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第1章 导数及其应用
第1章 导数及其应用
陡峭
平均变化率
斜率
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人
第1章
DIYI
ZHANG
导数及其应用
》预习系自主学
研读·导学·尝试
》探究系讲练互动
解惑·探究·突破1.1.1 平均变化率
1.了解函数平均变化率的意义，会求函数在给定区间上的平均变化率．
2．掌握利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题，知道平均变化率的几何意义．
1．平均变化率的定义：一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为．
2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
3．观察函数f(x)的图象(如图)，平均变化率的几何意义是直线P1P2的斜率．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线y＝2x＋1在[1，3]上的平均变化率是零，直线y＝5在[1，3]上的平均变化率不存在．( )
(2)甲、乙二人销售化妆品，从2016年2月开始的3个月内，甲投入资金5万元获利4万元，乙投入资金8万元获利6万元．因此我们认为乙的经营效果较好．( )
(3)一次函数任意两点的平均变化率都是相应直线的斜率． ( )
(4)函数f(x)在A(x1，y1)，B(x2，y2)上的平均变化率就是直线AB的斜率．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析：选B．＝＝＝－1.
3．给半径为R的热气球加热，使其体积增大，若半径从R＝1到R＝m时的体积膨胀率为，则m＝________．
解析：因为V＝R3，所以＝(m2＋m＋1)＝，
所以m2＋m－＝0，解得m＝1.5(负值舍去)．
答案：1.5
4．已知函数y＝3x－x2在x＝2处的增量为Δx＝0.1，则Δy为________．
答案：－0.11
求平均变化率
求函数f(x)＝在区间[1，2]上的平均变化率．
【解】 函数f(x)在[1，2]上的平均变化率为＝＝－1.
若本例其余条件不变，把区间改为[1，3]，那么平均变化率为多少？
解：函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝－.
(1)求函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的步骤是：
第一步：求x2－x1.
第二步：求f(x2)－f(x1)．
第三步：由定义得出.
(2)注意平均变化率公式中分子与分母形式上的对应关系，以防代入数值时出错．
1.函数y＝x2＋1在[2，3]上的平均变化率是________．
解析：因为(32＋1)－(22＋1)＝5，所以＝5，即平均变化率是5.
答案：5
函数平均变化率的应用
求正弦函数y＝sin
x在x＝0和x＝附近的平均变化率，并比较它们的大小．
【解】 当自变量从0到0＋Δx时，设函数的平均变化率为k1，
则k1＝＝.
当自变量从到＋Δx时，设函数的平均变化率为k2，则
k2＝＝.
当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时k1＞k2；
当Δx＜0时，k1－k2＝－
＝，
因为Δx＜0，且Δx无限趋近于0，
所以－＜Δx－＜－，
所以－1＜sin＜－，
即sin＋1＜0，
所以k1－k2＞0，即k1＞k2.
综上可得，正弦函数y＝sin
x在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率．
(1)比较平均变化率的大小，可按作差法或作商法的步骤进行．关键是对差式进行合理的变形，以便探讨差的符号．
(2)平均变化率的大小类似于函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．
2.一质点沿直线运动，位移与时间的关系为S＝t3－t2＋2t.那么在t＝1
s到t＝2
s时间段内的平均速度为多少？
解：在t＝1
s到t＝2
s时间段内的平均速度为
＝
＝－＝－.
对平均变化率的三点说明
(1)函数f(x)在x1处有定义．
(2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．试从平均变化率的角度，比较气球容量V从0增加到1
L及从1
L增加到2
L时平均膨胀率的大小关系，能否用来解释气球的半径增加得越来越慢？
【解】 气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3，将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝
，?
当气球空气容积V从0增加到1
L时，
气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62
(dm)．气球的平均膨胀率为≈0.62
(dm/L)．?
类似地，当空气容积从1
L增加到2
L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16
(dm)．气球的平均膨胀率为≈0.16
(dm/L)．因为0.62>0.16，所以随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了，因此气球的半径增加的越来越慢．
?弄清实际问题中的函数关系是解答本题的关键，此处因计算r(V)出错失分．本题要求气球半径随体积变化，其函数关系是r(V)＝，而不是V(r)＝πr3.
?按照计算平均变化率的步骤，先求函数增量Δy，再求平均变化率，此处因计算不精确造成失分．
1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1
B．1.1
C．2
D．0
解析：选A．＝＝＝2.1.
2．已知曲线y＝x2＋1在区间[1，x0]上的平均变化率为3，则x0＝________．
解析：函数y＝x2＋1在区间[1，x0]上的平均变化率为eq
\f((x＋1)－(12＋1),x0－1)＝eq
\f(x－1,x0－1)＝x0＋1，由已知，得x0＋1＝3，解得x0＝2.
答案：2
3．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为________．
解析：＝＝4.1.
答案：4.1
4．函数f(x)＝－在区间[1，2]上的平均变化率为________．
解析：＝＝3.
答案：3
[A 基础达标]
1.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________．
解析：1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图象知kOA答案：1<2<3
2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则等于( )
A．4
B．4＋2Δx
C．4＋Δx
D．4Δx＋(Δx)2
解析：选B．＝＝＝2Δx＋4.
3．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是( )
A．＝＝
B．＝
C．＝
D．＝
解析：选A．由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．
所以＝＝.
4．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则下面叙述正确的是( )
A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
解析：选B．函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB＝，割线AB的倾斜角为，选B．
5．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26
m/s，则实数m的值为( )
A．2
B．1
C．－1
D．6
解析：选B．由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1，选B．
6．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________．
解析：＝＝2，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
答案：5
7．甲、乙二人跑步路程与时间关系如图所示，________跑得快．
解析：乙跑得快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．
答案：乙
8．如图所示的是物体甲、乙在时间0到t1范围内运动路程的变化情况，下列说法正确的是________．
①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
⑤在0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度．
解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故①②错；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>.所以甲的平均速度大于乙的平均速度；在0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，又s2>s1，所以甲的平均速度大于乙的平均速度．故填③⑤.
答案：③⑤
9．一正方形铁板在0
℃时，边长为10
cm，加热后会膨胀，当温度为t
℃时，边长变为10(1＋at)
cm，a为常数．试求在这一过程中铁板面积对温度的平均膨胀率．
解：铁板面积对温度的平均膨胀率即为铁板面积对温度的平均变化率．
铁板面积s的增量Δs＝[10(1＋at)]2－102＝100(a2t2＋2at)．
则当温度从0
℃变化到t
℃这一过程中，铁板面积对温度的平均膨胀率为＝＝100a2t＋200a.
10．已知一次函数f(x)在区间[－2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点(0，2)，试求该一次函数的表达式．
解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)．
因为函数f(x)的图象过点(0，2)，
所以b＝2，即f(x)＝kx＋2.
因为＝＝2，
即＝2，
解得k＝2，所以该一次函数的表达式为f(x)＝2x＋2.
[B 能力提升]
1．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
100＋，其中x为产量数，生产900个单位到1
000个单位时总成本的平均变化率为________．(精确到0.01)
解析：总成本的平均变化率为
＝＝＝≈1.58.
答案：1.58
2．人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了某人服药后c(t)的一些函数值．
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
c(t)/(mg/mL)
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
服药后30
min～70
min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．
解析：由表知c(30)＝0.98，c(70)＝0.90，得所求平均变化率为＝＝－0.002.
答案：－0.002
3．巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．你能用数学语言来量化AB段、BC段曲线的陡峭程度吗？
解：山路从A到B高度的平均变化率为kAB＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为kBC＝＝，
所以kBC>kAB，
所以山路从B到C比从A到B要陡峭得多．
4．(选做题)跳水运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：
(1)运动员在这段时间里是静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
解：＝＝＝0(m/s)，
即运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度是0
m/s.
(1)运动员在这段时间里显然不是静止的．
(2)由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时．
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第1章 导数及其应用
第1章 导数及其应用
可导
f′(x0)
可导
f′(x)
斜率
导数
S′(t)
导数
v′(t)
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人
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研读·导学·尝试
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解惑·探究·突破1．1.2 瞬时变化率——导数(二)
1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义，并掌握导数的几何意义．
2．理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义．
1．函数在点x＝x0处的导数定义
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导．并称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)，是一个数值．
2．导函数定义
若函数f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的一个函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．即f′(x0)＝f′(x)|.
3．导数f′(x0)的几何意义
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．
4．导数的物理意义
瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝S′(t)．
瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)＝v′(t)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在区间(a，b)内可导就是f(x)对于任意x0∈(a，b)都有f′(x0)存在．( )
(2)f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点x0而言的，它是一个确定的值．( )
答案：(1)√ (2)√
2.如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝( )
A．
B．3
C．4
D．5
解析：选A．根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f′(4)＝.
3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率为________．
解析：＝＝－3－Δx，
所以当Δx→0时，→－3，
即f′＝－3.
答案：－3
4．质点按s(t)＝3t－t2做直线运动，当其瞬时速度为0时，t＝________．
解析：根据导数的定义可求得s′(t)＝3－2t.
令s′(t)＝3－2t＝0，得t＝.
答案：
求函数f(x)在点x＝x0处的导数
(1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x
B．2
C．2＋Δx
D．1
(2)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于( )
A．－4
B．2
C．－2
D．±2
【解析】 (1)
＝
＝
＝
(2＋Δx)＝2.
(2)因为＝＝＝，
所以f′(m)＝
＝－，
所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
【答案】 (1)B (2)D
求函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)求导数，当Δx→0时，→A，则f′(x0)＝A.
1.求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
解：Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，
所以＝＝3Δx＋4，
当Δx→0时，→4，所以f′(1)＝4.
利用定义求函数的导函数
求函数f(x)＝－x2＋3x的导函数．
【解】 因为＝
＝3－2x－Δx，
所以当Δx→0时，3－2x－Δx→3－2x，
故函数f(x)＝－x2＋3x的导函数为f′(x)＝3－2x.
求函数f(x)的导函数f′(x)与求在点x＝x0处的导数f′(x0)的步骤一样，只是把具体的x0用一般的x代替即可．
2.求函数f(x)＝x－的导函数．
解：因为Δy＝(x＋Δx)－－＝Δx＋，
所以＝1＋，
所以当Δx→0时，1＋→1＋，
所以函数f(x)的导函数为f′(x)＝1＋.
导数的几何意义
(1)求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1，2)处的切线方程．
(2)求曲线y＝2x2－7过点P(3，9)的切线方程．
【解】 (1)易证得点P(1，2)在曲线上，
由y＝x3＋2x－1得
Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1
＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3，
＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2.当Δx→0时，
＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2→3x2＋2，
即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.
故点P处的切线斜率为k＝5.
所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，
即5x－y－3＝0.
(2)由于点P(3，9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．
将P(3，9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.
(1)利用导数的几何意义求曲线在点x＝x0处的切线方程的步骤：
①求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
②根据直线的点斜式方程，得切线为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(其中y0＝f(x0))．
(2)利用导数的几何意义求过点P(m，n)所作的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤：
①设切点坐标为Q(x0，y0)，求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)．
②根据直线的点斜式方程写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
③将点P(m，n)代入切线方程并整理成关于x0的方程，解此方程求得x0的值．
④由x0的值，求出y0＝f(x0)及斜率k＝f′(x0)，进而写出切线方程．
3.已知曲线y＝2x2上的点(1，2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
解：＝＝＝4＋2Δx，
当Δx→0时，→4，所以f′(1)＝4.
所以所求直线的斜率为k＝－.
所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋4y－9＝0.
1．曲线上某点处的导数与切线的关系
(1)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率．
(2)函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x＝0处有切线，但不可导．
2．“函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)”“导函数f′(x)”“导数”之间的区别与联系
(1)函数在一点处的导数f′(x0)，就是在该点处函数值的改变量与自变量的改变量之比的无限趋近值，它是一个常数，不是变数．
(2)函数的导数是对某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数f′(x)．
(3)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在点x0处的导数的方法之一．
经过点(2，0)且与曲线y＝相切的直线方程为________．
【解析】 可以验证点(2，0)不在曲线y＝上，
设切点为P(x0，y0)，
因为Δy＝－＝－，
所以＝－，
当Δx无限趋近于0时，趋近于－eq
\f(1,x)，
所以曲线y＝在x＝x0处的切线的斜率为－eq
\f(1,x).
故所求直线方程为y－y0＝－eq
\f(1,x)(x－x0)．
由点(2，0)在所求的直线上，
得x·y0＝2－x0，①
再由P(x0，y0)在曲线y＝上，
得x0y0＝1，②
联立①②可解得x0＝1，y0＝1，
所以所求直线方程为x＋y－2＝0.
【答案】 x＋y－2＝0
(1)误认为所给点即切点，直接求曲线在给定点处的斜率而致误，因此求曲线的切线方程时要先判断所给点是否在曲线上，明确求的是在点x＝x0处的切线还是过点(x0，y0)的切线．
(2)意识到给定点不在曲线上，而设出切点坐标后，无所适从，不知如何求切点坐标．实质上这里用的是待定系数法，将已知点代入含切点坐标的切线方程中解关于x0的方程获得切点坐标．
1．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( )
A．2
B．－2
C．3
D．－3
解析：选C．因为＝＝，
当Δx→0时，→a，所以f′(1)＝a.
因为f′(1)＝3，所以a＝3.故选C．
2．设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为________．
答案：
3．若函数f(x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．
答案：x＋y－3＝0
4．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f′(2)＝________．
解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知f′(2)＝3.
答案：3
[A 基础达标]
1．设函数y＝f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
解析：选C．因为＝＝a＋bΔx，当Δx→0时，a＋bΔx→a，所以f′(x0)＝a.
2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1
B．
C．－
D．－1
解析：选A．因为＝＝＝(2a＋aΔx)，当Δx→0时，2a＋aΔx→2a，所以2a＝2，所以a＝1.
3．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于( )
A．－4
B．2
C．－2
D．±2
解析：选D．因为＝＝＝，当Δx→0时，→－，所以f′(m)＝－，所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
解析：选A．设切点为(x0，y0)，
因为＝＝2x＋Δx.
当Δx→0时，2x＋Δx→2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
所以x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A．
5.已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是________．(填序号)
①f′(xA)>f′(xB)；
②f′(xA)③f′(xA)＝f′(xB)；
④不能确定．
解析：由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A、B处切线的斜率，过A、B两点作出曲线的切线，可以看出点A处、B处的切线的倾斜角α、β均为钝角，且<β<α<π.所以tan
α>tan
β，即f′(xA)>f′(xB)．
答案：①
6．已知函数y＝f(x)在点(，3)处切线方程为y＝kx－1，则f′()＝________．
解析：由点(，3)在直线y＝kx－1上得3＝k×－1，所以k＝2.
根据导数的几何意义f′()＝2.
答案：2
7．若函数y＝f(x)的图象在点P(4，f(4))处的切线方程是y＝－2x＋9，则f(4)＋f′(4)＝________．
解析：由导数的几何意义知，f′(4)＝－2，又点P在切线上，则f(4)＝－2×4＋9＝1，故f(4)＋f′(4)＝－1.
答案：－1
8．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．
解：因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝－＝
＝，
所以＝，
所以当Δx→0时，→－，
所以f′(1)＝－.
9．已知曲线y＝在点(1，4)处的切线与直线l平行，且与l的距离等于，求直线l的方程．
解：＝＝－.
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－4.
所以曲线在点(1，4)处的切线的斜率为－4.
故切线方程为y－4＝－4(x－1)，
即4x＋y－8＝0.
设直线l的方程为4x＋y＋c＝0，
由题意有＝.
所以c1＝9，c2＝－25，所以直线l的方程为：
4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0.
[B 能力提升]
1．曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1，1)
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
解析：选C．因为＝
＝1－eq
\f(1,x＋x0Δx)，当Δx→0时，1－eq
\f(1,x＋x0Δx)→1－eq
\f(1,x)<1.即k<1.
2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是________．(填序号)
解析：函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在区间[a，b]上是增函数，即在区间[a，b]上各点处切线的斜率k是递增的．由图知，①符合条件，注意③中f′(x)＝k为常数．
答案：①
3．试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
解：＝＝2x＋Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x，
所以，f′(x)＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)，
因为点A在曲线y＝x2上，所以y0＝x，
又因为A是切点，所以过点A的切线斜率k＝2x0，
因为所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点，
所以其斜率又为＝eq
\f(x－5,x0－3)，
所以2x0＝eq
\f(x－5,x0－3)，解之得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25)．
当切点为(1，1)时，切线斜率k1＝2x0＝2；
当切点为(5，25)时，切线斜率k2＝2x0＝10.
所以所求的切线有两条，
方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，
即y＝2x－1和y＝10x－25.
4．(选做题)设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
解：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
所以＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
当Δx→0时，→3x＋2ax0－9.
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9.
所以f′(x0)＝3－9－.
当x0＝－时，f′(x0)
取最小值－9－.
因为斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
所以该切线斜率为－12.
所以－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，所以a＝－3.
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11(共27张PPT)
第1章 导数及其应用
第1章 导数及其应用
0
切线的斜率
0
常数
常数
常数
常数
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本部分内容讲解结束
人
》预习系自主学
研读·导学·尝试
》探究系讲练互动
解惑·探究·突破1．1.2 瞬时变化率——导数(一)
1.了解导数概念的实际背景． 2.理解曲线的割线与切线的关系，会用无限逼近的思想确定切线及其斜率． 3．理解瞬时变化率与导数间的关系，掌握函数在某点处导数的定义．
1．逼近法求曲线上一点处的切线斜率
如图，设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝．
当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率．
2．瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度
(1)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(2)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的无数条割线． ( )
(2)过曲线上任一点一定可作出一条切线．( )
(3)有的曲线过它上面的某一点可作两条切线．( )
(4)平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度，瞬时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为________．
解析：因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2(Δx)2，所以＝8＋2Δx.所以当Δx→0时，→8.
答案：8
3．如果某物体的运动方程是s＝2(1－t)2，则在t＝1.2秒时的瞬时速度是________．
答案：0.8
4．一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是v＝t2＋t＋2(v单位：m/s；时间单位：s)，则质点在t＝2
s时的瞬时加速度为________．
解析：因为Δv＝v(2＋Δt)－v(2)＝(2＋Δt)2＋(2＋Δt)＋2－(22＋2＋2)＝5Δt＋(Δt)2，
所以＝5＋Δt.当Δt→0时，→5.
因此质点在t＝2
s时的瞬时加速度为5
m/s2.
答案：5
m/s2
曲线上某一点处的切线
已知曲线y＝x3上一点P，求：
(1)点P处的切线斜率；
(2)点P处的切线方程．
【解】 (1)由y＝x3，
＝
＝×
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于x2，
所以点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)．
即12x－3y－16＝0.
(1)解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想．即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx无限趋近于0时，可得到割线逼近的切线的斜率．然后利用直线方程的点斜式可求出相应的切线方程．
(2)注意函数y＝f(x)在x＝x0处的切线，就是函数图象(曲线)上以点(x0，f(x0))为切点的曲线的切线，过点(x0，y0)也能作曲线y＝f(x)的切线，但点(x0，y0)不一定是切点．
1.利用割线逼近切线的方法分别求曲线y＝2x2在x＝0，x＝－1，x＝2处的切线斜率．
解：设P(x0，f(x0))、Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，则割线PQ的斜率kPQ＝＝eq
\f(2(x0＋Δx)2－2x,x0＋Δx－x0)＝4x0＋2Δx.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于4x0，从而曲线y＝f(x)在x＝0，x＝－1，x＝2处的切线斜率分别为0，－4，8.
求瞬时速度和瞬时加速度
一质点按s＝2t2＋2t(位移单位：m，时间单位：s)做直线运动．求：
(1)该质点在前3
s内的平均速度；
(2)质点在2
s到3
s内的平均速度；
(3)质点在3
s时的瞬时速度．
【解】 (1)＝＝＝8(m/s)，
所以该质点在前3
s内的平均速度为8
m/s.
(2)＝＝2×32＋2×3－2×22－2×2＝12(m/s)．
所以质点在2
s到3
s内的平均速度为12
m/s.
(3)因为
＝＝2Δt＋14.
当Δt趋于0时，2Δt＋14无限趋近于14.
所以质点在3
s时的瞬时速度为14
m/s.
(1)平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态，而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态，瞬时速度是平均速度当Δt趋于0时的极限值．
(2)已知运动物体在s＝s(t)解析式的前提下才可求某一时刻的瞬时速度．
2.有一做直线运动的物体，其速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的关系是v＝3t－t2，求此物体在t＝2
s时的瞬时加速度．
解：因为v(2＋Δt)－v(2)＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)
＝3(Δt)－4(Δt)－(Δt)2＝－Δt－(Δt)2，
所以＝－1－Δt，
所以当Δt趋于0时，－1－Δt无限趋近于－1.
所以该物体在t＝2
s时的瞬时加速度为－1
m/s2.
对瞬时速度的理解
(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率．
(2)当Δt在变化中趋近于0时，比值趋近于一个确定的常数，这时此常数称为t0时刻的瞬时速度．
(3)平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0处变化的快慢．
若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
【解】 (1)因为物体在t∈[3，5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3，5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3，5]上的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)因为物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
因为Δt无限趋近于0时，
＝3Δt－18无限趋近于－18，
所以物体的初速度v0为－18
m/s.
(3)因为物体在t＝1附近的平均变化率为
＝
＝
＝3Δt－12.
当Δt无限趋近于0时，
＝3Δt－12无限趋近于－12，
所以物体在t＝1时的瞬时速度为－12
m/s.
本题易错点是不理解初速度v0含义，
求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度，求物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．防范措施是对数学问题一定要准确理解概念再做题．
1．一木块沿一斜面下滑，下滑的水平距离与时间t之间的函数关系式为s＝t2，当t＝3时，此木块在水平方向上的瞬时速度为( )
A．1
B．1.5
C．2
D．3
解析：选B．v＝＝Δt＋，当Δt→0时，v→1.5，所以所求瞬时速度为1.5.
2．已知抛物线y＝ax2＋bx－7过点(1，1)，且在此点处的切线方程为4x－y－3＝0，则a＝________，b＝________.
解析：因为＝＝aΔx＋2ax＋b，
所以当Δx→0时，＝2ax＋b，即点(1，1)处的切线的斜率为2a＋b.
由已知可得，解得a＝－4，b＝12.
答案：－4 12
3．曲线y＝x3－2x2－4x＋2在点(1，－3)处的切线方程是________．
解析：因为y＝x3－2x2－4x＋2，
所以＝
＝＝(Δx)2＋Δx－5，
所以当Δx→0时，→－5，
所以点(1，－3)处切线斜率为－5，
所以切线方程为y＋3＝－5(x－1)，即5x＋y－2＝0.
答案：5x＋y－2＝0
[A 基础达标]
1．做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C．因为Δs＝s(0＋Δt)－s(0)＝3Δt－(Δt)2－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
所以＝3－Δt，
当Δt→0时，→3－0＝3，即v＝3.
2．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A．因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8
＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，
所以
＝
(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，
所以t0＝1.
3．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )
A．米/秒
B．米/秒
C．8米/秒
D．米/秒
解析：选B．因为＝
＝＝Δt＋8－.
所以
＝8－＝.
4．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1，1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．
解析：在[1，1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4.
答案：Δt＋4 4
5．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为________．
解析：＝
＝x＋Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于x，
所以曲线在点P处切线斜率为1，倾斜角为45°.
答案：45°
6．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f(x)在x＝－1处切线斜率为4，则a的值是________．
解析：因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝a(x＋Δx)3＋3(x＋Δx)2＋2－(ax3＋3x2＋2)
＝3ax2Δx＋3ax(Δx)2＋a(Δx)3＋6xΔx＋3(Δx)2，
所以＝3ax2＋3axΔx＋a(Δx)2＋6x＋3Δx，
所以Δx→0时，→3ax2＋6x，
所以3a－6＝4，解得a＝.
答案：
7．若直线y＝x是曲线y＝x3－3x2＋ax的切线，则a＝________.
解析：因为y＝x3－3x2＋ax，设切点(x0，y0)，
所以＝eq
\f((x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋a(x0＋Δx)－(x－3x＋ax0),Δx)
＝(Δx)2＋(3x0－3)Δx＋3x－6x0＋a.
所以当Δx→0时，→常数3x－6x0＋a.
所以eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－6x0＋a＝1，,x0＝x－3x＋ax0，))
所以或
答案：1或
8．求曲线f(x)＝3x2－2x在点(1，1)处切线的方程．
解：因为＝
＝
＝＝3Δx＋4.
因为当Δx无限趋近于0时，3Δx＋4无限趋近于4，
所以曲线f(x)＝3x2－2x在点(1，1)处切线的斜率为4.
所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
9．如果一个质点从固定点A开始运动，时间t的位移(单位：m)函数为y＝f(t)＝t3＋3，求当t＝4
s时的瞬时速度．
解：因为质点在t＝4
s到(4＋Δt)s的位移改变量
Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3)
＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt，
所以该时间段内的平均速度＝
＝＝(Δt)2＋12Δt＋48.
所以当Δt→0时，→48，
所以质点在t＝4
s时的瞬时速度为48
m/s.
[B 能力提升]
1．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则瞬时速度为0
m/s的时刻是( )
A．
s
B．
s
C．
s
D．
s
解析：选A．设t＝t0时刻的瞬时速度为0
m/s，则Δh＝h(t0＋Δt)－h(t0)＝－9.8t0·Δt＋6.5Δt－4.9(Δt)2，所以＝－9.8t0＋6.5－4.9Δt，
则h′(t0)＝
＝－9.8t0＋6.5，
所以－9.8t0＋6.5＝0，解得t0＝
s.
2．已知物体运动的速度与时间t之间的函数关系为v(t)＝t2＋2t＋2，则t＝1秒时的瞬时加速度为________．
解析：＝＝4＋Δt，
则当Δt无限趋近于0时，可得瞬时加速度为4.
答案：4
3．以初速度v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．
解：因为Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0t0－\f(1,2)gt))
＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
所以＝v0－gt0－gΔt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于v0－gt0.
故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.
4．(选做题)曲线y＝x2上哪一点处的切线，
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
解：设P(x0，y0)是满足条件的点，
Δy＝(x0＋Δx)2－x＝2x0Δx＋Δx2，＝2x0＋Δx，
所以当Δx→0时，→2x0.
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2，4)是满足条件的点．
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，
所以其斜率为－1，即2x0＝－1，
得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
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