等腰三角形
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(共17张PPT)
营山县三元小学 余志明
等腰三角形
九年义务教育八年级数学上册
等腰三角形
10
欣赏著名建筑
北京天安门
埃菲儿铁塔
巴黎卢浮宫
伦敦白金汉宫
欣赏著名建筑
A
B
C
底边
顶角
底角
等腰三角形中，相等的两边叫作腰
两腰的夹角叫做顶角
底边和腰的夹角叫做底角
有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
概 念
腰
腰
另一边叫作底边
等腰三角形ABC是轴对称图形吗？为什么？
是，因为沿AD所在的直线折叠两边重合，所以是轴对称图形。
A
C
B
A
C
B
B
A
C
B
A
C
A
C
B
A
C
B
A
C
B
B
A
C
(B)
A
C
B
A
C
A
C
B
A
C
B
A
C
B
B
A
C
B
A
C
A
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B
B
A
C
B
A
C
A
C
B
A
C
B
A
C
B
B
A
C
(B)
A
C
(B)
A
C
A
C
B
折一折
D
重合的线段 重合的角
A
C
B
D
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
找一找
等腰三角形是轴对称图形，除了两腰相等外，它还有那些特点，提出你的想法。
等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B= C
分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的三角形？
A
B
C
D
猜想与证明
方法一:作底边的高AD
方法二:作底边的中线AD
方法三:作顶角的平分线AD
D
在Rt△ABD和Rt△ACD中
AB＝AC
AD＝AD
（公共边）
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD
（HL）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
证明: 作△ABC的高线AD
方法一
则有∠ADB=∠ADC=90°
A
B
C
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
C
D
在△ABD和△ACD中
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌△ACD
（SSS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
证明: 作△ABC的中线AD
则有BD＝CD
方法二
A
B
C
D
1
2
在△ABD和△ACD中
AB＝AC
∠1＝∠2
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌△ACD
（SAS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
则∠1＝∠2
证明: 作顶角的平分线AD，
方法三
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
A
B
C
在△ABC中，
∵AB=AC（已知）
∴∠B =∠C（等边对等角）
用符号语言表示为：
等腰三角形的性质一
(等腰三角形底边上的中线平分顶角并且垂直于底边.)
(等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.)
∵AD是∠BAC的平分线∴ ⊥ ， = 。
(等腰三角形底边上的高平分顶角并且平分底边.)
∵AD ⊥ BC ∴∠ = ∠ ， = 。
∵AD是底边BC的中线∴ ⊥ ，∠ =∠ 。
用符号语言表示为：
性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简写成“三线合一”）
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
1
2
BD
CD
AD
BC
1
2
AD
BC
BD
CD
`
A
B
D
C
1
2
等腰三角形的性质二
在等腰三角形中，顶角平分线，底边上的中线，底边上的高有一个成立，其余两个也同时成立。
⒈等腰三角形一个顶角为80°,它的另外两个
角为___________________ ；
⒉等腰三角形一个角为80°,它的另外两个角
为____________________________ ；
⒊等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角
为___________________ 。
50°, 50°
50°, 50°或80°, 20°
30°, 30°
小试牛刀
想一想：
等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？
顶角= －2×底角
＜顶角＜180°
＜底角＜90°
180°
0°
0°
( )(1)等腰三角形的角平分线、中线和高相互重合.
( )(2)等腰三角形底边上的高就是顶角的平分线.
( )(3)等腰三角形是轴对称图形，共有3条对称轴.
×
√
×
再创佳绩
A
B
C
D
例题:如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,
解：设∠A=X,
∴ ∠BDC=∠C=∠ABC=2X,
∴ ∠A=∠ABD=X
又∵BD=BC AB=AC,
∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=2X,
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=X+2X+2X=180°
解得X=36°.
在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
x
x
2x
2x
2x
问题一：由条件，你能在图中找出几个等腰三角形？
分析：
三个等腰三角形：
△ABC、 △ABD、 △BDC
问题二：因此，你能在找出那些相等的角？它们之间有何关系？
问题三：你用什么方法能快速地表达出图中各角之间的关系？
用设未知数列方程的方法，即方程思想来解决。
∵ AD=BD
∠1=∠2 ∠3=∠5=∠4
∠3=∠5=∠4= 2∠1=2∠2
例题讲解
求△ABC各角的度数。
1
2
3
5
4
1
2
3
x
我的收获
我有哪些收获？
等腰三角形的概念
等腰三角形的性质
利用等腰三角形的性质解题
本节课你有哪些收获？有何感想？
作 业
1．必做题：教科书第51页练习1、2、3，第56页习
题12.3第6题；
2．选做题：教科书第56页习题12．3第1、3题．
营山县三元小学 余志明
谢 谢 大 家
谢 谢 大 家
营山县三元小学 余志明
等腰三角形
九年义务教育八年级数学上册
等腰三角形
10
欣赏著名建筑
北京天安门
埃菲儿铁塔
巴黎卢浮宫
伦敦白金汉宫
欣赏著名建筑
A
B
C
底边
顶角
底角
等腰三角形中，相等的两边叫作腰
两腰的夹角叫做顶角
底边和腰的夹角叫做底角
有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
概 念
腰
腰
另一边叫作底边
等腰三角形ABC是轴对称图形吗？为什么？
是，因为沿AD所在的直线折叠两边重合，所以是轴对称图形。
A
C
B
A
C
B
B
A
C
B
A
C
A
C
B
A
C
B
A
C
B
B
A
C
(B)
A
C
B
A
C
A
C
B
A
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B
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C
B
B
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C
B
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A
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B
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C
B
A
C
B
B
A
C
(B)
A
C
(B)
A
C
A
C
B
折一折
D
重合的线段 重合的角
A
C
B
D
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
找一找
等腰三角形是轴对称图形，除了两腰相等外，它还有那些特点，提出你的想法。
等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B= C
分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的三角形？
A
B
C
D
猜想与证明
方法一:作底边的高AD
方法二:作底边的中线AD
方法三:作顶角的平分线AD
D
在Rt△ABD和Rt△ACD中
AB＝AC
AD＝AD
（公共边）
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD
（HL）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
证明: 作△ABC的高线AD
方法一
则有∠ADB=∠ADC=90°
A
B
C
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
C
D
在△ABD和△ACD中
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌△ACD
（SSS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
证明: 作△ABC的中线AD
则有BD＝CD
方法二
A
B
C
D
1
2
在△ABD和△ACD中
AB＝AC
∠1＝∠2
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌△ACD
（SAS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
则∠1＝∠2
证明: 作顶角的平分线AD，
方法三
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
A
B
C
在△ABC中，
∵AB=AC（已知）
∴∠B =∠C（等边对等角）
用符号语言表示为：
等腰三角形的性质一
(等腰三角形底边上的中线平分顶角并且垂直于底边.)
(等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.)
∵AD是∠BAC的平分线∴ ⊥ ， = 。
(等腰三角形底边上的高平分顶角并且平分底边.)
∵AD ⊥ BC ∴∠ = ∠ ， = 。
∵AD是底边BC的中线∴ ⊥ ，∠ =∠ 。
用符号语言表示为：
性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简写成“三线合一”）
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
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BD
CD
AD
BC
1
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AD
BC
BD
CD
`
A
B
D
C
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等腰三角形的性质二
在等腰三角形中，顶角平分线，底边上的中线，底边上的高有一个成立，其余两个也同时成立。
⒈等腰三角形一个顶角为80°,它的另外两个
角为___________________ ；
⒉等腰三角形一个角为80°,它的另外两个角
为____________________________ ；
⒊等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角
为___________________ 。
50°, 50°
50°, 50°或80°, 20°
30°, 30°
小试牛刀
想一想：
等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？
顶角= －2×底角
＜顶角＜180°
＜底角＜90°
180°
0°
0°
( )(1)等腰三角形的角平分线、中线和高相互重合.
( )(2)等腰三角形底边上的高就是顶角的平分线.
( )(3)等腰三角形是轴对称图形，共有3条对称轴.
×
√
×
再创佳绩
A
B
C
D
例题:如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,
解：设∠A=X,
∴ ∠BDC=∠C=∠ABC=2X,
∴ ∠A=∠ABD=X
又∵BD=BC AB=AC,
∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=2X,
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=X+2X+2X=180°
解得X=36°.
在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
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2x
2x
问题一：由条件，你能在图中找出几个等腰三角形？
分析：
三个等腰三角形：
△ABC、 △ABD、 △BDC
问题二：因此，你能在找出那些相等的角？它们之间有何关系？
问题三：你用什么方法能快速地表达出图中各角之间的关系？
用设未知数列方程的方法，即方程思想来解决。
∵ AD=BD
∠1=∠2 ∠3=∠5=∠4
∠3=∠5=∠4= 2∠1=2∠2
例题讲解
求△ABC各角的度数。
1
2
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我的收获
我有哪些收获？
等腰三角形的概念
等腰三角形的性质
利用等腰三角形的性质解题
本节课你有哪些收获？有何感想？
作 业
1．必做题：教科书第51页练习1、2、3，第56页习
题12.3第6题；
2．选做题：教科书第56页习题12．3第1、3题．
营山县三元小学 余志明
谢 谢 大 家
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