人教版九年级数学上册22．3实际问题与二次函数（3）课件 （共26张PPT）

(共26张PPT)
人教版数学九年级上册
建立二次函数模型解决实际问题
22.3
实际问题与二次函数
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策。
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题。
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题。
学习目标
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
建立平面直角坐标系解答抛物线形问题
探究新知
建立函数模型.
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数.
你能想出办法来吗？
【合作探究】
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为
x
O
y
-2
-4
2
1
-2
-1
A
如何确定a是多少？
已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出
因此，
，其中
｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
解得
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
水面宽3m时
从而
因此拱顶离水面高1.125m
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
建立二次函数模型解决实际问题
例1
图中是抛物线形拱桥，当水面在
时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？
考点探究1
建立坐标系解答生活中的抛物线形问题
解法一:
如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=ax2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
∴这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5x2
.
∴-2=a×22
∴a=-0.5
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2
-4
)
m.
-3=-0.5x?
解得x=±这时水面宽度为2
m
解法二:
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:y=ax?+2.
此时,抛物线的顶点为(0,2)
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即:抛物线过点(2,0)
因此这条抛物线所表示的二次函数为:y=-0.5x?+2
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2
-4)m
0=a×22+2，a=-0.5
-1=-0.5x?+2
解得x=±这时水面宽度为2
m
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
因此可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为y=a(x-2)?+2
∵抛物线过点(0,0)
∴0=a×(-2)?+2
∴a=-0.5
因此这条抛物线所表示的二次函数为y=-0.5(x-2)
?+2.
此时,抛物线的顶点为(2,2)
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,
这时有-1=-0.5(x-2)2+2，解得x1=2-
，
x2=2+
因此当水面下降1m时,水面宽度增加了(2-4)m.
这时水面的宽度为x-x=2，
1.理解问题;
回顾
“最大利润”和
“桥梁建筑”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系；
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性.
【思考】“二次函数应用”的思路
1.
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20m，拱顶距离水面
4
m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式.
O
A
C
D
B
y
x
20
m
h
解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2
.
巩固练习
例2
如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
考点探究2
利用二次函数解决运动中抛物线形问题
探究新知
解：如图，建立直角坐标系.
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度
时的位置为B（0，3.5）.
以点C表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为
y=a(x-0)2+k
，
即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的表达式为y=0.2x2+3.5.
当
x=2.5时，y=2.25
.
故该运动员出手时的高度为2.25m.
2.25a+k=3.05，
k=3.5，
2.
一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣
x2+
x+c，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m．
（1）求铅球出手时离地面的高度；
（2）在铅球行进过程中，当它离
地面的高度为
m时，求此时铅球
的水平距离．
巩固练习
x
y
解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝﹣
x2+
x+c，
得
﹣×102+
×10+c＝0，
解得
c＝
，
即铅球出手时离地面的高度
m；
（2）将y＝
代入﹣
x2+
x+
＝
，
整理，得：x2﹣8x﹣9＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍），
∴此时铅球的水平距离为9m．
1.
足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在
s后落地.
4
2.
如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为
，那么铅球运动过程中
最高点离地面的距离为
米.
x
y
O
2
课堂检测
基础题
3.
某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（
）
A.50m
B.100m
C.160m
D.200m
C
某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2
.
∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上，
∴﹣5.6=36a，
∴抛物线的表达式为
提升题
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？???????
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m，
∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4
∴
????????????????，解得k=
???????????，
即k1≈5.07，k2≈﹣5.07
∴CD=5.07×2≈10.14（m）
设最多可安装n扇窗户，
∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．
则最大的正整数为4．
答：最多可安装4扇窗户.
解：
悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900
m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5
m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5
m.
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
y
x
O
-450
450
拓展题
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.
抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得
81.5=a?4502+0.5.
解得
故所求表达式为
y
x
O
-450
450
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
y
x
O
-450
450
解：当x=450100=350（m）时，得
当x=450﹣50=400（m）时，得
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛物线问题
（实物中的抛物线形问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
实际问题
数学模型
转化的关键
总结新知