(共22张PPT)
1.3
勾股定理的应用
北师大版
八年级上
新知导入
下图是图书馆示意图，小米在图书馆的阅览室B，小红在视听室，请问小米要去找小红，怎么走最近？请说明理由。
阅览室A
阅览室B
视听室
两点之间，线段最短。
新知讲解
有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面上圆的周长等于18厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想吃到底面上与点A相对的点B处的食物,蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少?
（π取3）
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
新知讲解
方案一
方案二
方案三
蚂蚁A→B的路线
所走路程为高+直径=12+2×3=18cm
所走路程为高
+πr
=12+3×3=21cm
侧面展开图
AB等于多少？
新知讲解
在Rt△ABC中，
利用勾股定理可得，
12
综上所述可得，方案?为最短路径，最短路径是15cm
新知讲解
在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从正方体的外表面爬行去吃顶点B处的食物，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20s内从A爬到B？
正方体六个面都一样，所以只需要算一种情况！
新知讲解
解：根据已知条件且蚂蚁20s可以爬行20cm.
AC=20cm，BC=10cm.
在Rt△ABC中，由勾股定理知，
AB?=AC?+BC?=20?+10?=500＞20?
∴蚂蚁不能在20s内从A爬到B.
A
B
C
新知讲解
解决路程最短问题时，可利用数学建模思想构造直角三角形，结合两点之间线段最短和勾股定理求解。
立体图形
平面图形
直角三角形模型。
展开
勾股定理
新知讲解
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
新知讲解
解：连接BD
∴AD和AB垂直．
A
D
B
C
∵AD?+AB?=30?+40?=2500
BD?=2500
∴AD?+AB?=
BD?
新知讲解
当刻度尺较短时，有多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
新知讲解
例
右图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE=3cm，CD=1cm，求滑道AC的长。
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm，AE的长度为（x-1）m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE?+CE?=AC?，
即（x-1）?+3?=x?，解得x=5.
故滑道AC的长度为5m.
新知讲解
１、立体图形中路线最短的问题:
把立体图形展开，得到平面图形．
根据“两点之间，线段最短”
确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离．
２、解决实际问题:
将实际问题抽象为数学问题.
构建直角三角形模型，运用勾股定理解决实际问题．
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
课堂练习
1、有一块边长为24m的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B出有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处梳理一个标牌“少走
m，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌上的“
”处填上数字，该数字是
（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
D
2、一架飞机在空中水平飞行，某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000m处，20s后，飞机距离这个男孩头顶5000m，则飞机每小时飞行
km。
540
课堂练习
3、学校广场有一块如图所示的草坪，已知AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m，且AB⊥BC。求这块草坪的面积。
解：连接AC.
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°.
∵AB=3m，BC=4m，
∴AC?=AB?+BC?=3?+4?=25.
∵AD=13cm，CD=12m，∴AD?=169，CD?=144，而144+25=169，即AC?+CD?=AD?，
课堂练习
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=
AB·BC+
AC·CD=6+30=36m?
拓展提高
如图，某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB=90°，AC=80m，BC=60m，若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，已知水渠的造价为10元/m，则点D距点A多远时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
课堂总结
勾股定理的应用
立体图形中两点之间最短距离
勾股定理的实际应用
板书设计
课题：1.3勾股定理的应用
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、立体图形中两点之间最短距离
二、勾股定理的实际应用
作业布置
基础作业
教材第14页作业题第1、2题
能力作业
教材第15页作业题第3、4题
谢谢
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北师大版数学八年级上1.3勾股定理的应用
导学案
课题
1.3勾股定理的应用
单元
第一章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能目标：
了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.
掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算.
过程与方法目标
让学生亲自经历卷折圆柱.
让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）.
让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力.
情感与态度目标
在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
重点
难点
勾股定理的应用
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
1、在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？并写出它的逆定理.
合
作
探
究
探究1
1、有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面上圆的周长等于18厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想吃到底面上与点A相对的点B处的食物,蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少?
（π取3）
（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
总结：1、线段公理：
.
2、勾股定理：
.
变式题：在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从正方体的外表面爬行去吃顶点B处的食物，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20s内从A爬到B？
总结：
探究2
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
探究3
例
右图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE=3cm，CD=1cm，求滑道AC的长。
总结：
解决实际问题:将
抽象为数学问题.构建
模型，运用
解决实际问题．
当
堂
检
测
1、现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（ ）
A、米
B、米
C、米或米
D、米
2、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A、5
B、25
C、10+5
D、35
3、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
课
堂
小
结
立体图形中两点之间最短距离
勾股定理的应用
勾股定理的实际应用
参考答案
自主学习：
1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足a2
+
b2
=
c2那么这个三角形是直角三角形。
合作探究：
探究1
所走路程为高+直径=12+2×3=18cm
所走路程为高
+πr=12+3×3=21cm
在Rt△ABC中，利用勾股定理可得，
比较方案，可得，方案为最短路径，最短路径是15cm
总结：1、线段公理：两点之间，线段最短
2、勾股定理：在Rt△ABC中，两直角边为a、b,斜边为c，则a2+b2=c2.
变式题：
分析：由于正方体六个面都一样，所以只需要算一种情况！
解：根据已知条件且蚂蚁20s可以爬行20cm.
AC=20cm，BC=10cm.
在Rt△ABC中，由勾股定理知，
AB?=AC?+BC?=20?+10?=500＞20?
∴蚂蚁不能在20s内从A爬到B.
探究2
解：连接BD
∵AD?+AB?=30?+40?=2500
BD?=2500
∴AD?+AB?=
BD?
∴AD和AB垂直.
（3）当刻度尺较短时，有多种办法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度，或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．
探究3
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm，AE的长度为（x-1）m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE?+CE?=AC?，
即（x-1）?+3?=x?，解得x=5.
故滑道AC的长度为5m.
总结：
实际问题；直角三角形；勾股定理
当堂检测：
C；2、B
3、解：展开图如图所示，AB=
=
13cm
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精品试卷·第
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