
（2）1；4；1；4
（3）事实上，a=1.41421356……是一个无限不循环小数.
做一做
（1）2.2
（2）2.23；2.236；2.2360；···
探究4
例1
解：有理数：3.14,,
无理数：0.1010001000001……
当堂检测：
D；2、B；
3、答案：（1）z是有理数，x、y、w是无理数．
（2）第n次作出的斜边的长是
【解析】：（1）因为图中的三角形是直角三角形，由勾股定理得：
x==，y==；z==2；w==（4分）．
所以z是有理数，x、y、w是无理数．（6分）
（2）根据以上规律，第n次作出的斜边的长是．（10分）??
根据勾股定理，分别计算出斜边的长即可．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
.
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2.1
认识无理数
北师大版
八年级上
新知导入
整数
正整数
零
负整数
分数
正分数
负分数
如：1,2,3,…
0
如：-1,-2,-3,…
有理数
1.有理数如何分类？
π属于有理数吗？
新知讲解
活动一：拼图实践
将两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形
1
1
1
1
①
②
③
④
①
②
③
④
设大正方形的边长为
a
，则
a
满足什么条件？
a
新知讲解
思考：1、a?=2，那么a可能为整数吗？
1?=1，2?=4，3?=9，······
越来越大，所以a不可能是整数。
2、a?=2，那么a可能为分数吗？
两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，所以a不可能是分数。
综上所述，a既不是整数也不是分数，所以a不是有理数。那么a到底是什么数呢？
新知讲解
观察下图后回答下面问题
（1）如图：以直角三角形的斜边为
边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b等于什么？
（3）b是有理数吗？
1
2
b
在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数。
5
22+12
=
b2=22+12=5
新知讲解
1
1
2
2
面积为2
a
a
（1）下图中，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。
（2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？
…
…借助计数器进行探索。
面积为1
面积为4
1＜a＜2
因为边长为a的正方形的面积为2，介于边长为1和边长为2的两个正方形的面积之间，所以1＜a＜2。
1
4
1
4
新知讲解
（3）小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结果呢？
1.4142
＜a
＜
1.4143
1.99996164
＜S
＜2.00024449
1.414
＜a
＜1.415
1.999396
＜S
＜2.002225
1.41
＜a
＜1.42
1.9881
＜S
＜2.0164
1.4
＜a
＜1.5
1.96
＜S
＜2.25
1＜a
＜2
1
＜S
＜4
边长a
面积S
还可以继续算下去吗?
a
可能是有限小数吗?
事实上，a=1.41421356……是一个无限不循环小数.
新知讲解
做一做
(1)估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到十分位)，并用计算器验证你的估计.
得到b=2.236067978···，它也是一个无限不循环小数.
2.2
2.23
2.236
(2)如果结果精确到百分位呢?
千分位呢?
万分位呢？
2.2360
同样，对于体积为2的正方体，借助计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105···,它也是一个无限不循环小数
新知讲解
把下列各数表示成小数.
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
那么，我们就把无限不循环小数叫做无理数.
新知讲解
如上面的a，b，c是无理数。
还有我们十分熟悉的圆周率π=3.1415926
…
…是一个无限不循环小数，也是无理数。
再如0.585885888588885…
…（相邻两个5之间8的个数逐次增加1）也是无理数.
新知讲解
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
数
整数
分数
新知讲解
例1.
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.1010001000001…….(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
解：
有理数：
无理数：
0.1010001000001……
新知讲解
总结：
1、判断一个数是否无理数：（1）看它是不是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数形式，但无理数不能。
2、具体从以下几方面来判断：（1）开方开不尽的数是无理数；（2）π是无理数；（3）无理数与有理数的和、差一定是无理数；（4）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数。
课堂练习
1、如图，正三角形的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
h
2
A
B
C
D
解：因为△ABC是正三角形，且AD⊥BC，所以BD=DC，且BD=AB=1.
由勾股定理得h?=2?-1?=3。
所以h既不是整数也不是分数.
课堂练习
2、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.351，-，4.，3.14159，-5.232332···
解：有理数有：0.351，
-，4.，3.14159
无理数有：
-5.232332···
课堂练习
3、判断题
（1）有限小数是有理数；（
）
（2）无限小数都是无理数；（
）
（3）无理数都是无限小数；（
）
（4）有理数是有限小数.（
）
√
×
×
√
拓展提高
如图在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共_____个。
解：如图满足这样条件的点C共4个，
C1，C2，C3，C4。
4
课堂总结
1.无理数的定义：无限不循环小数叫无理数
（2）开方开不尽的数.
（3）虽有一定的规律，但不循环的无限小数.
2.无理数的特征:
（1）圆周率π及一些最终结果含有π的数.
板书设计
课题：2.1
认识无理数
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、无理数的定义
二、无理数的特征
作业布置
基础作业
教材第25页作业题第1、2题
能力作业
教材第25页作业题B组第3、4题
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