(共26张PPT)
2.2
平方根
北师大版
八年级上
新知导入
(1)
（
）2
=
;
（2）（
）2
=144
;
(3)
（
）2
=100
;(4)
（
）2
=0.64;
(5)（
）2
=49
(6)
（
）2
=
在括号里填上适当的正数：
12
10
0.8
7
新知导入
=
_________,
=
_________,
=
_________,
=
_________,
2
3
4
5
根据图形，填空：
X，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？
新知讲解
一般地，如果一个正数
x
的平方等于a，即
x2＝a，那么这个正数
x
就叫做
a
的算术平方根，记为“”，读作“根号
a
”．若，则，
≥0.
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即=0．
正数和0统称非负数.
新知讲解
例1
求下列各数的算术平方根：
(1)
900；(2)
1；(3)；(4)
14．
解:
(1)因为302＝900，所以900的算术平方根是30，
即30
;
(2)因为12＝1，
所以1的算术平方根是1，即;
(3)因为（
2＝，所以的算术平方根是，即
;
(4)14的算术平方根是
。
非平方数的算术平方根只能用根号表示
被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立
新知讲解
例2
自由下落物体的高度h（m）与下落时间t（s）的关系为h=4.9t?．有一铁球从19.6m高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解:
将h＝19.6代入公式h=4.9t?，
得t?=4
，
所以正数t=
2
(s).
即铁球到达地面需要2s.
新知讲解
想一想：
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9.还有其他的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？
-3的平方也等于9
平方等于的数有两个，
和-
；平方等于0.64的数有两个，0.8和-0.8
新知讲解
一般地，如果一个数x的平方等于
a，即x?=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）.
x
49
36
16
1
x2
填表.
±1
±4
±6
±7
新知讲解
议一议
（1）一个正数有几个平方根？
（3）0有几个平方根？
（4）负数呢？
有两个
（2）这两个平方根之间有什么关系？
互为相反数
有一个
没有
总结：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0的本身；负数没有平方根.
新知讲解
正数a的算数平方根表示为，另一个是-
，它们互为相反数.
这两个平方根合起来可以记作±
，(读作“正、负根号a”).
求一个数a的平方根的运算，叫开平方，a叫做被开方数.
根号
被开方数
a为非负数
±
新知讲解
（2）
-
表示正数a的算术平方根的相反数（即正数a的负的平方根）
平方根的表示方法：
（1）
表示正数a的算术平方根
（3）±
表示正数a的平方根
例如：16的平方根是±4,用符号语言表达为:
新知讲解
x
x2
由此可见：平方与开平方互为逆运算！
x2
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
x
+1
-1
+2
-2
+3
-3
平方
开平方
新知讲解
联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个.
平方根与算术平方根的联系与区别：
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：
1.个数不同：
一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：
平方根表示为±
，而算术平方根表示为
。
新知讲解
例3.求下列各数的平方根:
(1)64
(3)0.0004
(5)11
(4)（-25）?
(2)
解：（1
）∵(±8）?=64，∴64的平方根为±8,即±
=±8.
（2）∵
(±）?=，∴
的平方根是±，即±
=±
（3）∵
(±0.02）?=0.004，∴
0.004的平方根是±0.02
，即±
=±
0.02
（4）∵
(±25）?=
（-25）?
，∴
（-25）?的平方根是±25
，即±
=±
25
(5)11的平方根是±
新知讲解
例4
拓展：求使有意义的x的取值范围。
解：∵x+1≥0且1-x≥0
∴x≥-1且x≤1
∴-1≤x≤1
新知讲解
想一想
（1）（
）?等于多少？（
）?等于多少？
（2）
?等于多少？
（3）对于正数a，（
）?等于多少？
64
7.2
a
新知讲解
想一想：对比）?
=
|a|=
a（a＞0）
0（a=0）
-a（a＜0）
）?=a（a≥0）
课堂练习
1．如果a是负数，那么的平方根是（
）．
A．a
B．-a
C．±a
D．
2．使得有意义的
有（
）．
A．
0个
B．1个
C．无数个
D．以上都不对
3．下列说法中正确的是（
）．
A．若a<0
，则
B.x是实数，且
，则a>0
C．
有意义时，x≤0
D．0.1的平方根是±0.01
C
B
C
课堂练习
4、求下列各数的平方根.
(1)121
(2)0
(3)-
解：(1)
∵(±11)2＝121，∴121的平方根是±11；
(2)
∵(0)2＝0，∴0的平方根是0；
(3)
∵x2≥0，∴-没有平方根。
拓展提高
1、已知a，b满足等式
解：
∴a+5=0，b-2=0
∴a=-5，b=2
∴
拓展提高
2、已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值．
解：根据题意，分以下两种情况：
①当a－1与5－2a是同一个平方根时，
a－1＝5－2a.解得a＝2.
此时，m＝12＝1；
②当a－1与5－2a是两个平方根时，
a－1＋5－2a＝0.解得a＝4.
此时，m＝(4－1)2＝9.
综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9.
课堂总结
2、正数有2个平方根，0的平方根是0.负数没有平方根.
3、求一个数的平方根就是寻找哪个数平方等于这个数。平方与开平方是互为逆运算的关系。
1、若x2=
a
，那么x叫做a的平方根，记作：
x
=
±
.
板书设计
课题：2.2
平方根
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、算数平方根
二、平方根
作业布置
基础作业
教材第29页作业题第1、2、3题
能力作业
教材第29页作业题第4、5题
谢谢
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北师大版数学八年级上2.2平方根
导学案
课题
2.2平方根
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；
了解数的平方根的概念，会进行有关平方根的运算；理解算术平方根与平方根的联系与区别。
重点
难点
理解算术平方根与平方根的联系与区别
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
计算
4?=
；7?=
；
9?=
；11?=
.
填底数
（
）?=16；（
）?=49；（
）?=81；（
）?=121
合
作
探
究
探究1
根据勾股定理，结合图形完成填空
总结：一般地，如果一个正数
x
的平方等于a，即
x2＝a，那么这个正数
x
就叫做
a
的
，记为“”，读作“
”．若，则，
≥0.
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即=0．正数和0统称非负数.
例1
求下列各数的算术平方根：
(1)
900；(2)
1；(3)；(4)
14．
例2
自由下落物体的高度h（m）与下落时间t（s）的关系为h=4.9t?．有一铁球从19.6m高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
探究2
想一想：
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9.还有其他的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？
总结：一般地，如果一个数x的平方等于
a，即x?=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）.
议一议
（1）一个正数有几个平方根？
（2）这两个平方根之间有什么关系？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
总结：1、一个正数有
平方根；0只有
平方根，它是
；负数
平方根.
2、正数a的算数平方根表示为
，另一个是
，它们
.
这两个平方根合起来可以记作
，(读作“
”).求一个数a的平方根的运算，叫
，a叫做
.
3、平方根的表示方法：（1）
表示
；（2）
-
表示
；（3）±
.
例如：16的平方根是±4,用符号语言表达为
.
探究3
填空
总结：平方与开平方互为逆运算！
平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为
，而算术平方根表示为。
例3
求下列各数的平方根:
(1)64
(2)
(3)0.0004
(4)
(5)11
例4
拓展：求使有意义的x的取值范围。
探究4
想一想
（1）（
）?等于多少？（
）?等于多少？
（2）
?等于多少？
（3）对于正数a，（
）?等于多少？
总结：想一想：对比）?
当
堂
检
测
1.下列说法中正确的是 ( )
A.任何数的平方根都有两个
B.只有正数才有平方根
C.一个正数的平方根有两个
D.m2的平方根是m
2、(-2)2的平方根是(
)
A.2
B.±2
C.-2
D.
3、已知2x-1的平方根是±6
,
2x+y-1的平方根是±5
,
2x-3y+4的平方根是
.
4、若
y=，求2x+y的值.
课
堂
小
结
1、若x2=
a
，那么x叫做a的平方根，记作：
x
=
±
.
2、正数有2个平方根，0的平方根是0.负数没有平方根.
3、求一个数的平方根就是寻找哪个数平方等于这个数。平方与开平方是互为逆运算的关系。
参考答案
自主学习：
1、16；49；81；121
2、4；7；9；11
合作探究：
探究1
2；3；4；5；
总结：算术平方根；
例1
解:
(1)因为302＝900，所以900的算术平方根是30，
即30
;
(2)因为12＝1，
所以1的算术平方根是1，即;
(3)因为（
2＝，所以的算术平方根是，即
;
(4)14的算术平方根是
。
例2
解:
将h＝19.6代入公式h=4.9t?，
得t?=4
，
所以正数t=
2
(s).
即铁球到达地面需要2s.
探究2
想一想
（1）-3的平方也等于9
（2）平方等于的数有两个，
和-
；平方等于0.64的数有两个，0.8和-0.8
议一议
有两个；（2）互为相反数；（3）有一个；（4）没有
总结：1、两个；一个，
0的本身；没有.
2、；-；互为相反数；±正、负根号a；开平方；
被开方数
3、（1）正数a的算术平方根；（2）正数a的算术平方根的相反数（即正数a的负的平方根）；（3）正数a的平方根；
探究3
1；4；9；+1；-1；+2；-2；+3；-3
例3
解：（1
）∵
∴64的平方根为
,
即
。
（2）∵
∴
的平方根为，即
（3）∵
，∴0.0004的平方根为±0.02
即
（4）∵
，∴
的平方根为
即
（5）11的平方根
。
例4
解：∵x+1≥0且1-x≥0
∴x≥-1且x≤1
∴-1≤x≤1
探究4
想一想
（1）64；；（2）7.2；（3）a
当堂检测：
1、C；2、B；3、±；
4、解：∵
，4-
∴
。
∴
∵
∴
∴
∴
∴2
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精品试卷·第
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