立体几何大题突破专题练习（学生版+教师版）Word版含解析

空间向量与立体几何
1．（2019?福田区校级模拟）已知四棱锥，底面为菱形，，为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面．
（1）证明：；
（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值．
2．（2020?天河区一模）如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，，与交于点，平面平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值．
3．（2019?新课标Ⅲ）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．
（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的二面角的大小．
4．（2019?天津）如图，平面，，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．
5．（2019?浙江）如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．
6．（2019?大连二模）如图，直三棱柱中，，，为的中点．
（Ⅰ）若为上的一点，且与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设异面直线与所成的角为，求直线与平面成角的正弦值．
7．（2019?路南区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值．
8．（2019?湖南模拟）如图，多面体中，正方形与梯形所在平面互相垂直，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的大小．
9．（2019?沈阳二模）如图，等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置平面．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
10．（2019?辽源模拟）如图，已知正三棱柱，，、分别为、的中点，点为线段上一点，
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
11．（2019?江西模拟）在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点．
（Ⅰ）若，求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面底面，且为边长等于2的等边三角形，在侧棱上且，求二面角的大小．
12．（2019?达州模拟）如图，、分别是的边、的中点，，，．分别将和翻折至、，使平面平面，平面平面
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
13．（2019?开封一模）如图所示，是边长为2的正方形，平面，且．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）线段上是否存在一点，使三棱锥所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由．
14．（2019?包头二模）如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值．
15．（2019?衡阳二模）如图三棱柱，点在底面上的投影在线段上，，，，，，．
（1）证明：；
（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求．
16．（2019?怀化三模）如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面所成角为，，底面是以为直角的等腰直角三角形，点为的重心，点在上，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17．（2019?桂林一模）如图1、在边长为3的菱形中，已知，且．将梯形沿直线折起，使平面、如图2，，分别是，上的点、
（1）若平面平面，求的长；
（2）是否存在点，使直线与平面所成的角是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（2019?山东模拟）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形．
（1）当长为多少时，平面平面？并说明理由；
（2）若二面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（2019?淄博模拟）已知六面体如图所示，平面，，，，，，，，分别是棱，上的点，且满足．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面与平面所成的二面角的大小为，求．
20．（2019?湖北模拟）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，、分别为、的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设，且二面角的平面角大于，求的取值范围．
立体几何大题突破专练—教师版
1．（2019?福田区校级模拟）已知四棱锥，底面为菱形，，为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面．
（1）证明：；
（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值．
【分析】（1）连结、且，连结．推导出，，从而平面，，推导出，平面，由此能证明．
（2）由且，得，平面，从而与平面所成的角为，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）连结、且，连结．
因为，为菱形，所以，，
因为，，所以，，
因为，且、平面，
所以，平面，
因为，平面，所以，，
因为，平面，
且平面平面，
所以，，平面，
所以，．
解：（2）由知且，
因为，且为的中点，
所以，，所以，平面，
所以与平面所成的角为，所以，
所以，，，因为，，所以，．
以，，分别为，，轴，如图所示建立空间直角坐标系．
记，所以，，0，，，0，，，，0，，，，，
所以，，，．
记平面的法向量为，所以，，即，
令，解得，，所以，，
记与平面所成角为，所以，．
所以，与平面所成角的正弦值为．
【点评】本题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
2．（2020?天河区一模）如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，，与交于点，平面平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值．
【分析】（1）取中点，连接，，证明平面，，则平面；
（2）以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间坐标系，分别求出平面，平面的法向量，将二面角转化为两个法向量夹角余弦值的问题．
【解答】证明：（1）如图，取中点，连接，，
因为，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
，分别为，中点，
所以，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以平面．
（2）如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间坐标系，
显然二面角为锐二面角，设该二面角为，
向量，0，是平面的法向量，设平面的法向量，，，
由题意可知，
所以，0，，，，，，0，，，0，
所以，，，，0，，
则，即，
所以，，，
所以．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，二面角的求法，向量法在求二面角中的应用等，属于中档题．
3．（2019?新课标Ⅲ）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．
（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的二面角的大小．
【分析】（1）推导出，，从而，由此能证明，，，四点共面，推导出，，从而面，由此能证明平面平面．
（2）作，垂足为，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，运用空间向量方法求二面角的大小．
【解答】证明：（1）由已知得，，，
，确定一个平面，
，，，四点共面，
由已知得，，面，
平面，平面平面．
解：（2）作，垂足为，
平面，平面平面，
平面，
由已知，菱形的边长为2，，
，，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系，
则，1，，，0，，，0，
，
，0，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，6，，
又平面的法向量为，1，，
，
二面角的大小为．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
4．（2019?天津）如图，平面，，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长．
【分析】（Ⅰ）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求得，，，，的坐标，设，得，2，．可得是平面的法向量，再求出，由，且直线平面，得平面；
（Ⅱ）求出，再求出平面的法向量，利用数量积求夹角公式得直线与平面所成角的余弦值，进一步得到直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段的长．
【解答】（Ⅰ）证明：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，．
设，则，2，．
则是平面的法向量，又，可得．
又直线平面，平面；
（Ⅱ）解：依题意，，，．
设为平面的法向量，
则，令，得．
．
直线与平面所成角的正弦值为；
（Ⅲ）解：设为平面的法向量，
则，取，可得，
由题意，，解得．
经检验，符合题意．
线段的长为．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角与二面角的大小，是中档题．
5．（2019?浙江）如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．
【分析】法一：
（Ⅰ）连结，则，从而平面，，推导出，从而平面由此能证明．
（Ⅱ）取中点，连结、，则是平行四边形，推导出，从而平行四边形是矩形，推导出平面，连结，交于，则是直线与平面所成角（或其补角），由此能求出直线与平面所成角的余弦值．
法二：
（Ⅰ）连结，推导出平面，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的余弦值．
【解答】方法一：
证明：（Ⅰ）连结，，是的中点，
，
又平面平面，平面，
平面平面，
平面，，
，，，
平面，．
解：（Ⅱ）取中点，连结、，则是平行四边形，
由于平面，故，
平行四边形是矩形，
由（Ⅰ）得平面，
则平面平面，
在平面上的射影在直线上，
连结，交于，则是直线与平面所成角（或其补角），
不妨设，则在△中，，，
是的中点，故，
，
直线与平面所成角的余弦值为．
方法二：
证明：（Ⅰ）连结，，是的中点，
，
又平面平面，平面，
平面平面，
平面，
如图，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，
，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，，，，2，，
，，
由，得．
解：（Ⅱ）设直线与平面所成角为，
由（Ⅰ）得，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，
，
直线与平面所成角的余弦值为．
【点评】本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算．要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明．求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面．
6．（2019?大连二模）如图，直三棱柱中，，，为的中点．
（Ⅰ）若为上的一点，且与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设异面直线与所成的角为，求直线与平面成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）取中点，连接，，证明平面，即可说明，由底面为正方形，可求得；
（Ⅱ）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面的法向量为，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解．
【解答】（Ⅰ）证明：取中点，连接，，有，
因为，所以，
又因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面平面，
又因为平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，
因为，
所以，
连接交于点，因为为正方形，
所以，又因为平面，平面，
所以，
又因为为的中点，
所以为的中点，
所以．
（Ⅱ）如图以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
设，由（Ⅰ）可知，
所以，
所以，
所以，0，，，，，，，，，，，，，，
所以，，，，0，，，，，
设平面的法向量为，，，则，
即，令可得，，．
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【点评】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．
7．（2019?路南区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）连接，证明，，推出平面，即可证明；
（Ⅱ）过作于，连，由（1）得平面，可得，即，再由，求得，．以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：底面为菱形，，
三角形为正三角形，
是的中点，，
又，，
又平面，，
而，平面，则；
（Ⅱ）解：过作于，连，由（1）得平面
，即，
，，则．
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，，．
，0，，，，，
设平面的法向量，
由，取，可得，，；
又，，，
平面，
故为平面的一个法向量，
．
即二面角的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．
8．（2019?湖南模拟）如图，多面体中，正方形与梯形所在平面互相垂直，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的大小．
【分析】（1）取中点，连结，推导出，，从而平面，，进而平面，由此能证明平面平面．
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．
【解答】解：（1）证明：取中点，连结，则四边形为正方形，
，，，
平面平面，，
平面，，
，平面，
平面，平面平面．
（2）解：以为原点，建立空间直角坐标系，
则，2，，，1，，，0，，，0，，
，1，，，，，，，，
设，，是平面的法向量，
则，令，得，1，，
同理求得平面的法向量，1，，
设二面角的大小为，
二面角为钝角，，
二面角为．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．（2019?沈阳二模）如图，等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置平面．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
【分析】（1）连接，设的中点为，可证，，故而平面，于是；
证明，建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．
【解答】证明：连接，设的中点为，
，，
四边形为平行四边形，，
，为等边三角形，
，，
又，
平面，又平面，
．
解：在平面内作平面，垂足为，则在直线上，
直线与平面夹角为，
又，，
、两点重合，即平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，，，
，0，，，，，
设平面的一个法向量为，，，则，即，
令得，，，
又平面，，1，为平面的一个法向量，
设二面角为，则，
易知二面角为钝角，所以．
【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．
10．（2019?辽源模拟）如图，已知正三棱柱，，、分别为、的中点，点为线段上一点，
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【分析】（1）建立坐标系，取的中点，利用向量证明得出结论；
（2）根据得出底面边长，证明平面得出为二面角的平面角，在中计算．
【解答】（1）证明：取的中点，的中点，连接，，
正三棱柱，，平面，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，
，是的中点，又是的中点，，．
设等边三角形的边长为，则，0，，，，，，0，，
，0，，，，，
取的中点，则，，，，，，，，．
，，，
又平面，平面，
平面．
（2）解：，，，
，，即，
解得，．
，平面，
平面，，，
为二面角的平面角，
，，，
，即二面角的余弦值为．
【点评】本题考查线面平行的判定，二面角的计算，属于中档题．
11．（2019?江西模拟）在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点．
（Ⅰ）若，求证：平面平面；
（Ⅱ）若平面底面，且为边长等于2的等边三角形，在侧棱上且，求二面角的大小．
【分析】（Ⅰ）在中，由已知得，又为正三角形，可得，再由线面垂直的判定可得平面，从而得到平面平面；
（Ⅱ）分别以，，所在直线为轴，轴轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：在中，由，是的中点，得，
为正三角形，，
又，平面，
而平面，平面平面；
（Ⅱ）解：分别以，，所在直线为轴，轴轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，，，
，，，设，，，
由，得，，，，，
得，，．
故点的坐标为，
．
设平面的法向量为，
则有，
取，得，，故平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
，
即有，
故二面角的大小为．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题．
12．（2019?达州模拟）如图，、分别是的边、的中点，，，．分别将和翻折至、，使平面平面，平面平面
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【分析】（1）连结，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．
（2）由题意得平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：连结，
、分别是的边、的中点，，，．
分别将和翻折至、，
使平面平面，平面平面，
，四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
（2）解：由题意得平面，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则的法向量，0，，
，0，，，0，，，2，，
，0，，，2，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设．
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13．（2019?开封一模）如图所示，是边长为2的正方形，平面，且．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）线段上是否存在一点，使三棱锥所成角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）先证平面，进而得面面垂直；
（Ⅱ）建立空间坐标系，设点的位置，利用向量列方程求解．
【解答】解：（Ⅰ）证明：平面，
，，
又，
平面，
平面平面；
（Ⅱ）以为原点建立空间坐标系如图，
，，，
，
设，
则，0，，，，2，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，得，
易知，为平面的一个法向量，
由题意得：
，
解得：，
故当为中点时，满足题意．
【点评】此题考查了线面垂直，面面垂直，二面角的求法，难度适中．
14．（2019?包头二模）如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值．
【分析】（1）证明．设中点为，连接．推出，，得到平面，然后证明平面平面．
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面的法向量、面的法向量，利用二面角的余弦值，可求的值，从而可求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】解：（1）平面，平面，得．
又．在，得，
设中点为，连接．
则四边形为边长为1的正方形，
所以，且，
因为，所以，
又因为，所以平面，又平面．
所以平面平面．
（2）如图，以为原点，取中点，，，分别为轴、轴、轴正向，
建立空间直角坐标系，则，0，，，1，，，，
设，0，，则，，1，，
，0，，．
设面的法向量为，，，由，
取，，．
可取面的法向量，，
依题意，，，解得．
于是，，，，1，．
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象以及计算能力．
15．（2019?衡阳二模）如图三棱柱，点在底面上的投影在线段上，，，，，，．
（1）证明：；
（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求．
【分析】（1）连结，推导出，从而面，由，得平面，由此能证明．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值．
【解答】解：（1）证明：连结，由余弦定理得，
在△中，由余弦定理得，
由勾股定理得：，依题得，
面，
，平面，
又面，．
（2）依题，如图以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，2，，
，2，，，0，，
，则，0，，，则，1，，
，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设直线与平面所成角为，
则，
解得或．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．（2019?怀化三模）如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面所成角为，，底面是以为直角的等腰直角三角形，点为的重心，点在上，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）过作交于，可得，再由侧面底面，得底面，由已知证得△为等边三角形，从而为的中点，得．以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图空间直角坐标系，求出与平面的一个法向量，利用证明，又平面，得平面；
（Ⅱ）求出平面与平面的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：过作交于，
，，
又侧面底面，底面，
，得△为等边三角形，从而为的中点，得．
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图空间直角坐标系，
由题意得：，，，，0，，，0，，
，，，
由，得，
，又，
，而为平面的一个法向量，
，，又平面，平面；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得：，，
，．
设是平面的法向量，
则，令，得．
而是平面的一个法向量，
记平面与平面所成锐二面角为，
则．
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【点评】本题考查线面平行的判定与二面角的求法，训练了利用空间向量证明线面平行与求解二面角，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．
17．（2019?桂林一模）如图1、在边长为3的菱形中，已知，且．将梯形沿直线折起，使平面、如图2，，分别是，上的点、
（1）若平面平面，求的长；
（2）是否存在点，使直线与平面所成的角是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）平面与平面相交，设交线为，则，平面平面，推导出，由此能求出．
（2）以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．
【解答】解：（1）平面与平面有公共点，
若平面与平面相交，设交线为，
若平面平面，平面平面，
，
设，，，
同理，平面平面，
平面平面，平面平面，
，，
，，，，
．
（2）在图2中，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，则，0，，，0，，，0，，，2，，
，2，，，0，，，2，，，0，，
设，则，
，，，
设平面的法向量，，，
则，
取，得，，，
存在点，使直线与平面所成的角是，
，
由，，解得，
．
【点评】本题考查线段长的求法，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（2019?山东模拟）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，为等边三角形．
（1）当长为多少时，平面平面？并说明理由；
（2）若二面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
【分析】（1）当时，推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．
（2）分别取线段，的中点，，连接，，推导出，，由，得，从而为二面角的平面角，进而，分别以的方向以及垂直于平面向上的方向作为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
【解答】解：（1）当时，平面平面，（1分）
证明如下：在中，因为，所以，（2分）
又，，所以平面，（3分）
又平面，所以平面平面．（4分）
（2）分别取线段，的中点，，连接，，
因为为等边三角形，为的中点，所以，
，为，的中点，所以，
又，所以，故为二面角的平面角，所以，（6分）
如图，分别以的方向以及垂直于平面向上的方向作为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，，0，，，2，，，1，．
可得，，（8分）
设，，为平面的一个法向量，则有，
即，令，可得，（10分）
设与平面所成角为，则有
所以直线与平面所成角的正弦值为．（12分）
【点评】本题考查满足面面垂直的线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（2019?淄博模拟）已知六面体如图所示，平面，，，，，，，，分别是棱，上的点，且满足．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面与平面所成的二面角的大小为，求．
【分析】（1）在底面中，求解三角形证明，又平面，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
分别求出平面与平面的一个法向量，利用两法向量平行证明平面平面；
（2）再求出平面的一个法向量，求出平面与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值，再由平方关系求．
【解答】证明：（1）如图，在底面中，过作，
，四边形为平行四边形，
，，，，，则，
可得，则，
又平面，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
由已知可得，0，，，1，，，，，，0，，
，，，，0，，，2，，，0，，
，，，，1，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则．
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
，
又平面与平面不重合，
平面平面；
（2）解：，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则．
．
．
【点评】本题考查利用空间向量证明面面平行，训练了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．
20．（2019?湖北模拟）如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，、分别为、的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设，且二面角的平面角大于，求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）推导出，，由此能证明平面平面．
（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的取值范围．
【解答】证明：（Ⅰ），，、分别为、的中点．
，，
，，
平面平面．
解：（Ⅱ）在四棱锥中，底面，为直角，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，2，，，0，，，0，，，2，，，1，，
，2，，，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
平面的法向量，0，，
面角的平面角大于，
，
由，解得．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查实数的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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日期：2019/12/10
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