章末综合检测(一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )
A．0
B．2
C．1
D．－1
解析：选A．f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
解析：选A．y′＝2x＋a，所以y′|x＝0＝a＝1.将点(0，b)代入切线方程，得b＝1.
3．函数y＝xcos
x－sin
x在下面哪个区间内单调递增( )
A．
B．(π，2π)
C．
D．(2π，3π)
解析：选B．y′＝cos
x－xsin
x－cos
x＝－xsin
x，当x∈(π，2π)时，－xsin
x>0.
4．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为( )
A．21
B．－21
C．27
D．－27
解析：选A．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以?
所以a－b＝－3＋24＝21.故选A．
5．函数f(x)＝x2－ln
2x的单调递减区间是( )
A．
B．
C．，
D．，
解析：选A．因为f′(x)＝2x－＝，
所以f′(x)≤0?
解得0＜x≤.
6．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．0≤a≤21
B．a＝0或a＝7
C．a＜0或a＞21
D．a＝0或a＝21
解析：选A．f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．
7．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选D．令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，所以a＝3.
8．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足x≠1时(x－1)·f′(x)>0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)>2f(1)
B．f(0)＋f(2)<2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)≤2f(1)
解析：选A．当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数；当x<1时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，故f(x)在x＝1处取得最小值，即有f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，得f(0)＋f(2)>2f(1)．
9．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2，3)
B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，3)
解析：选B．因为f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
所以f′(2)＝0，24＋4a＋36＝0，a＝－15，
所以f′(x)＝6x2－30x＋36
＝6(x－2)(x－3)，
由f′(x)>0得x<2或x>3.
故f(x)的递增区间为(－∞，2)和(3，＋∞)
10．函数y＝－2sin
x的图象大致是( )
解析：选C．y′＝－2cos
x，令y′＝0，解得cos
x＝，根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解，即函数y＝－2sin
x有无穷多个极值点，又函数y＝－2sin
x是奇函数，图象关于坐标原点对称，故只有选项C中的图象符合题意．
11．若不等式2xln
x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，4]
C．(0，＋∞)
D．[4，＋∞)
解析：选B．2xln
x≥－x2＋ax－3(x>0)恒成立，即a≤2ln
x＋x＋(x>0)恒成立，设h(x)＝2ln
x＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．
12．定义在上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，若恒有f(x)x，则( )
A．f>f
B．fC．f>f
D．f解析：选D．因为x∈，所以sin
x>0，cos
x>0.由f(x)x，得f′(x)sin
x－f(x)cos
x>0.
不妨设g(x)＝，则g′(x)＝>0，所以函数g(x)在上单调递增，
所以g二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．某旅行社在暑假期间推出如下旅游组团方法：达到100人的团体，每人收费1
000元，如果团体的人数超过100人，那么每超1人每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，为使旅行社的收益最大，旅游团的人数应为________．
解析：设旅游团为x人时，收费为y元，依题意有y＝1
000x－5x(x－100)＝－5x2＋1
500x(100y′＝－10x＋1
500，令y′＝0得x＝150，x＝150是函数f(x)的极大值点，
即当旅游团人数为150时，旅行社收益最大．
答案：150
14．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是________．
①f(x)＝sin
x＋cos
x；②f(x)＝ln
x－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝－xe－x.
解析：对①，f′(x)＝cos
x－sin
x，f″(x)＝－sin
x－cos
x＝－·sin，当x∈时，x＋∈，sin>0，所以f″(x)<0，即①是上的凸函数；
对②，f′(x)＝－2，f″(x)＝－，当x∈时，f″(x)＝－<0，所以②是上的凸函数；
对③，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，当x∈时，f″(x)＝－6x<0，所以③是上的凸函数；
对④，f′(x)＝－e－x＋xe－x，f″(x)＝e－x＋e－x－xe－x＝e－x(2－x)，当x∈时，e－x>0，2－x>0，所以f″(x)＝e－x(2－x)>0，所以④不是上的凸函数．
答案：④
15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，>0(x>0)，则不等式x2f(x)>0的解集是________．
解析：因为′＝>0，
所以当x>0时，是增函数，
当x>1时，>f(1)＝0，得f(x)>0，
当0又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以当－10，
当x<－1时，f(x)＝－f(－x)<0，
故不等式f(x)>0即x2f(x)>0的解集是(－1，0)∪(1，＋∞)．
答案：(－1，0)∪(1，＋∞)
16．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．
解析：设点P(x0，e)，则f′(x0)＝e(x0>0)．
所以f(x)＝ex(x>0)在P点的切线l的方程为y－e＝e(x－x0)．所以M(0，e－x0e)．
过P点的l的垂线方程为y－e＝－eq
\f(1,e)(x－x0)，
所以Neq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，e＋\f(x0,e))).
所以2t＝e－x0e＋e＋eq
\f(x0,e)＝2e－x0e＋x0e－(x0>0)．
则(2t)′＝2e－e－x0e＋e－－x0e－＝(1－x0)·(e＋e－)．
因为e＋e－>0，
所以当1－x0>0，即00，
2t在x0∈(0，1)上单调递增；
当1－x0<0，即x0>1时，(2t)′<0，
2t在x0∈(1，＋∞)上单调递减．
所以当x0＝1时，2t有最大值e＋，即t的最大值为.
答案：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．求a的值和切线l的方程．
解：因为f(x)＝x3－2x2＋ax，
所以f′(x)＝x2－4x＋a.
由题意可知，方程f′(x)＝x2－4x＋a＝－1有两个相等的实根．
所以Δ＝16－4(a＋1)＝0，所以a＝3.
所以f′(x)＝x2－4x＋3＝－1化为x2－4x＋4＝0.
解得切点横坐标为x＝2，
所以f(2)＝×8－2×4＋2×3＝.
所以切线l的方程为y－＝(－1)(x－2)，
即3x＋3y－8＝0.
所以a＝3，切线l的方程为3x＋3y－8＝0.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2，2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．
由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2.
所以f(x)的增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)．
由x(x＋2)<0，得－2所以f(x)的减区间为(－2，0)．
所以f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调减区间为(－2，0)．
(2)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2.
因为f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，
所以f(x)∈[0，2e2]．
又因为f(x)>m恒成立，所以m<0.
故m的取值范围为(－∞，0)．
19．(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件的过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N
)．
(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；
(2)为获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
解：(1)由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．
因为次品率p＝，当每天生产x件时，有x·件次品，有x件正品．
所以T＝200x－100x·＝25·(x∈N
)．
(2)T′＝－25·，
由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)．
当00；
当x>16时，T′<0；所以当x＝16时，T最大．
即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋4x的极小值为－8，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(－2，0)，如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)－k在区间[－3，2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋4，且y＝f′(x)的图象过点(－2，0)，
所以－2为3ax2＋2bx＋4＝0的根，代入得：3a－b＋1＝0，①
由图象可知，f(x)在x＝－2时取得极小值，
即f(－2)＝－8，
得b＝2a.②
由①②解得a＝－1，b＝－2，
所以f(x)＝－x3－2x2＋4x.
(2)由题意，方程f(x)＝k在区间[－3，2]上有两个不等实根，
即方程－x3－2x2＋4x＝k在区间[－3，2]上有两个不等实根．
f′(x)＝－3x2－4x＋4，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝，可列表：
x
－3
(－3，－2)
－2
2
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
－3
?
极小值－8
?
极大值
?
－8
由表可知，当k＝－8或－321．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2e－x.
(1)求f(x)的极小值和极大值；
(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝－e－xx(x－2)．①
当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；
当x∈(0，2)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．
故当x＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e－2.
(2)设切点为(t，f(t))，则l的方程为y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．所以l在x轴上截距为
m(t)＝t－＝t＋＝t－2＋＋3.
由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．
令h(x)＝x＋(x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2，＋∞)；当x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．
所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[2＋3，＋∞)．
综上，l在x轴上截距的取值范围是(－∞，0)∪[2＋3，＋∞)．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln
x(a，b∈R)．
(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；
(2)设a>0，且对任意x>0，f(x)≥f(1)，试比较ln
a与－2b的大小．
解：(1)由f(x)＝ax2＋bx－ln
x，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝.
①当a＝0时，f′(x)＝.
a．若b≤0，当x>0时，f′(x)<0恒成立，
所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．
b．若b>0，当0当x>时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
②当a>0时，令f′(x)＝0，得2ax2＋bx－1＝0.
由Δ＝b2＋8a>0，得x1＝，x2＝.
显然x1<0，x2>0.
当0当x>x2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
所以函数f(x)的单调递减区间是，
单调递增区间是.
综上所述，当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；当a＝0，b>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是(，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是，
单调递增区间是(，＋∞)．
(2)由题意知函数f(x)在x＝1处取得最小值．
由(1)知是f(x)的惟一极小值点，
故＝1.整理，得2a＋b＝1，即b＝1－2a.
令g(x)＝2－4x＋ln
x，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝.
当00，g(x)单调递增；
当x>时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
因此g(x)≤g＝1＋ln
＝1－ln
4<0.
故g(a)<0，即2－4a＋ln
a＝2b＋ln
a<0，
即ln
a<－2b.
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9章末综合检测(一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )
A．0
B．2
C．1
D．－1
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
3．函数y＝xcos
x－sin
x在下面哪个区间内单调递增( )
A．
B．(π，2π)
C．
D．(2π，3π)
4．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为( )
A．21
B．－21
C．27
D．－27
5．函数f(x)＝x2－ln
2x的单调递减区间是( )
A．
B．
C．，
D．，
6．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．0≤a≤21
B．a＝0或a＝7
C．a＜0或a＞21
D．a＝0或a＝21
7．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
8．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足x≠1时(x－1)·f′(x)>0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)>2f(1)
B．f(0)＋f(2)<2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)≤2f(1)
9．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2，3)
B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，3)
10．函数y＝－2sin
x的图象大致是( )
11．若不等式2xln
x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，4]
C．(0，＋∞)
D．[4，＋∞)
12．定义在上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，若恒有f(x)x，则( )
A．f>f
B．fC．f>f
D．f二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．某旅行社在暑假期间推出如下旅游组团方法：达到100人的团体，每人收费1
000元，如果团体的人数超过100人，那么每超1人每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，为使旅行社的收益最大，旅游团的人数应为________．
14．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是________．
①f(x)＝sin
x＋cos
x；②f(x)＝ln
x－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝－xe－x.
15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，>0(x>0)，则不等式x2f(x)>0的解集是________．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝ex(x>0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．求a的值和切线l的方程．
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2，2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
19．(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件的过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N
)．
(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；
(2)为获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋4x的极小值为－8，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(－2，0)，如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)－k在区间[－3，2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2e－x.
(1)求f(x)的极小值和极大值；
(2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln
x(a，b∈R)．
(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；
(2)设a>0，且对任意x>0，f(x)≥f(1)，试比较ln
a与－2b的大小．
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