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第1章 计数原理
第1章 计数原理
一定的顺序
所有排列
全部取出
n(n－1)(n－2)·…·3·2·1
n！
1
×
√
×
×
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解惑·探究·突破
变换元素的位置
有房)有
结果无无序
有无变化
排列问题
非排列问题第1课时 排列与排列数公式
1.了解排列及排列数的意义． 2.理解排列数公式的推导并应用． 3.掌握排列数公式并会运用．
1．排列的定义
一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．排列数
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
3．排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N
，且m≤n.
4．全排列与n的阶乘
(1)n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，在排列数公式中，当m＝n时，即有A＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1．
(2)正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，即有A＝n！.
5．排列数公式的阶乘形式
A＝(n≥m)，规定0！＝1．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．( )
(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )
(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )
(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．下面问题中，是排列问题的是( )
A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数
B．从60人中选11人组成足球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
答案：A
3．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．
答案：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
4．A＝________，A＝________．
答案：12 6
排列的有关概念
判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
【解】 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
1.判断下列问题是否是排列问题：
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？
(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．
(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．
综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．
“树形图”解决排列问题
四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来．
【解】 先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步计数原理，有4×3×2×1＝24种．
画出树形图：
由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
1．若本例条件再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？
解：画出树形图：
由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法．
2．若在本例条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？
解：画出树形图：
由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA共12种．
利用“树形图”法解决简单排列
问题的适用范围及策略
(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．
2.将语文、数学、英语书各一本分给甲、乙、丙三人，每人一本，共有多少种不同的分法？请将它们列举出来．
解：按分步计数原理的步骤：
第一步，分给甲，有3种分法；
第二步，分给乙，有2种分法；
第三步，分给丙，有1种分法．
故共有3×2×1＝6种不同的分法．
列出树形图，如下：
所以，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英，语英数，数语英，数英语，英语数，英数语．
排列数公式及其应用
(1)计算eq
\f(2A＋7A,A－A)；
(2)解方程3A＝2A＋6A.
【解】 (1)eq
\f(2A＋7A,A－A)
＝
＝＝1.
(2)由3A＝2A＋6A，
得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．
因为x≥3，且x∈N
，
所以3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，
即3x2－17x＋10＝0.
解得x＝5，x＝(舍去)．
所以x＝5.
利用排列数公式①A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或②A＝解题时，要注意题目特点，当m较小时，用公式①较方便，第②个公式常用在化简或证明问题中．
3.已知3A＝4A，则n等于________．
解析：由已知＝，
即＝1，因为n≤9，
所以解得n＝7.
答案：7
1．排列定义的两个要素
一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”，这是排列的两个要素．
2．对排列数公式的说明
(1)这个公式是在m，n∈N
，m≤n的情况下成立的，m＞n时不成立．
(2)公式右边是m个数的连乘积，形式较复杂，其特点是：从n开始，依次递减1，连乘m个．
3．排列与排列数的区别
排列与排列数是两个不同的概念，一个排列就是完成一件事的一种方法，不是数；排列数是指所有排列的个数，它是一个数．符号A中，m，n均为正整数，且m≤n，A是一个整体．
10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？
【解】 坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A＝151
200(种)坐法．
(1)本题易出现以下错解：
10个人坐6把不同的椅子，相当于从含10个元素的集合到含6个元素的集合的映射，故有610种不同的坐法．
该错解是没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一个，是从10个人中取出6个人的一个排列问题．
(2)在用排列数公式求解时需先对问题是否是排列问题做出判断．
1．4×5×6×…×(n－1)×n等于( )
A．A
B．A
C．n！－4!
D．A
解析：选D.4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，
故4×5×6×…×(n－1)×n＝A.
2．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( )
A．9个
B．12个
C．15个
D．18个
解析：选B.用树形图表示为：
由此可知共有12个．
3．5A＋4A＝________．
解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.
答案：348
4．若A＝10×9×…×5，则m＝________．
解析：10－m＋1＝5，得m＝6.
答案：6
[A 基础达标]
1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选B.由排列的定义知①④是排列问题．
2．计算eq
\f(A－A,A)＝( )
A．12
B．24
C．30
D．36
解析：选D.eq
\f(A－A,A)＝＝7×6－6＝36.
3．若α∈N
，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于( )
A．A
B．A
C．A
D．A
解析：选D.从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数．所以(27－α)(28－α)…(34－α)＝A.
4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A．6
B．4
C．8
D．10
解析：选B.列树形图如下：
5．不等式A－n＜7的解集为( )
A．{n|－1＜n＜5}
B．{1，2，3，4}
C．{3，4}
D．{4}
解析：选C.由不等式A－n＜7，
得(n－1)(n－2)－n＜7，
整理得n2－4n－5＜0，
解得－1＜n＜5.
又因为n－1≥2且n∈N
，
即n≥3且n∈N
，
所以n＝3或n＝4，
故不等式A－n＜7的解集为{3，4}．
6．A＋A＝________．
解析：由n∈N
，得n＝3，
所以A＋A＝6！＋4！＝744.
答案：744
7．给出的下列四个关系式中，其中正确的个数是________．
①A＝；②A＝；
③A＝nA；④n！＝.
解析：①②不成立，③④成立．
答案：2
8．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是____________________．
解析：画出树状图如下：
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
答案：12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
9．求证：＋＋＋…＋<1.
证明：因为＝－＝－，
所以＋＋＋…＋
＝－＋－＋－＋…＋－
＝1－<1.
所以原式得证．
10．计算下列各题．
(1)A；
(2)A；
(3)eq
\f(A·A,A)；
(4)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！.
解：(1)A＝15×14＝210.
(2)A＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.
(3)原式＝·(n－m)！·
＝·(n－m)！·
＝1.
(4)因为n·n！＝[(n＋1)－1]·n!
＝(n＋1)n！－n!
＝(n＋1)！－n！，
所以原式＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1.
[B 能力提升]
1．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是( )
A．8
B．5
C．3
D．0
解析：选C.因为当n≥5时，A的个位数字是0，故S的个位数取决于前四个排列数．又A＋A＋A＋A＝33，故选C.
2．若2\f(（m＋1）！,A)≤42，则满足条件的m的集合是________．
解析：原不等式可化为2<≤42.
即2所以，
解不等式组得，－7≤m<－2或1又m∈N
，所以满足题意的m的集合为{2，3，4，5，6}．
答案：{2，3，4，5，6}
3．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
解：由题意可知，原有车票的种数是A种，现有车票的种数是A种，所以A－A＝62，
即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，
所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31，
因为m＜2n＋m－1，
且n≥2，m，n∈N
，
所以
解得m＝2，n＝15，
故原有15个车站，现有17个车站．
4．(选做题)A，B，C，D四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法．
解：假设A，B，C，D四名同学原来的位子分别为1，2，3，4号，树形图如下：
换位后，原来1，2，3，4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.
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第1章 计数原理
第1章 计数原理
顺序有关
特殊
一般
特殊
一般
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解惑·探究·突破第2课时 排列的综合应用
1.了解排列的应用． 2.理解应用排列及排列数公式解决实际问题．
3．掌握几种有限制条件的排列的解法．
1．有关排列应用题的解题步骤
(1)依据题意，判断是否为排列问题(若与顺序有关则为排列问题)，并进一步分清是否为全排列，防止重复与遗漏．
(2)对问题进一步细化，确定特殊位置及特殊元素，适当选用方法：直接法或间接法(排除法)．
(3)利用排列数公式求值，并做出明确结论．
2．排列应用题最基本的解法
(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；若以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．
(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法有48种．( )
(2)用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有72个．( )
(3)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为24种．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．用1，2，3，4这四个数字能组成没有重复数字的三位数( )
A．12个 B．24个 C．36个 D．48个
解析：选B.这是一个排列问题，由排列数公式可知，可组成A＝4×3×2＝24个没有重复数字的三位数．
3．在A、B、C、D四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有________种选法．
解析：这是一个排列问题，即从四个不同元素中选出两个元素的排列数，由公式知A＝4×3＝12.
答案：12
4．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．
解析：从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有A＝20种添加方法．
答案：20
无限制条件的排列问题
(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
【解】 (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法．
本题两小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算．
1.把3张不同场次的电影票分给10人中的3人，分发种数为( )
A．2
160种
B．240种
C．720种
D．120种
解析：选C.有A＝720种不同的分法．
特殊元素、特殊位置问题
3名男生和4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成两排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因个子高要排在后排．
【解】 (1)(特殊元素优先法)先考虑甲的位置，有A种方法，再考虑其余6人全排列，有A种方法．故有AA＝2
160
种方法．
(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙的位置，有A种方法，再安排其余5人全排列，有A种方法．故有AA＝240种方法．
(3)法一：(特殊元素优先法)按甲是否在最右端分两类：
第一类，甲在最右端有A种方法；
第二类，甲不在最右端时，甲有A个位置可选，乙也有A个位置可选，其余5人全排列，有AAA种方法．
故有A＋AAA＝3
720种方法．
法二：(间接法)无限制条件的排列方法共有A种，而甲在最左端或乙在最右端的排法各有A种，甲在最左端且乙在最右端的排法有A种．
故有A－2A＋A＝3
720种方法．
法三：(特殊位置优先法)按最左端优先安排分步．
对于最左端除甲外有A种排法，余下六个位置全排有A种排法，但要减去乙在最右端的排法AA种．
故有AA－AA＝3
720种方法．
(4)将两排连成一排后，原问题转化为女生甲、乙要排在前3个位置，男生丙、丁要排在后4个位置，因此先排女生甲、乙有A种方法，再排男生丙、丁有A种方法，最后把剩余的3人全排列有A种方法．
故有AAA＝432种方法．
(1)对于有限制条件的排列问题，先考虑安排好特殊元素(或位置)，再安排一般的元素(或位置)，即先特殊后一般，此方法是直接分步法；或按特殊元素当选情况(或特殊位置放哪个元素)分类，再安排一般的元素(或位置)，即先分类后分步，此方法是直接分类法；也可以先不考虑特殊元素(或位置)，而列出所有元素的全排列数，再从中减去不满足特殊元素(或位置)要求的排列数，即先全体后排除，此方法是间接法(排除法)．
(2)分排问题常转化成一排的问题处理．
2.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、物理、化学、体育7门课各一节的课程表，要求体育课不能排在第1节，最后1节不能排语文、数学、英语，则不同的排法种数是多少？
解：设U＝{语文，数学，政治，英语，物理，化学，体育}．第1节可排元素集合A＝{语文，数学，政治，英语，物理，化学}，第7节可排元素集合B＝{政治，物理，化学，体育}，A∩B＝{政治，物理，化学}，A∩(?UB)＝{语文，数学，英语}．
第1类，先排第1节，从A∩B中选取1门，有A种排法；再排第7节，从B中剩余的3门课中选取1门，有A种排法；最后排中间5节，有A种排法，共有AAA＝3×3×120＝1
080种排法．
第2类，先排第1节，从A∩(?UB)中选取1门，有A种排法；再排第7节，从B中4门课中选取1门，有A种排法；最后排中间5节，有A种排法，共有AAA＝3×4×120＝1
440
种排法．
由分类计数原理，不同的排法种数是1
080＋1
440＝2
520.
“相邻”与“不相邻”问题
某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
(2)2个唱歌节目互不相邻；
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
【解】 (1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1
440种排法．
(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有A·A＝30
240种排法．
(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所求排法共有A·A·A＝2
880种排法．
处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
3.3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．
(1)全体站成一排，男、女各站在一起；
(2)全体站成一排，男生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男生不能站在一起；
(4)全体站成一排，男、女各不相邻．
解：(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；
女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；
全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．
由分步计数原理知，共有A·A·A＝288种排队方法．
(2)三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720种排队方法．
(3)先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，故共有A·A＝1
440种排法．
(4)排好男生后让女生插空，共有A·A＝144种排法．
无限制条件的排列问题和带限制条件的排列问题，涉及的材料的背景是多方面的：
(1)基本思路：一是从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；二是先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数．
(2)基本方法：特殊元素，特殊位置分析法，排列法(也称去杂法)，对称分析法，捆绑法，插空法，构造法等．
3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有多少种排法？
【解】 第一步，3名男生站成一排，有A种排法；第二步，插入女生，女生只能插入3名男生形成的前3个空或后3个空中，有2A种插法．由分步计数原理知共有2A·A＝72种排法．
(1)解答本题错解为先让3名男生站成一排，有A种排法；再让3名女生插入3名男生形成的4个空中，有A种插法．
由分步计数原理，共有AA＝144种不同的排法．
此解法只能保证女生不相邻，并不能保证先排的男生不相邻，如排法：女男女男男女．
(2)解答排列问题中常见的基本方法
①对于有特殊元素或特殊位置的排列，一般采用“直接法”，即先排特殊元素或特殊位置．
②对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列．
③对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插入这些元素排列的空当中．
④对于某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制进行排列，然后利用间接法求结果．
⑤对于需要分类讨论的排列应用题，应正确分类，在每一次分类时，一定要做到不重不漏．
1．用1，2，3，…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A．324
B．224
C．360
D．648
解析：选B.先排个位数，有A种，然后排十位和百位，有A种，故共有AA＝224个没有重复数字的三位偶数．
2．已知6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种
B．360种
C．480种
D．720种
解析：选C.先排甲，有4种；剩余5人全排列有A＝120(种)，所以不同的演讲次序有4×120＝480(种)．故选C.
3．现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________．
解析：从8名学生干部中选出3名同学的排列：A＝8×7×6＝336，故共有336种不同的选派方案．
答案：336
4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．
解析：分3步进行分析，
①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2种排法，
②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2种排法，
③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6种排法．
则共有2×2×6＝24种排法．
答案：24
[A 基础达标]
1．3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法数为( )
A．3
B．24
C．34
D．43
解析：选B.3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个，再全排列，故其选法种数为A＝24.
2．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )
A．12种
B．24种
C．48种
D．120种
解析：选B.因为同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，所以5名同学值日顺序的编排方案共有A＝24(种)．
3．从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法种数为( )
A．16
B．12
C．20
D．10
解析：选A.先选1人参加物理竞赛，除去a，有A种，再从剩下的4人中选1人参加数学竞赛，有A种，共有A·A＝16种．
4．从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A．6
B．12
C．18
D．24
解析：选D.先从2，4中选一个数字，有2种选法；再从1，3，5中选两个数字并排列，有A种选法；最后将从2，4中选出的一个数字放在十位或百位的位置，有2种放法．综上所述，奇数的个数为2×A×2＝24.
5．将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数为( )
A．480
B．360
C．120
D．240
解析：选D.甲、乙、丙等六位同学进行全排可得有A＝720(种)，甲、乙、丙的排列有A＝6(种)，
因为甲、乙在丙的两侧，
所以可能为甲丙乙或乙丙甲，
所以不同的排法种数共有2×＝240(种)．
故选D.
6．从6名运动员中选4人参加4×100米接力赛，其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有________种不同的安排方法．
解析：分两类，第一类：甲跑第四棒，有A种安排方法；
第二类：甲不跑第四棒，则第四棒有A种安排方法；
第一棒有A种安排方法．
第二、三棒共有A种安排方法，则有A·A·A种安排方法，共有A＋AAA＝252种安排方法．
答案：252
7．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．
解析：先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA＝144个．
答案：144
8．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．
解析：甲、乙作为元素集团，内部有A种排法，“甲、乙”元素集团与“戊”全排列有A种排法．将丙、丁插在3个空中有A种方法．
所以由分步计数原理，共有AAA＝24种排法．
答案：24
9．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须分别排在两端；
(3)男、女生分别排在一起；
(4)男女相间．
解：(1)先排甲有6种，其余有A种．
故共有6·A＝241
920种排法．
(2)先排甲、乙，再排其余7人，
共有A·A＝10
080种排法．
(3)捆绑法
A·A·A＝5
760(种)．
(4)插空法
先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有A·A＝2
880种排法．
10．用1，2，3，4，5，6，7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？
(1)偶数不相邻；
(2)偶数一定在奇数位上；
(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数．
解：(1)用插空法，共有AA＝1
440个．
(2)先把偶数排在奇数位上有A种排法，再排奇数有A种排法，所以共有AA＝576个．
(3)在1和2之间放一个奇数有A种方法，把1，2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有A种排法，所以共有AAA＝720个．
[B 能力提升]
1．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方法种数为( )
A．576
B．720
C．864
D．1
152
解析：选C.先把数字1，3，5，7作全排列，有A种排法；再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空外，还有3个空可排数字6，故数字6有3种排法；最后排数字2，4，数字2，4不与6相邻且数字2与4不相邻，在剩下的4个空当中排2，4，有A种排法．根据分步计数原理，共有A×3×A＝864种排法，故选C.
2．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．
解析：先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．
再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．
因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．
答案：12
3．4个女孩、6个男孩围成一圈，让每个女孩都不相邻，则有多少种不同的排法？
解：先把6个男孩围成一圈，有A种不同的排法，每两个男孩之间可插入一个女孩，因而有6个位置可插入女孩，从6个位置中选出4个把女孩插入进来，有A种插法，故共有AA＝43
200种排法．
4．(选做题)高一年级某班的数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课安排在某一天，每门课一节，上午四节，下午两节，数学课必须在上午，体育课必须在下午，数、理、化三门课中任意两门不相邻，但上午第四节和下午第一节不叫相邻，则不同的排法种数为多少？
解：分两类：
第1类，数学课在上午第一节或第四节共A种排法，体育课在下午共A种排法．理、化课只能在上午上一节和下午上一节共2A种排法，其余两门在剩下的位置安排共A种．
由分步计数原理知，共有A×A×2A×A＝32种排法．
第2类，数学课安排在上午第二节或第三节，共A种排法，体育课安排在下午有A种排法，理、化课安排在上午一节和下午一节，共A种排法，其余两门在余下的位置安排共A种排法．
由分步计数原理知，共有A×A×A×A＝16种排法．
综上，由分类计数原理知，排法种数为N＝32＋16＝48.
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