初二数学下册（北京版）16章一元二次方程解法复习课件（115张ppt）

(共115张PPT)
初二年级
数学
一元二次方程解法复习
你知道一元二次方程有哪些解法吗？
问题1
你知道一元二次方程有哪些解法吗？
问题1
一元二次方程的解法：
(1)开平方法；
(2)配方法；
(3)公式法；
(4)因式分解法.
特殊解法：
开平方法
因式分解法
特殊解法：
开平方法
因式分解法
具有特殊形式的一元二次方程求解比较简便.
特殊解法：
开平方法
因式分解法
具有特殊形式的一元二次方程求解比较简便.
一般解法：
配方法
公式法
特殊解法：
开平方法
因式分解法
具有特殊形式的一元二次方程求解比较简便.
一般解法：
配方法
公式法
适用于任意一个一元二次方程求解.
你能说说每一种解法的特点吗？
问题2
你能说说每一种解法的特点吗？
问题2
1.开平方法.
你能说说每一种解法的特点吗？
问题2
1.开平方法.
条件：形如
x2
=
m
(m≥0)的方程.
你能说说每一种解法的特点吗？
问题2
1.开平方法.
条件：形如
x2
=
m
(m≥0)的方程.
依据：平方根的意义.
如果x2
=
m
(m≥0)，那么x
=±
.
解法步骤：
解法步骤：
(1)
将方程整理成
x2=m
(m≥0)的形式.
解法步骤：
(1)
将方程整理成
x2=m
(m≥0)的形式.
(2)
依据平方根的意义，开平方得x=±
，从而求出方程的解.
解法步骤：
(1)
将方程整理成
x2=m
(m≥0)的形式.
(2)
依据平方根的意义，开平方得x=±
，从而求出方程的解.
注：开平方的目的是将二次方程
降为一次方程.
例1.用开平方法解下列方程.
(1)
3x2_75
=
0
；(2)
(3a-1)2-2
=
0.
(1)
3x2_75
=
0.
(1)
3x2_75
=
0.
解：(1)
移项，得
3x2
=
75.
(1)
3x2_75
=
0.
解：(1)
移项，得
3x2
=
75.
系数化1，得
x2
=
25.
(1)
3x2_75
=
0.
解：(1)
移项，得
3x2
=
75.
系数化1，得
x2
=
25.
开平方，得
x
=±
.
x
=±5
.
所以方程的解是
x1=
5
，x2=-5
.
(2)
(3a-1)2-2
=
0.
解：
(2)移项，得
(3a-1)2
=2.
(2)
(3a-1)2-2
=
0.
解：
(2)移项，得
(3a-1)2
=2.
开平方，得
3a-1=±
.
3a-1=
或
3a-1=
-
.
(2)
(3a-1)2-2
=
0.
解：
(2)移项，得
(3a-1)2
=2.
开平方，得
3a-1=±
.
3a-1=
或
3a-1=
-
.
3a-1=
3a
=1+
3a-1=
-
3a
=1-
(2)
(3a-1)2-2
=
0.
解：
(2)移项，得
(3a-1)2
=2.
开平方，得
3a-1=±
.
3a-1=
或
3a-1=
-
.
所以方程的解是
a1=
，
a2=
.
3a-1=
3a
=1+
3a-1=
-
3a
=1-
(2)
(3a-1)2-2
=
0.
2.因式分解法.
2.因式分解法.
条件：方程可以化为两个一次因式的乘积
等于0的形式.
2.因式分解法.
条件：方程可以化为两个一次因式的乘积
等于0的形式.
依据：两个因式的积为0，那么这两个因式至
少有一个等于0.
即如果a
b
=
0，那么a
=
0或b
=
0.
解法步骤：
（1）将方程整理成等号右边是0，左边是两
个一次因式乘积的形式.
解法步骤：
（1）将方程整理成等号右边是0，左边是两
个一次因式乘积的形式.
（2）依据若a
b
=
0，则a
=
0或b
=
0，转化
为两个一元一次方程.
解法步骤：
（1）将方程整理成等号右边是0，左边是两
个一次因式乘积的形式.
（2）依据若a
b
=
0，则a
=
0或b
=
0，转化
为两个一元一次方程.
（3）解这两个一元一次方程求出方程的解.
解法步骤：
(1)
x2
-5x=0；
(2)
4(2x
-1)=3x(2x
-1).
例2.用因式分解法解下列方程.
(1)
x2
-5x=0.
解：(1)
因式分解，得
x(x-5)
=
0.
(1)
x2
-5x=0.
解：(1)
因式分解，得
x(x-5)
=
0.
(1)
x2
-5x=0.
∵
a
b
=
0
∴
a
=
0或b
=
0
解：(1)
因式分解，得
x(x-5)
=
0.
x
=
0
或
x-5
=
0.
(1)
x2
-5x=0.
解：(1)
因式分解，得
x(x-5)
=
0.
x
=
0
或
x-5
=
0.
所以方程的解是
x1
=
0
，
x2
=
5
.
(1)
x2
-5x=0.
(2)
4(2x
-1)=3x(2x
-1).
解：(2)
移项，得
4(2x-1)-3x(2x-1)
=
0.
(2)
4(2x
-1)=3x(2x
-1).
解：(2)
移项，得
4(2x-1)-3x(2x-1)
=
0.
(2)
4(2x
-1)=3x(2x
-1).
解：(2)
移项，得
4(2x-1)-3x(2x-1)
=
0.
分解因式，得
(2x-1)
(4-3x)
=
0.
(2)
4(2x
-1)=3x(2x
-1).
∵
a
b
=
0
∴
a
=
0或b
=
0
解：(2)
移项，得
4(2x-1)-3x(2x-1)
=
0.
分解因式，得
(2x-1)
(4-3x)
=
0.
2x-1=
0
或
4-3x
=
0.
(2)
4(2x
-1)=3x(2x
-1).
解：(2)
移项，得
4(2x-1)-3x(2x-1)
=
0.
分解因式，得
(2x-1)
(4-3x)
=
0.
2x-1=
0
或
4-3x
=
0.
所以方程的解是
x1=
，
x2=
.
(2)
4(2x
-1)=3x(2x
-1).
3.配方法.
3.配方法.
将方程ax2+bx+c
=
0(a≠0)通过配方转化为(x
+
n)2=m
(m≥0)的形式，再利用开平方法求出方程的解.
解法步骤：
(1)
将一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c
=
0(a≠0).
解法步骤：
(1)
将一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c
=
0(a≠0).
(2)
将二次项系数化1.
解法步骤：
(1)
将一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c
=
0(a≠0).
(2)
将二次项系数化1.
(3)
配方：方程转化为(x
+
n)2
=
m(m≥0)的形式.
解法步骤：
(1)
将一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c
=
0(a≠0).
(2)
将二次项系数化1.
(3)
配方：方程转化为(x
+
n)2
=
m(m≥0)的形式.
(4)
利用开平方法求出方程的解.
解法步骤：
例3.用配方法解方程
.
3x2
+6x-4
=
0.
例3.用配方法解方程
.
3x2
+6x-4
=
0.
解：方程两边同时除以3，得
x2
+2x-
=
0
.
例3.用配方法解方程
.
3x2
+6x-4
=
0.
解：方程两边同时除以3，得
x2
+2x-
=
0
.
配方，得
x2+2x+12
=
+12
.
(x+1)2
=
.
开平方，得
x+1=±
.
x+1=±
.
开平方，得
x+1=±
.
x+1=±
.
所以，方程的解为
x
1=
-1+
，
x2=
-1-
.
4.公式法.
4.公式法.
依据一元二次方程ax2+bx+c
=
0(a≠0)的求根公式：
x
=
(b2-4ac
≥
0)
.
解法步骤：
解法步骤：
(1)将一元二次方程整理成ax2+bx+c
=
0(a≠0)的形式；
解法步骤：
(1)将一元二次方程整理成ax2+bx+c
=
0(a≠0)的形式；
(2)确定a
，b
，c
的值；
解法步骤：
(1)将一元二次方程整理成ax2+bx+c
=
0(a≠0)的形式；
(2)确定a
，b
，c
的值；
(3)计算b2-4ac的值，判断方程是否有实数解；
解法步骤：
(1)将一元二次方程整理成ax2+bx+c
=
0(a≠0)的形式；
(2)确定a
，b
，c
的值；
(3)计算b2-4ac的值，判断方程是否有实数解；
(4)当b2-4ac
≥
0时，代入求根公式求出方程的解.
例4.用公式法解方程.
7x2
+5x
-3=0
.
7x2
+5x
-3=0
.
解：a=7，b=5，c=-3.
7x2
+5x
-3=0
.
解：a=7，b=5，c=-3.
b2-4ac=52-4×7×(-3)=109＞0.
7x2
+5x
-3=0
.
解：a=7，b=5，c=-3.
b2-4ac=52-4×7×(-3)=109＞0.
代入公式，得
x
=
=
.
7x2
+5x
-3=0
.
解：a=7，b=5，c=-3.
b2-4ac=52-4×7×(-3)=109＞0.
代入公式，得
x
=
=
.
所以，方程的根是
x1
=
，
x2=
.
方程7x2
+5x
-3=0更适合用公式法
还是配方法？
思考
方程7x2
+5x
-3=0更适合用公式法
还是配方法？
思考
分析：
x2
+
x
-
=
0
.
方程7x2
+5x
-3=0更适合用公式法
还是配方法？
思考
分析：
x2
+
x
-
=
0
.
配方，得
x2+
x+
(
)
2
=
+
(
)2
.
方程7x2
+5x
-3=0更适合用公式法
还是配方法？
思考
分析：
x2
+
x
-
=
0
.
配方，得
x2+
x+
(
)
2
=
+
(
)2
.
方程7x2
+5x
-3=0更适合用公式法
还是配方法？
思考
分析：
x2
+
x
-
=
0
.
配方，得
x2+
x+
(
)
2
=
+
(
)2
.
3x2
+6x-4
=
0.
方程7x2
+5x
-3=0更适合用公式法
还是配方法？
思考
分析：
x2
+
x
-
=
0
.
配方，得
x2+
x+
(
)
2
=
+
(
)2
.
3x2
+6x-4
=
0.
x2+2x+12
=
+12
.
方程7x2
+5x
-3=0更适合用公式法
还是配方法？
思考
分析：
x2
+
x
-
=
0
.
配方，得
x2+
x+
(
)
2
=
+
(
)2
.
3x2
+6x-4
=
0.
x2+2x+12
=
+12
.
什么时候选配方法，什么时候选公式法？
方程7x2
+5x
-3=0更适合用公式法
还是配方法？
思考
分析：
x2
+
x
-
=
0
.
配方，得
x2+
x+
(
)
2
=
+
(
)2
.
当方程的一次项系数是二次项系数的整数倍时，可以考虑用配方法求解，否则用公式法.
3x2
+6x-4
=
0.
x2+2x+12
=
+12
.
什么时候选配方法，什么时候选公式法？
例5.选择适当的方法解下列方程.
(1)x2-289=0；
(2)7x2+4x-3=0；
(3)x2-2x-4=0；
(4)x2-3x=0.
(1)x2-289=0.
开平方法
解：移项，得
x2
=
289.
开平方
，得
x
=±
.
x
=±17
.
所以这个方程的解是
x1=17，x2=-17
.
(1)x2-289=0.
（2）7x2+4x-1=0.
公式法
（2）7x2+4x-1=0.
解：a=7，b=4，c=-1.
（2）7x2+4x-1=0.
解：a=7，b=4，c=-1.
b2-4ac=42-4×7×(-1)
=
44>0.
（2）7x2+4x-1=0.
解：a=7，b=4，c=-1.
b2-4ac=42-4×7×(-1)
=
44>0.
代入求根公式，得
=
=
x=
（2）7x2+4x-1=0.
解：a=7，b=4，c=-1.
b2-4ac=42-4×7×(-1)
=
44>0.
代入求根公式，得
=
=
x=
结果要化简
（2）7x2+4x-1=0.
解：a=7，b=4，c=-1.
b2-4ac=42-4×7×(-1)
=
44>0.
代入求根公式，得
=
=
=
.
x=
结果要化简
（2）7x2+4x-1=0.
解：a=7，b=4，c=-1.
b2-4ac=42-4×7×(-1)
=
44>0.
代入求根公式，得
=
=
=
.
x=
所以方程的解是
x1=
，
x2=
.
结果要化简
(3)
x2-2x-4=0
配方法
(3)
x2-2x-4=0
解：配方，得
x2-2x+(-1)2
=
4+(-1)2
.
(x-1)2
=
5
.
(3)
x2-2x-4=0
解：配方，得
x2-2x+(-1)2
=
4+(-1)2
.
(x-1)2
=
5
.
开平方，得
x-1=±
.
所以方程的解是
x1=1+
，
x2=1-
.
(4)
x2-3x=0.
因式分解法
(4)
x2-3x=0.
解：因式分解，得
x(x-3)=0
.
∵
a
b
=
0
∴
a
=
0或b
=
0
(4)
x2-3x=0.
解：因式分解，得
x(x-3)=0
.
x=0
或
x-3
=0
.
所以方程的解是
x1=
0
，
x2=
3
.
解题反思
观察方程的结构特点是否符合特殊解法，开平方法或者因式分解法，不符合再考虑配方法和公式法，当一次项系数是二次项系数的整数倍时用配方法更简便.
解题反思
例6.选择适当的方法解下列方程.
(1)
x2+2x=3x(x+1)；
(2)
y(y-4)=4(y-1)；
(3)
x2-3x-
=0.
(1)
x2+2x=3x(x+1).
解：方程整理，得
2x2+x
=
0.
因式分解法
(1)
x2+2x=3x(x+1).
解：方程整理，得
2x2+x
=
0.
因式分解，得
x(2x+1)
=
0.
因式分解法
(1)
x2+2x=3x(x+1).
∵
a
b
=
0
∴
a
=
0或b
=
0
解：方程整理，得
2x2+x
=
0.
因式分解，得
x(2x+1)
=
0.
x
=
0
或
2x+1=
0.
所以方程的解是
x1=
0
，
x2
=
-
.
因式分解法
(1)
x2+2x=3x(x+1).
(2)
y(y-4)=4(y-1)
.
解：方程整理，得
y2-8y+4=0
.
配方法
(2)
y(y-4)=4(y-1)
.
解：方程整理，得
y2-8y+4=0
.
配方，得
y2-8y+(-4)2=-4+(-4)2.
配方法
(y-4)2=12
.
(2)
y(y-4)=4(y-1)
.
解：方程整理，得
y2-8y+4=0
.
配方，得
y2-8y+(-4)2=-4+(-4)2.
配方法
(y-4)2=12
.
开平方，得
y-4=±
=±
.
所以方程的解是
y1=4+
，
y2=4-
.
(2)
y(y-4)=4(y-1)
.
公式法
(3)
x2-3x-
=0
.
解：a=
，b=-3，c=-
.
公式法
b2-4ac=(-3)2-4×
×(-
)=17>0.
(3)
x2-3x-
=0
.
解：a=
，b=-3，c=-
.
公式法
b2-4ac=(-3)2-4×
×(-
)=17>0.
代入求根公式，得
x
=
=
(3)
x2-3x-
=0
.
解：a=
，b=-3，c=-
.
公式法
b2-4ac=(-3)2-4×
×(-
)=17>0.
代入求根公式，得
x
=
=
分母有理化
(3)
x2-3x-
=0
.
解：a=
，b=-3，c=-
.
公式法
b2-4ac=(-3)2-4×
×(-
)=17>0.
代入求根公式，得
x
=
=
=
.
所以方程的解是
x1=
，
x2=
.
分母有理化
(3)
x2-3x-
=0
.
解题反思
当不能直接判断方程用哪种方法求解时，可以先将方程整理成一元二次方程的一般形式，再判断方程用哪种方法求解更简便.
解题反思
小结
1.一元二次方程的解法:
开平方法
；配方法
；公式法；
因式分解法.
四种解法本质是通过降次，将二次方程转化为一次方
程，再求解.
小结
1.一元二次方程的解法:
开平方法
；配方法
；公式法；
因式分解法.
四种解法本质是通过降次，将二次方程转化为一次方
程，再求解.
2.如何选择适当方法解一元二次方程：
首先选择自己最有把握的方法，进行正确求解；
其次选择计算简便、快捷的方法.
特殊解法
开平方法，因式分解法.
一般解法
配方法，公式法.
一般情况下，一次项系数是二次项系数的整数倍时，配方法更简便，否则用公式法简便.
A组：1.选择适当的方法解下列方程.
(1)
2x2
=
5x；
(2)
x(x+7)=60；
(3)
x2-4x-2
=
0；
(4)
3(x-7)2=24.
B组：2.选择适当的方法解下列方程.
(1)
x(x+3)=1；
(2)
2(x2-5)=x(1-x)；
(3)
5p2-12p-9=0；(4)
p(p-8)-3p+24=0；
(5)
x2-2nx+n2=m2(x是未知数).
作业
祝同学们学习愉快！